2023年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷(含解析)

这是一份2023年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 计算m6÷m2的结果是( )
A. m-4B. m3C. m4D. m8
2. 据国家医保局公布的《2022年医疗保障事业发展统计快报》显示，2022年全年医保基金支付核酸检测费用4300000000元.数4300000000用科学记数法表示为( )
A. 43×108B. 4.3×109C. 4.3×1010D. 0.43×1010
3. 如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱组成的，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 祖冲之是中国数学史上伟大的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献.数学活动课上，同学们对圆周率的小数点后100位数字进行了统计：
那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为( )
A. 9，5B. 14，4.5C. 14，5D. 9，4.5
5. 如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO=5，BO=2，∠AOD=120°，则阴影部分面积为( )
A. 14πB. 7πC. 253πD. 2π
6. 如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为( )
A. 2.5B. 2C. 1.5D. 1
7. 我国古代数学名著《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱.问梨果各几何？”意思是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个，问梨果各买了多少个？如果设梨买x个，果买y个，那么可列方程组为( )
A. x+y=100011x9+4y7=999B. x+y=10009x11+7y4=999
C. x+y=99911x9+4y7=1000D. x+y=9999x11+7y4=1000
8. 如图，直线y=k1x+b与双曲线y=k2x交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1xA. -5B. 1C. -50
D. x<1或x>5
9. 以直角三角形的各边为边分别向外作正方形(如图1)，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )
A. 四边形ABCD的面积B. 四边形DCEG的面积
C. 四边形HGFP的面积D. △GEF的面积
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
10. 请写出一个小于3的无理数 ．
11. 分解因式：x2-49= ．
12. 一个不透明的袋子里装有2个黑球和7个白球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为 ．
13. 如图，已知⊙O的直径AB为8，点M是⊙O外一点，若MB是⊙O的切线，B为切点，且MB=3，Q为⊙O上一动点，则MQ的最小值为______．
14. 定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数y=kx的图象上，则称这个矩形为“奇特矩形”.如图，在直角坐标系中，矩形ABCD是第一象限内的一个“奇特矩形”.且点A(4,1)，B(7,1)，则矩形ABCD的面积为 ．
15. 如图，一张矩形纸片ABCD中，BCAB=m(m为常数).将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P.当点H落在BC的中点时，且CPCD=13，则m= ．
三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
(1)计算：a(2-a)+(a+3)2．
(2)解不等式组：2x>21-x≤2．
17. (本小题8.0分)
如图，在5×5的方格纸中，点A，B是方格中的两个格点，记顶点都在格点的四边形为格点四边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)．
(1)在图1中画出线段AB的中点O；
(2)在图2中画出一个平行四边形AMBN，使AM=2AB，且平行四边形AMBN为格点四边形．
18. (本小题8.0分)
抛物线y=(x+1)(x-t)(t为常数)经过点A(4,5)，B(m,n)．
(1)求t的值；
(2)若n<5，求m的取值范围．
19. (本小题10.0分)
某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如两幅尚不完整的统计图．

