2021-2022学年广西河池市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广西河池市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 在下列各事件中，发生的可能性最大的为(    )

A. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B. 投掷个质地均匀的骰子，点数是
C. 有张彩票，其中张是中奖彩票，从中随机买张是中奖彩票
D. 一袋中装有大小和质地相同的个红球，个白球，从中随机摸出个球是红球

2. 已知某圆柱的轴截面是边长为的正方形，则此圆柱的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，则“为纯虚数”是“”的(    )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

4. 某保险公司推出了个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．现对个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
   
   用样本估计总体，以下四个选项错误的是(    )

A. 周岁参保人数最多
B. 随着年龄的增长，人均参保费用越来越多
C. 周岁以下的参保人数约占总参保人数的
D. 定期寿险最受参保人青睐

5. 已知向量与方向相反，则实数的值为(    )

A. 或 B.  C.  D. 或

6. 某区域大型城市、中型城市、小型城市的数量之比为：：，为了解该区域城市的空气质量情况，现用比例分配的分层抽样方法抽取一个容量为的样本．在样本中，中型城市比大型城市多个，比小型城市多个，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在某次足球联赛上，红队每场比赛平均失球个数是，全年比赛失球个数的标准差是；蓝队每场比赛平均失球个数是，全年比赛失球个数的标准差是则下列说法正确的是(    )

A. 平均来说，蓝队比红队防守技术好
B. 蓝队很少失球
C. 红队有时表现很差，有时表现又非常好
D. 蓝队比红队技术水平更不稳定

8. 如图所示长方形，，，，，，分别为，的三等分点，把四边形，分别沿，折起来，使得，重合形成一个几何体，则此几何体的外接球的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 设，是两条不重合的直线，是平面，则下列说法正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则或
D. 若，，则

10. 年，是中国共产主义青年团成立周年．为庆祝建团周年，某中学全体学生参加了主题为“赓续红色血脉争当青春先锋”的知识竞赛，随机抽取了若干名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在分至分之间，进行适当分组后每组为左闭右开的区间，画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(    )

A. 直方图中的值为
B. 成绩在区间内的学生最多
C. 估计全校学生的平均成绩为分
D. 估计全校学生成绩的样本数据的分位数约为分

11. 设，是两个概率大于的随机事件，则下列说法正确的是(    )

A. 若事件和是对立事件，则
B. 若事件和是互斥事件，则
C. 若事件和相互独立，则
D. 若事件和相互独立，则

12. 如图，在正方体中，，过点作平面与垂直，则(    )

A.
B. 点到的距离为
C. 平面
D. 截此四棱锥的截面面积为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，，，则______．
14. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的周长是______．

15. 已知，，分别是内角，，所对的边．若，，且有唯一解，则的取值范围为______．
16. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构正八面体是每个面都是正三角形的八面体，如图所示．若此正八面体的内切球的半径为，则该正八面体的表面积为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 如图，在平行四边形中，为的中点，，，
    试用，表示．

18. 在中，角，，的对边分别为，，，．
    求角的大小；
    若，，求．
19. 根据空气质量指数，为整数的不同，可将空气质量分级如表：

现对某地级市天的空气质量进行监测，获得个数据每个数据均不同，统计绘得频率分布直方图如图所示，若从获得的“一级”和“五级”的数据中随机选取个数据进行复查．
写出试验的样本空间；
求“一级”和“五级”数据恰均被各选中一个的概率．

