2021-2022学年广西平果市第二中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年广西平果市第二中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．若是纯虚数（其中i为虚数单位），则实数（    ）

A．±3 B．±1 C．-1 D．3

【答案】A

【分析】化简复数，根据题意列出方程组，即可求解.

【详解】由，因为是纯虚数，

可得，解得.

故选：A

2．已知向量，，则（    ）

A．-2 B．-3 C．-4 D．-5

【答案】A

【分析】利用向量数量积的坐标运算公式进行计算.

【详解】

故选：A

3．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（    ）

A．两条相交直线确定一个平面

B．两条平行直线确定一个平面

C．四点确定一个平面

D．直线及直线外一点确定一个平面

【答案】A

【分析】利用平面的基本性质求解.

【详解】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，

所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.

故选：A

4．在中，已知，则是（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．钝角三角形 D．直角三角形或钝角三角形

【答案】D

【分析】将不等式移项，结合三角函数两角和差公式即可得出结论.

【详解】由题可知：，

故为锐角或直角，由三角形的内角和为180°可知C为钝角或直角，

故三角形为直角或钝角三角形.

故选：D.

5．已知的三边长分别为1，，，则它的最大内角的度数是（    ）

A．90° B．135° C．120° D．150°

【答案】B

【分析】由余弦定理即可算出答案.

【详解】因为的三边长分别为1，，，

所以边长为的边所对的角最大，其余弦值为

所以最大内角的度数是

故选：B

【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，较简单.

6．某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，扇形的半径为5，则圆锥的体积为（    ）

A． B．75 C． D．

【答案】D

【分析】根据扇形弧长求出圆锥底面圆的半径，进而求出圆锥的高，求出体积.

【详解】设底面圆的半径为，则，解得：，

设圆锥的高为，则，

则圆锥的体积为.

故选：D

7．在中，，，，则的外接圆半径为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】A

【分析】利用余弦定理求出，再利用正弦定理求解外接圆半径即可.

【详解】根据题意得：，解得，所以的外接圆半径为：.

故选：A.

8．如图，正三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱，一小虫从点A途经三个侧面爬到点，则小虫爬行的最短距离为（    ）

A．4 B．5 C． D．

【答案】C

【分析】将三棱柱展开为一矩形，确定边长，确定小虫爬行的轨迹，即可求得答案.

【详解】三棱柱的侧面展开图为一个矩形，如图所示,

因为正三角形ABC的边长为3，侧棱，所以，

所以，即小虫爬行的最短距离为,

故选：C

9．如图所示，在圆O中，向量是(　　)

A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量

【答案】C

【详解】 故选C.

二、多选题

10．若复数，且满足，则的值可为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据复数的加减运算结合复数的模列方程，整理可得，分析选项即可得答案.

【详解】解：，

，

，

的值符合条件的只有选项A，D.

故选：AD.

11．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下面四个结论中正确的是（    ）

A．若，，且，，则且

B．若，，则

C．若，，则

D．若直线，在平面内的射影互相垂直，则与的夹角可能为

【答案】AD

【分析】根据线面位置关系分别判断各选项.

【详解】A选项：，则，又，且，则成立，同理成立，A选项正确；

B选项：若，，则或或与相交（不一定垂直），B选项错误；

C选项：若，，则或或与相交（不一定垂直），C选项错误；

D选项：如图

在正方体中，设为，为，平面为，则与在平面内的射影分别为与，且，与异面且夹角为，D正确；

故选：AD.

12．在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（    ）

A．，有唯一解

B．，无解

C．，有两解

D．，有唯一解

【答案】AD

【分析】根据三边确定可判断A选项；由正弦定理，在结合大边对大角可判断B，C，D选项.

【详解】解：选项，已知三边三角形确定，有唯一解，正确；

选项，由正弦定理得：，则，再由大边对大角可得，故可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B错误；

选项C，由正弦定理得：，则，且，由大边对大角可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误；

选项D，由正弦定理得：，，由于，则是锐角，有唯一解，D正确.

故选：AD.

三、填空题

13．在△ABC中，若BC=3，AC=2，A=60°， 则sinB = ________.

【答案】

【分析】利用正弦定理可求.