请根据以上信息解答下列问题：
(1)课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为 ；
(2)请补全条形统计图；
(3)该校共有1200名男生，小明认为“全校男生中，课外最喜欢参加的项目是乒乓球的人数约为1200×27300=108”，请你判断这种说是否正确，并说明理由．
20. (本小题8.0分)
如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图.AB是缓降器的底板，压柄BC可以绕着点B旋转，液压伸缩连接杆DE的端点D、E分别固定在压柄BC与底板AB上已知BE=12cm．
(1)如图2，当压柄BC与底座AB垂直时，∠DEB约为22.6°，求BD的长；
(2)现将压柄BC从图2的位置旋转到与底座AB成37°角(即∠ABC=37°)，如图3所示，求此时液压伸缩连接杆DE的长.(结果保留根号)(参考数据：sin22.6≈513，cs22.6°≈1213，tan22.6°≈512；sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34)
21. (本小题12.0分)
如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程，y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象．
(1)填空：a的值为______，m的值为______，AB两地的距离为______km．
(2)求m小时后，乙车离C站的路程y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式．
(3)请直接写出乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过300km时行驶时间x的取值范围．
22. (本小题12.0分)
新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．
问题探究：
(1)如图1，等边△ABC边长为3，垂直于BC边的等积垂分线段长度为 ；
(2)如图2，在△ABC中，AB=8，BC=63，∠B=30°，求垂直于BC边的等积垂分线段长度；
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=BC=6，AD=3，求出它的等积垂分线段长．
23. (本小题14.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交⊙O于点D，连接BD，已知BC=6，∠BAC=α．
(1)求证：BD=DI；
(2)若tanα2=34，连接1O，求IO的最小值；
(3)若tanα2=33，当AB为何值时，△ABE为等腰三角形．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：m6÷m2=m4．
故选：C．
直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：4300000000=4.3×109．
故选：B．
科学记数法的表示形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为±a×10n，其中1≤|a|<10，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
3.【答案】C
【解析】解：从正面看，是一行两个相邻的矩形，
故选：C．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4.【答案】A
【解析】解：圆周率的小数点后100位数字中，9出现的次数最多，故众数为9，
第50个和第51个数字都是5，故中位数是5．
故选：A．
直接根据众数和中位数的定义可得答案．
本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=120π×52360-120π×22360
=21π3
=7π，
故选：B．
根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC，求解即可．
本题考查扇形的面积，解题的关键是熟记扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2或S扇形=12lR(其中l为扇形的弧长)．
6.【答案】C
【解析】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC=4．
∵∠AFB=90°，D是AB的中点，
∴DF=12AB=2.5，
∴EF=DE-DF=4-2.5=1.5．
故选C．
利用三角形中位线定理得到DE=12BC.由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF=12AB.所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．
本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．
7.【答案】A
【解析】解：依题意，得：x+y=100011x9+4y7=999．
故选：A．
根据用999文钱买得梨和果共1000个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由k1x
所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移2b个单位得到，
直线向下平移2b个单位的图象如图所示，交点A'的横坐标为-1，交点B'的横坐标为-5，
当-50时，双曲线图象在直线图象上方，
所以，不等式k1x0．
故选：C．
