2021-2022学年广西浦北县第二中学高一下学期期末模拟考试数学试题（解析版）

2021-2022学年广西浦北县第二中学高一下学期期末模拟考试数学试题

一、单选题

1．若角的终边经过点，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由三角函数定义可直接求得结果.

【详解】角的终边经过点，.

故选：B.

2．已知向量，，若，则（    ）

A．8 B．－8 C．2 D．－2

【答案】C

【分析】由向量数量积直接求解.

【详解】由题意得，解得．

故选：C

3．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（      ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用勾股定理可构造方程求得球的半径，由球的体积公式可求得结果.

【详解】设球的半径为，则，解得：，

球的体积.

故选：A.

4．若，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】利用复数的除法可求，从而可求.

【详解】由题设有，故，故，

故选：D

5．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】C

【分析】在正方体中通过线面关系，可举出A,B,D的反例说明不正确，由线面垂直的性质

可判断C正确．

【详解】

对于A选项，当为面，取n为直线BC，m为直线，此时满足，但不满足，故A不正确；

对于B选项，当为面，为面时，取m为直线AB，n为直线，此时满足，但不满足，故B不正确；

对于C选项，由则，又，由线面垂直的性质定理可得，故C正确；

对于D选项，当为面，为面时，取m为直线，n为直线AB，此时满足，但不满足，故D不正确.

故选：C．

【方法点睛】判断线面关系正误时，通常可以利用正方体这个模型进行判断，很直观.

6．若，则（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】B

【分析】利用二倍角公式以及弦化切可得出关于的等式，即可解得的值.

【详解】由已知，则，

因为

，解得.

故选：B.

7．已知某圆锥的高为3，底面半径为，则该圆锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式直接列式计算即可得出答案.

【详解】解：由题意得，该圆锥的侧面积为．

故选：A.

8．将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由三角函数的平移变换即可得出答案.

【详解】函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得，再将所得的图象向左平移个单位可得．

故选：B.

二、多选题

9．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法错误的是（      ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若 ，则

【答案】ABC

【分析】根据空间中点线面的位置关系即可判断A,B,C错误.

【详解】当，但 此时不能得到，所以A错. 若,的关系可以有：，或者异面关系，故B错误. 若,的关系有：平行，异面（不垂直）或者垂直.所以C错误. 若 ，则，故D正确.

故选：ABC

10．在中，角A､B､C所对应的边分别为a､b､c，，则（    ）

A． B．

C． D．不可能为锐角三角形

【答案】AC

【分析】由正弦定理即可判断A选项；由余弦定理即可判断B选项；由B选项得，再结合正弦定理及三角恒等变换即可判断C选项；取特殊值说明存在锐角三角形即可判断D选项.

【详解】对于A，由正弦定理可得，即，故A正确；

对于B，，故B错误；

对于C，由上知：，即，结合正弦定理可得

，整理得，

则或，即或（舍），故C正确；

对于D，，取，满足，

此时角最大，且，即为锐角，即为锐角三角形，故D错误.

故选：AC.

11．设函数，则下列结论错误的是（    ）

A．的最小正周期为 B．的图像关于直线对称

C．的一个零点为 D．的最大值为

【答案】BD

【分析】先求出.即可求出最小正周期和最大值，可以判断A、D；利用代入法判断选项B、C.

【详解】函数．

的最小正周期为，故A正确；

∵，∴的图像不关于直线对称，故B错误；

∵，∴是的一个零点，故C正确；

函数，∴的最大值为2，故D错误．

故答案为：BD

12．如图所示，是半圆的直径，垂直于半圆所在的平面，点是圆周上不同于的任意一点，分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．平面

B．平面平面

C．与所成的角为

D．平面

【答案】AB

【分析】由中位线性质，可得，由线面平行的判定定理可判断    A，由线面垂直的性质可得，据此可判断平面，由此知MN与BC所成的角为90°，且不垂直平面，判断CD，由面面垂直的判定知面VAC面VBC，判断B即可.

【详解】由分别为，的中点，则，又平面平面平面，故A正确；

又由题意得，因为平面平面，所以.