【详解】由正弦定理可得，故，故，

故答案为：.

14．一个长方体的长、宽、高分别为9，8，3，若在上面钻一个高为3的贯穿上下表面的圆柱形孔后，其表面积没有变化，则孔的半径为______.

【答案】3

【分析】根据在上面往下面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，可知圆孔的侧面积与两个底面的面积和相等，然后列出等式即可求解．

【详解】解：正方体被钻掉一个圆柱形孔后，正方体的表面积减少了两个圆柱的底面积大小，同时又增加了圆柱的侧面积，

∵在上面往下面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，∴圆孔的侧面积与两个底面的面积和相等，

设圆柱的底面半径为r，则2πr2＝2πr•3，即r＝3，

故答案为：3．

15．已知向量，，若，则___________.

【答案】

【分析】根据和代入计算整理．

【详解】因为向量，，且，所以，解得，.

故答案为：．

16．图中小正方形的边长为1，一个四边形的直观图为如图所示的四边形，则该四边形的平面图形的面积为__________．

【答案】

【分析】根据斜二测画法，得出该四边形在平面直角坐标系中的图形，由梯形和三角形的面积公式可求得答案.

【详解】由已知可得该四边形在直角坐标系下的平面图形如图所示，

由斜二测画法可知，，，

过点作，则，，设梯形的面积为，

所以该四边形的平面图形的面积为

．

故答案为：.

四、解答题

17．已知复数满足，．

(1)求复数；

(2)求复数的实部和虚部．

【答案】(1)

(2)复数的实部为，虚部为.

【分析】（1）设复数，由，列方程组可求出的值，即可求出复数.

（2）由复数的乘法运算即可求出，即可得到的实部和虚部.

【详解】（1）设复数，则，由，解得：.

再由， ，解得：，故复数.

（2）因为，，，复数的实部为，虚部为.

18．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别为的中点，平面平面.

(1)证明：平面；

(2)证明：.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据线面平行的判定，构造平行四边形证明线线平行，即可证线面平行；

（2）根据面面垂直的性质得线面垂直，再根据线面垂直得线线垂直，结合（1）中结论，即可证明.

【详解】（1）证明：因为在四棱锥中，分别为的中点.

取的中点，连接，

所以，且，

因为四边形是矩形，所以，且，

所以，且，

所以四边形是平行四边形，所以，

因为平面平面，

所以平面；

（2）证明：平面平面，，

又在矩形中，，且面，

面，

面，

由（1）得，

.

19．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.

（1）求的值

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由正弦定理可得结果；

（2）先由三角恒等变换求得，再由正弦定理可得结果.

【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以；

（2）由（1）知，所以，又，

所以，

由正弦定理得.

20．已知向量，若，

（1）求向量与的夹角；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）先根据求出，再由可求出；

（2）先求出，即可求出的值.

【详解】（1），，

，，解得，

，，，

，

又，所以

所以与的夹角为；

（2），

.

21．如图1，是等边三角形，是直角三角形，BD⊥BC，，将沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2.

(1)证明：BC⊥平面ABD；

(2)求平面ABC与平面BCD所成的二面角的正切值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，依题意可得，再由面面垂直得到平面，即可得到，再由，即可得证；

（2）由（1）可知，又，则为平面与平面所成的角，从而得解.

【详解】（1）证明：由已知，折叠后的几何体是三棱锥，取的中点，连接，

因为是等边三角形，所以，

因为平面平面，平面平面BCD＝BD，平面，所以平面，

因为平面，所以，

因为，，所以平面；

（2）解：由（1）知平面.

因为平面，所以，

又，所以平面与平面所成的角为，

因为是等边三角形，所以，

所以平面与平面所成角的正切值.

22．在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且三角形外接圆半径为.

(1)求C的大小；

(2)若的面积为，求的值.

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）由正弦定理边角互化后直接利用三角函数关系式的恒等变换化简后求角；

（2）利用正弦定理求出，由三角形的面积公式求出，再由余弦定理求出结果即可.

【详解】（1）因为，所以由正弦定理得,

所以，

所以,

即

，，，.

（2）因为的面积为，所以，解的，

三角形外接圆半径为，，解得，

由余弦定理可得，，所以，

,

.