2021-2022学年广西浦北县第二中学高一下学期期末模拟考试（二）数学试题（解析版）

2021-2022学年广西浦北县第二中学高一下学期期末模拟考试（二）数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式结合特殊角的三角函数值可得正确的选项.

【详解】,

故选：B.

2．已知向量，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】先求得，然后求得.

【详解】因为，所以.

故选：D

3．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出母线长，再由圆锥的表面积公式求解即可.

【详解】设圆锥的母线长为，则，解得，则该圆锥的表面积为.

故选：C.

4．已知，，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】C

【分析】利用正方体的结构特征，结合直线、平面的位置关系逐项判断.

【详解】如图所示：

A. 若，满足，，则异面，故错误；

B. 若平面ABCD，满足，，则a，b相交；故错误；

C. 因为，，由垂直同一直线的两个平面平行，则，故正确；

D. 若平面ABCD，满足，，，故错误；

故选：C

5．函数在区间的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】令，

则，

所以为奇函数，排除BD；

又当时，，所以，排除C.

故选：A.

6．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.

【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，

解得，又，故当时，的最小值为.

故选：C.

7．若．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．

【详解】因为，所以，所以．

故选：D.

8．已知函数，则（    ）

A．在上单调递减 B．在上单调递增

C．在上单调递减 D．在上单调递增

【答案】C

【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

【详解】因为.

对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；

对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；

对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；

对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.

故选：C.

二、多选题

9．下列式子的值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】应用诱导公式、半角公式、差角余弦公式化简求值，判断各项是否符合要求.

【详解】，故A正确；

，故B错误；

由半角公式可知，故C错误；

因为，故D正确，

故选：AD.

10．复数z满足，则下列说法正确的是（    ）

A．z的实部为3 B．z的虚部为2

C． D．

【答案】BD

【分析】根据已知求出，即可判断各个选项的真假.

【详解】解：由于，可得，

所以z的实部为－3，虚部为2，所以，．

故选：BD．

11．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.

【详解】

设，因为平面，，则，

，连接交于点，连接，易得，

又平面，平面，则，又，平面，则平面，

又，过作于，易得四边形为矩形，则，

则，，

，则，，，

则，则，，，故A、B错误；C、D正确.

故选：CD.

12．已知，，是互不相同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题，其中真命题是（    ）

A．若，，则或

B．若，，，则

C．若与为异面直线，，，则

D．若，，，，则

【答案】AD

【分析】由线面平行的判定和性质可判断AD；由面面、线面的位置关系可判断BC；

【详解】对于A，若，，则或，正确；

对于B，若，，，则，或异面，错误；

对于C， 若与为异面直线，，，则或相交，错误；

对于D， 若，，，，则，，所以，正确.

故选：AD.

三、填空题

13．已知向量．若，则______________．

【答案】##

【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】由题意知：，解得.

故答案为：.

14．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．

【答案】.

【分析】根据题中所给的公式代值解出．

【详解】因为，所以．

故答案为：.

15．arg＝________．

【答案】##

【分析】将复数转化为三角形式，结合辐角的范围，即可得结果.

【详解】由，而，

所以arg＝.

故答案为：

16．在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是___________.

【答案】##

【分析】设点D为AB的中点，O为外接圆的圆心，则，证得平面PAB，则，O即为三棱锥外接球的球心，再由球的表面积公式求解即可.

【详解】

如图所示：设点D为AB的中点，O为外接圆的圆心，∵，∴O在CD上，且，

，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面PAB，

又AB，平面PAB，∴，，在中，，D为AB的中点，∴，

∴，∴O即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径，

∴该三棱锥外接球的表面积.

故答案为：.

四、解答题

17．在中，．

(1)求；

(2)若，且的面积为，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.

【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，

可得，因此，.

（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.

由余弦定理可得，，

所以，的周长为.

18．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面；

（2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出．

【详解】（1）因为底面，平面，

所以，

又，，

所以平面，

而平面，

所以平面平面．

（2）[方法一]：相似三角形法

 由（1）可知．

于是，故．

因为，所以，即．

故四棱锥的体积．

[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法

   由（2）知,所以．

建立如图所示的平面直角坐标系，设．

因为，所以，，，．

从而．

所以，即．下同方法一.

 [方法三]【最优解】：空间直角坐标系法

  建立如图所示的空间直角坐标系，

设，所以，，，，．

所以，，．

所以．

所以，即．下同方法一.

 [方法四]：空间向量法

   由，得．

所以．

即．

又底面，在平面内，

因此，所以．

所以，

由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义，

得，即．

所以，即．下同方法一.

【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；

方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；

方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；

方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.

19．函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)若将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递减区间．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由图得到，，求得，结合，求得，得到，即可求得函数的解析式；

（2）由三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的图象与性质，即可求解.

【详解】（1）解：由图可知，且，所以,

因为，所以，所以，

又因为，所以，即，

因为，所以，所以．

（2）解：由（1）知，将的图象向右平移个单位长度得到，

令，解得，

所以递减区间为.

20．已知角终边上一点.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）由同角三角函数的关系化简后求解

（2）由诱导公式化简后求解

【详解】（1）由题意，原式

（2）由诱导公式化简得

21．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为万元，每生产万件，需另投入成本为．当年产量不足万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润销售收入总成本）

（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；

（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?并求出利润的最大值．

【答案】（1）；（2）年产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，利润的最大值为万元．

【分析】(1)由利润销售收入总成本写出分段函数的解析式即可；

（2）利用配方法和基本不等式分别求出各段的最大值，再取两个中最大的即可.

【详解】（1）当，时，

．

当，时，

．

．

（2）当，时，，

当时，取得最大值（万元）

当，时，

当且仅当，即时等号成立．

即时，取得最大值万元．

综上，所以即生产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元．

22．已知向量，．

(1)若，且，求；

(2)若，且存在使得，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由向量平行的坐标表示得出，结合倍角公式求解即可；

（2）由数量积公式、三角函数的性质结合得出实数a的取值范围．

【详解】（1）由得，

由知，

∴，

即，

∴．

（2）由题，其中．

，

当时，，

∴当时，取得最小值，最小值为，

∴，即实数a的取值范围是．