根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，相当于把直线向下平移2b个单位，然后根据函数的对称性可得交点坐标与原直线的交点坐标关于原点对称，再找出直线在双曲线下方的自变量x的取值范围即可．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据不等式与函数解析式得出不等式的解集与双曲线和向下平移2b个单位的直线的交点有关是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图1，设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，
如图2，四边形ABCD的面积为S1，四边形DCEG的面积为S2，△GEF的面积为S3，四边形HGFP的面积为S4．
∵S4+S阴影=12(c-a)，S3+S4=12b，
∵c=a+b，
∴b=c-a，
∴S4+S阴影=S3+S4，
∴S3=S阴影，
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出S3，
故选：D．
如图1，设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，如图2，设四边形ABCD的面积为S1，四边形DCEG的面积为S2，△GEF的面积为S3，四边形HGFP的面积为S4.S4+S阴影=12(c-a)，S3+S4=12b，把b=c-a代入即可得到结论．
本题考查了勾股定理，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10.【答案】7
【解析】解：小于3的无理数无限多个．例如：2、3、5、6、(两个1之间依次多一个0)等．
故答案为：7．
符合题意的无理数既可以．
本题考查了无理数，掌握无理数的定义，会比较无理数的大小是解决本题的关键．
11.【答案】(x+7)(x-7)
【解析】解：原式=x2-72
=(x+7)(x-7)．
故答案为：(x+7)(x-7)．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
12.【答案】29
【解析】解：摸出黑球的概率为22+7=29．
故答案为：29．
根据简单随机事件的概率计算方法进行求解即可得出答案．
本题考查了概率公式，掌握概率公式进行求解是解决本题的关键．
13.【答案】1
【解析】解：∵MB是⊙O的切线，
∴∠ABM=90°，
∵⊙O的直径AB为8，
∴OB=4，
连接OM交⊙O于Q，
则此时MQ的值最小，
∵MB=3，
∴OM=OB2+BM2=42+32=5，
∴MQ=5-4=1，
故MQ的最小值为1，
故答案为：1．
根据切线的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
14.【答案】35或27
【解析】解：当反比例函数y=kx的图象经过AB、CD上的点时，
设BC=n，
∵点A(4,1)，B(7,1)，
∴点(5,1+n)和点(6,1)在反比例函数y=kx的图象上，
∴5(1+n)=6×1，
解得n=15；
当反比例函数y=kx的图象经过AD、BC上的点时，
设BC=n，
∵点A(4,1)，B(7,1)，
∴点(4,1+23n)和点(7,1+13n)在反比例函数y=kx的图象上，
∴4(1+23n)=7(1+13n)，
解得n=9，
∴BC的长为15或9，
∵点A(4,1)，B(7,1)，
∴AB=7-4=3，
∴矩形的面积为35或27．
故答案为：35或27．
根据题意分两种情况：设BC=n，当反比例函数y=kx的图象经过AB、CD上的点时，则点(5,1+n)和点(6,1)在反比例函数y=kx的图象上，根据反比例函数系数k=xy得到5(1+n)=6×1，解得n=15；当反比例函数y=kx的图象经过AD、BC上的点时，则点(4,1+23n)和点(7,1+13n)在反比例函数y=kx的图象上，则4(1+23n)=7(1+13n)，解得n=9，即可求得BC的长为15或9，进一步求得矩形的面积为35或27．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
15.【答案】277
【解析】解：∵CPCD=13，
设CP=t，则CD=AB=3t，
∵点H是BC的中点，
∴CH=BH=12BC，
∵△CHP∽△BEH，
∴CHBE=CPBH，
即12BCBE=t12BC，
∴BC2=4BE⋅t①，
∵AE=AB-BE，AE=EH，CD=AB=3t，
∴AE=EH=3t-BE，
在Rt△BEH中，EH2=BE2+BH2，
∴(3t-BE)2=BE2+(12BC)2②，
解①②得BE=97t，
∴BC2=4BE⋅t=4×97t×t=367t2，
∴BC=677t，
∴m=BCAB=677t3t=277．
故答案为：277．
根据CPCD=13，设CP=t，则CD=AB=3t，根据△CHP∽△BEH，得到BC2=4BE⋅t①，在Rt△BEH中，利用勾股定理得到(3t-BE)2=BE2+(12BC)2②，解①②即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，从复杂的图形中找出相似三角形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)a(2-a)+(a+3)2
=2a-a2+a2+6a+9
=8a+9．
(2)由2x>2，得x>1．
由1-x≤2，得x≥-1．
∴这个不等式组的解集为x>1．
【解析】(1)根据整式的混合运算法则，利用单项式乘多项式的乘法法则以及完全平方公式计算乘法，再计算加法．
(2)根据不等式的性质解决此题．
本题主要考查整式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握整式的混合运算法则、完全平方公式、单项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
17.【答案】解：(1)如图1中，点O即为所求；