20. 如图所示，在斜三棱柱中，点为的中点．
    若三棱柱的体积为，求多面体的体积；
    证明：平面．

21. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
    求甲获胜的概率；
    求投篮结束时乙只投了个球的概率．
22. 如图，在几何体中，四边形是菱形，平面，．
    证明：平面平面；
    若，，且二面角是直二面角，求直线与平面所成角的余弦值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：对于，抛掷一枚硬币，正面向上概率为；
对于，掷枚骰子，点数等于的概率是；
对于，有张彩票，其中张是中奖彩票，从中随机买张是中奖彩票的概率是；
对于，一袋中装有个红球，个白球，从中随机摸出个球是红球的概率是，
故选：．
根据题意可依次算出种随机事件的概率．
本题考查了随机事件的概率问题，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：圆柱的轴截面是边长为的正方形，
圆柱的底面半径为，高为，则圆柱体积为．
故选：．
由已知可得圆柱的底面半径与高，则圆柱体积可求．
本题考查圆柱的结构特征，考查圆柱体积的求法，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：若为纯虚数，则设，则，
当时，满足，但为纯虚数不成立，
故“为纯虚数”是“”的充分非必要条件，
故选：．
根据纯虚数的定义判断充分性，再举反例判断必要性即可．
本题考查纯虚数的定义，充分必要条件的判断，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由扇形图可知，周岁的参保人数占比最高，故人数最多，故选项A正确；
由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故选项B正确；
由扇形图可知，周岁以下的参保人数约占总参保人数的，故选项C错误；
由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项D正确．
故选：．
由扇形图判断选项A、；由折线图判断选项B；由柱状图判断选项D．
本题考查了扇形图、折线图、柱状图的综合应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，或，
当时，，，，则与的方向相同，
当时，，，，则与的方向相反．
．
故选：．
利用平面向量共线的坐标表示，列出方程求出，再检验方向是否相反即可．
本题考查了平面向量共线的坐标表示，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设抽取的大中小型城市的数量分别为，，，
在样本中，中型城市比大型城市多个，比小型城市多个，
则，
又大型城市、中型城市、小型城市的数量之比为：：，
则，
解得，，，
．
故选：．
根据分层抽样原理，设抽取的大中小型城市的数量分别为，，，再结合题意求得，，，即可求出．
本题考查分层抽样，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：对于，因为红队每场比赛平均失球数是，蓝队每场比赛平均失球数是，
所以平均说来红队比蓝队防守技术好，故A错误；
对于，因为蓝队每场比赛平均失球数是，全年比赛失球个数的标准差为，所以蓝队经常失球，故B错误；
对于，因为红队全年比赛失球个数的标准差为，蓝队全年比赛失球个数的标准差为，
所以红队有时表现很差，有时表现又非常好，故C正确；
对于，因为红队全年比赛失球个数的标准差为，蓝队全年比赛失球个数的标准差为，
所以蓝队比红队技术水平更稳定，故D错误．
故选：．
利用平均数定义判断；利用标准差定义判断．
本题考查命题真假的判断，考查平均数、标准差的定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由已知条件可知，折后的几何体为直三棱柱，且底面为等边三角形，
底面外接圆的直径，直三棱柱的高为，
设几何体的外接球的半径为，则，，
因此折叠后的外接球的体积为．
故选：．
由已知条件可知，折后的几何体为直三棱柱，且底面为等边三角形，设几何体的外接球的半径为，结合已知条件，即可求解．
本题考查了几何体外接球的体积计算，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，当，时，，可以平行、相交、异面，所以选项不正确；
对于，当，时，由线面垂直的定义可知，所以选项正确；
对于，当，时，可以有，所以选项正确；
对于，当，时，与可以平行或异面，选项不正确．
故选：．
对于，，可以平行、相交、异面；对于，由线面垂直的定义可知；对于，可以有；对于，与可以平行或异面．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由频率分布直方图可得，
，
解得，
故选项A正确；
频率分布直方图可知，
区间所对应的矩形最高，
故在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为最多，
故选项B正确；
估计全校学生的平均成绩为分，
故选项C正确；
全校学生成绩的样本数据的分位数约为分，
故选项D错误．
故选：．
对于选项A，由频率分布直方图的面积之和为列方程求解即可；
对于选项B，区间所对应的矩形最高，从而判断；
对于选项C，利用加权平均数求样本平均数，从而估计全校学生的平均成绩；
对于选项D，利用百分位数的定义求值即可．
本题考查了频率分布直方图的综合应用，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：若，是对立事件，则事件，满足，所以选项正确；
若事件，互斥，如：投掷一枚均匀的骰子，设向上的点数是，项上的点数是，则，互斥，，所以选项错误；
只有当和互斥时，，所以选项错误；
若和相互独立，则，所以选项正确．
故选：．
利用对立事件．互斥事件，相互独立事件定义可依次判断．
本题考查对立事件．互斥事件，相互独立事件定义，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，，，易知，，连接，
在中，易知与不垂直，故A与不垂直，故A错误；
易知，，可得平面，故AB，同理，故A平面，
因此平面即为平面，
记点到平面的距离为，则，
即，解得，故B正确；
连接，易知，平面，故BD平面，即平面，故C正确；
设与平面的交点为，设与交于点，连接，则，
易得，解得，
又平面，故AB，
因此截面面积为，故D正确．

