2024年陕西省西安市高考数学第二次质检试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省西安市高考数学第二次质检试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合M={y|x2=2y−1}，N={x|y=ln(1−x)}，则M∩N=( )
A. [12,+∞)B. (−∞,1)C. [12,1)D. (12,1)
2.已知i为虚数单位，且复数z满足z(1+2i)=1−i2023，则|z−+i|=( )
A. 1B. 2C. 2 25D. 3 55
3.已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若a/​/b，b/​/α，则a/​/αB. 若a/​/b，a⊥α，b/​/β，则α⊥β
C. 若a/​/α，b/​/β，α/​/β，则a/​/bD. 若a/​/α，b/​/β，α⊥β，则a⊥b
4.8月29日，华为在官方网站发布了Mate60手机，其中大部分件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlg2(1+SN)，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，位道内信号的平均功率S以及信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了(参考数值：lg2≈0.301)( )
A. 43%B. 33%C. 23%D. 13%
5.“a0)与椭圆x28+y24=1的离心率相同，P( 22,1)为椭圆C上一点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若过点Q(13,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问以AB为直径的圆是否经过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−a2x2−ax+a−1(a∈R)．
(1)试讨论f(x)的单调性；
(2)若不等式f(x+1)+a2(x+1)2+exx+1≥0对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．
22.(本小题10分)
在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=2，曲线C的参数方程是x=2csφy= 2sinφ(φ为参数).以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(Ⅰ)求直线l和曲线C的极坐标方程；
(Ⅱ)若A(ρ1,α)是曲线C上一点，B(ρ2,α+π4)是直线l上一点，求1|OA|2+1|OB|2的最大值．
23.(本小题12分)
已知a，b，c为正实数，且满足a+b+c=3.证明：
(1)|a+b−12|+|c+1|≥72；
(2)(a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)≥9．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得M={y|x2=2y−1}={y|2y−1≥0}={y|y≥12}，
N={x|y=ln(1−x)}={x|1−x>0}={x|x0且1−a−1≥0，解得a≤0．
因为(−∞,0]⫋(−∞，1)，
故a0，
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，
则y1+y2=−2m3(m2+12)，y1y2=−89(m2+12)，
∴x1+x2=my1+13+my2+13=m(y1+y2)+23=−2m23(m2+12)+23，
x1x2=(my1+13)(my2+13)=m2y1y2+13m(y1+y2)+19
=−8m29(m2+12)−2m29(m2+12)+19=−10m29(m2+12)+19，
∵TA⋅TB=(x1+1,y1)⋅(x2+1,y2)
=(x1+1)(x2+1)+y1y2
=x1x2+x1+x2+1+y1y2
=−10m29(m2+12)+19−2m23(m2+12)+23+1−89(m2+12)
=−16m2+89(m2+12)+169=0，
∴TA⊥TB，∴点T(−1,0)在以AB为直径的圆上，
综合可得：以AB为直径的圆是经过定点T(−1,0)．
【解析】(1)先求出椭圆x28+y24=1的离心率为 22，由此得到a2=2b2，将点P的坐标代入椭圆C，得到12b2+1a2=1，再代入a2=2b2，解得b2=1，a2=2，则可得结果；
(2)先用两个特殊圆求出交点(−1,0)，再猜想以AB为直径的圆经过定点T(−1,0)，再证明猜想，设直线l：x=my+13，并与x2+y22=1联立，利用韦达定理得到y1+y2，y1y2，进一步得到x1+x2，x1x2，利用y1+y2，y1y2，x1+x2，x1x2证明TA⋅TB=0即可．
本题考查椭圆方程的求解，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆过的定点的探究与证明，设而不求法与韦达定理的应用，化归转化思想，属难题．
21.【答案】解：(1)f(x)=lnx−a2x2−ax+a−1的定义域为(0,+∞)，
当a=0时，f(x)=lnx−1在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，f′(x)=1x−2a2x−a=−(ax+1)(2ax−1)x，
由f′(x)>0，得01，∴φ(x)>1恒成立，即2ex(x+1)2>1，从而ex(x+1)2>12，
∴当x>2a时，必有g′(x)=1x+1−a+xex(x+1)2>−a+x2>0，
又g′(0)=1−a