因为，所以平面，所以与所成的角为，故C错误；

因为平面，所以不垂直平面（否则，矛盾），故D错误；

因为平面，平面，所以平面平面，故B正确.

故选：AB

三、填空题

13．已知点是角终边上一点，且，则__________．

【答案】##

【分析】解方程即得解.

【详解】解：是角终边上的一点，

到原点的距离为，

，

.

故答案为：

14．已知非零向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值为___________.

【答案】##0.25

【分析】利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可.

【详解】由题意得，所以，

所以.

故答案为：

15．若复数（为虚数单位），则___________.

【答案】##

【分析】根据复数，可知其实部和虚部，即可求得答案.

【详解】因为复数，其实部和虚部分别为，且在第二象限

故幅角的正切值，由于，则，

故答案为：

16．已知 ，则_______．

【答案】

【分析】将条件等式两边平方，结合平方关系和二倍角正弦公式可求.

【详解】因为，

所以，又，

所以，故，

故答案为：.

四、解答题

17．已知向量，，.

(1)若与共线，求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可求的值；

（2）利用向量垂直得到它们的数量积为0，从而可求两个向量模的关系，从而可求的值.

【详解】（1）因为与共线，所以即，

而，故.

（2）因为，故即，

而，故即.

18．如图，在正方体中，为棱上的点.

(1)证明：平面；

(2)证明：平面平面.

【答案】(1)证明见详解

(2)证明见详解

【分析】（1）由正方体性质和线面平行判定定理直接可证；

（2）根据面面垂直判定定理将问题转化为平面，然后由正方体性质可证.

【详解】（1）由正方体性质可知，

又因为平面，平面，

所以平面

（2）因为底面ABCD为正方形，

所以

因为平面ABCD，平面ABCD，

所以

因为，平面，平面，

所以平面

又平面ACE，

所以平面平面

19．函数（，，）的图象如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)当时，求函数的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用函数图象可求, 周期, 利用周期公式求, 由, 结合 可求, 函数的解析式可得（2）根据的范围确定的范围，进而根据正弦 函数的性质求得函数的值域

【详解】（1）∵由函数图象可得：，

周期，解得：，

又∵点在函数图象上，可得：，

∴解得：，，结合，可得，

∴.

（2）∵，

∴，

∴，

即函数的值域为：.

20．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC=3，求周长的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；

（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.

【详解】（1）由正弦定理可得：，

，

，.

（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式

由余弦定理得：，

即.

（当且仅当时取等号），

，

解得：（当且仅当时取等号），

周长，周长的最大值为.

[方法二]：正弦化角（通性通法）

设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．

[方法三]：余弦与三角换元结合

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，

所以周长的最大值为．

【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；

方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.

方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.

方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.

21．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．为测得如图所示的海洋蓝洞口径（图中两点间的距离），现在珊瑚群岛上取两点和，测得，．

（1）求两点的距离；

（2）判断此海洋蓝洞的口径是否超过．

【答案】（1）；（2）此海洋蓝洞的口径是超过100．

【分析】（1）由边角关系得为等腰三角形，进而求得答案；

（2）在中，利用正弦定理得，在中，由余弦定理得，进而判断即可.

【详解】解：（1）在中，，

，

，

为等腰三角形，，

、两点的距离

（2）在中，，，

，由正弦定理可得

，

，

在中，，，

，由余弦定理可得

，

∴

又

∴此海洋蓝洞的口径是超过100m．

22．已知函数，．

(1)求函数的最小正周期：

(2)当时，求函数的最大值，并求出使该函数取得最大值时的自变量x的值

【答案】(1)最小正周期为；

(2)时，取最大值为1.

【分析】（1）先求出的解析式，再求的最小正周期；

（2）先求出.由在单调递增，在上单调递减，即可判断出则当时，取得最大值1，此时.

【详解】（1），

∵，∴的最小正周期为，

（2）∵，∴.

因为在单调递增，在上单调递减，

所以当时，取得最大值1，此时.

所以，当时，取最大值为1.