故选：．
连接，，，易知，由与不垂直，故A与不垂直，即可判断；
推理证明平面即为平面，利用等体积法求得到平面的距离可判断；
连接，易知，由线面平行的判定定理可判断；
通过长度计算出截面的面积可判断．
本题考查了空间中的线线关系、线面关系的判断以及距离的计算，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，，
又，
．
故答案为：．
由已知条件可得，，将平方开根号，即可求解．
本题主要考查向量模的求解，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，直观图中，是等腰直角三角形，
其中，，，，
由此可知平面图形是如图所示的，
其中，，，，
故的周长为．
故答案为：．
根据题意，由直观图还原的图形，由此计算可得答案．
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由正弦定理，可得，
当时，，此时唯一；
当时，有两个值，不唯一；
当时，，即，，唯一．
因此，．
故答案为：．
由正弦定理可得，分类讨论利用正弦函数的性质即可求解．
本题考查了正弦定理以及正弦函数的性质的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，相交于，连接，取的中点，连接，，
设，可得，，
由，可得，，可得平面，
过点作，可得平面，可得的长为内切球半径，
又由，，有，可得，解得，
该正八面体的表面积为．
故答案为：．

连接，相交于，连接，取的中点，连接，，设，根据题意平面，过点作，可得平面，可得的长为内切球半径，即可求解．
本题考查了正八面体的表面积计算，属于中档题．
 

17.【答案】解：在平行四边形中，为的中点，，，
，
即． 

【解析】利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题．
 

18.【答案】解：因为，
由正弦定理可得：，
因为，
所以，
则，
又，
故；
由，
得，
又，
由余弦定理知，
则． 

【解析】由正弦定理及两角和的正弦公式可得，求出，得解；
由平面向量数量积公式可得，结合余弦定理知求解即可．
本题考查了两角和的正弦公式，重点考查了平面向量数量积的运算及正弦定理、余弦定理，属基础题．
 

19.【答案】解：由频率分布直方图可知，一级有个数据，记为，，五级有个数据，记为，，，
从中选取两个，这个试验的样本空间，，，，，，，，，，共个；
记“一级和五级数据恰均被各选中一个”为事件，
则，，，，，，，
则． 

【解析】由频率分布直方图可知，一级有个数据，记为，，五级有个数据，记为，，，再利用列举法写出样本空间即可．
利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
 

20.【答案】解：因为，
，
，
所以．

证明：连接交于点，连接，
则在平行四边形中，点为的中点，
又点为的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
 

【解析】由题意可得，利用棱柱，棱锥的体积公式即可求解．
连接交于点，连接，利用中位线的性质可证，进而利用线面平行的判定即可证明平面．
本题考查多面体的体积的求法，考查了线面平行的判定，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：设，分别表示甲、乙在第次投篮时投中，
则，，，
记“甲获胜”为事件，
则．
记“投篮结束时乙只投了个球”为事件，
则． 

【解析】根据相互独立事件的乘法公式计算即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

22.【答案】证明：四边形是菱形，，
平面，，平面，
又平面，，平面，
平面，平面平面；
解：四边形是菱形，≌，≌，
，，≌，
过点作，连接，则，则为二面角的平面角，
二面角为直二面角，为直角，
设菱形的边长为，
过点作，垂足为，易得，，
，，，，，
在中，，，，
在中，，设，则，，，
由图得，解得，，
又与平面所成角为，．
 

【解析】根据题意得到平面，又平面，即可得证；
过点作，连接，则，则为二面角的平面角，设菱形的边长为，
过点作，垂足为，易得，，结合图像与平面所成角为，即可求解．
本题考查了面面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．