(2)如图2中，平行四边形AMBN即为所求．

【解析】(1)利用网格特征画矩形AB的中点O即可；
(2)利用数形结合的思想画出图形即可．
本题考查作图-应用与设计作图，掌握勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵抛物线y=(x+1)(x-t)(t为常数)经过点A(4,5)，
∴5=(4+1)(4-t)，
∴t=3；
(2)∵t=3，
∴y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3，
∴该抛物线的对称轴为x=-b2a=1，
∴由对称性得m的取值范围为-2【解析】(1)把A(4,5)代入解析式即可求出a的值；
(2)根据解析式即可求出该抛物线的对称轴为x=-b2a=1，A(4,5)关于对称轴的对称点为(-2,5)，所以当n<5时，m的取值范围为-2本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19.【答案】144°
【解析】解：(1)360°×(1-15%-45%)=360°×40%=144°；
故答案为：144°；
(2)“经常参加”的人数为：300×40%=120(人)；
喜欢篮球的学生人数为：120-27-33-20=120-80=40(人)；
补全统计图如图所示：

(3)这个说法不正确．
理由如下：小明得到的108人是全校经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的项目是乒乓球的人数，全校偶尔参加课外体育锻炼的男生也有最喜欢乒乓球的，因此应多于108人．
(1)用“经常参加”所占的百分比乘以360°计算即可得解；
(2)先求出“经常参加”的人数，然后求出喜欢篮球的人数，再补全统计图即可；
(3)用总人数乘以喜欢篮球的学生所占的百分比计算即可得解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】解：(1)在Rt△BDE中，∠DBE=90°，∠DEB=22.6°，BE=12cm，
∴tan∠DEB=BDBE，
∴BD=BE⋅tan∠DEB≈12×512=5(cm)．
答：BD的长为5cm；
(2)在图3中，过点D作DF⊥AB于点F．
在Rt△BDF中，∠BFD=90°，∠DBF=37°，BD=5cm，
∴sin∠DBF=DFBD，cs∠DBF=BFBD，
∴DF=BD⋅sin∠DBF≈5×35=3(cm)，BF=BD⋅cs∠DBF≈5×45=4(cm)．
在Rt△DEF中，∠DFE=90°，DF=3cm，EF=BE-BF=12-4=8(cm)，
∴DE=DF2+EF2=32+82=73(cm)．
答：此时液压伸缩连接杆DE的长为73cm．
【解析】(1)在Rt△BDE中，由tan∠DEB=BDBE，结合BE的长及∠DEB的度数，即可求出BD的长；
(2)在图3中，过点D作DF⊥AB于点F，在Rt△BDF中，通过解直角三角形，可求出DF，BF的长，再在Rt△DEF中，利用勾股定理，即可求出DE的长．
本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是：(1)在Rt△BDE中，通过解直角三角形求出BD的长；(2)在Rt△DEF中，利用勾股定理求出DE的长．
21.【答案】120 1.5 480
【解析】解：(1)∵甲的速度=3606=60(km/h)，
∴BC的距离a=60×2=120(km)，
∴AB=360+120=480(km)，
∴乙车速度=4806=80(km/h)，
∴m=12080=1.5(h)，
故答案为：120，1.5，480；
(2)设1.5小时后，乙车离C站的路程y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式y=kx+b，
360=6k+b0=1.5k+b，
解得：k=80b=-120，
∴函数关系式为y=80x-120；
(3)当0≤x≤1.5时，360-60x+120-80x≤300，
∴x≥97，
∴当97≤x≤32，两车与车站C的路程之和不超过300km，
当1.5∴x≤3，
∴当1.5综上所述：当97≤x≤3，两车与车站C的路程之和不超过300km．
(1)先求出甲的速度，利用路程=速度×时间，可求a的值，m的值，AB的距离；
(2)利用待定系数法可求解析式；
(3)分两种情况讨论，由题意列出不等式，即可求解．
本题考查了一次函数的应用，理解图象，求出甲，乙速度是本题的关键．
22.【答案】332
【解析】解：(1)过A点作BC的垂线AD，AD为垂直于BC边的等积垂分线，

∴AD=AB×sin60°=3×32=332．
故答案为：332；
(2)作AH⊥BC于H，线段EF是垂直于BC边的等级垂分线，设EF=x，

在Rt△ABH中，
∵∠AHB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴AH=12AB=4，BH=3AH=43，
∵BC=63，
∴S△ABC=12⋅BC⋅AH=12×63×4=123，
∴S△BEF=12S△ABC=63，
∴12×x×3x=63，
解得x=23或-23(舍弃)，
∴BC边的等级垂分线段的长度为23．
(3)①当线段EF是等积垂分线段时，作FG⊥BH于G，
设EF交BD于H.设DE=x，

在Rt△ABC中，
∵∠A=90°，AD=3，AB=6，
∴BD=AD2+BD2=32+62=35，
∵EF//AB，
∴EHAB=DHDB=DEAD，
∴EH6=DH35=x3，
∴EH=2x，DH=5x，
∴BH=35-5x，
∵∠A=∠C=90°，
BD=BDAB=BC，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL)，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠FHB=∠HBA，
∴∠FHB=∠FHB，
∴FH=FB，
∵FG⊥BH，
∴HG=GB=35-5x2，
∵△FGB∽△DAB，
∴FG=35-5x4，BF=FH=15-5x4，
∴EF=EH+FH=2x+15-5x4=15+3x4．
∵四边形EFCD的面积=四边形EFBA的面积，△ABD的面积=△BDC的面积，
∴△DEH的面积=△BHF的面积，
∴12×2×x=12×(35-5x)×35-5x4，
解得：x=210-5(负根已经舍弃)，
∴EF=15+3(210-5)4=3102．
②作EG⊥BD于G，EF交BD于H，当线段EF是等积垂分线段时，设FH=y，
∴BF=2y，BH=5y．

∵EF/​/AD，
∴∠ADH=∠EHD，
∵∠ADB=∠BDC，
∴∠EDH=∠EHD，
∴ED=EH，
∵EG⊥DH，
∴DG=GH=35-5y2，
∵tan∠EDG=BCCD=EGDG=2，
∴EG=35-5y，EH=15-5y2，
∴EF=EH+FH=y+15-5y2=15-3y2．
由△DEH的面积=△BHF的面积，
∴12×(35-5y)(35-5y)=12×2y×y，
解得y=5-10(负根已经舍弃)，
∴EF=15-3(5-10)2=3102．
综上所述，四边形ABCD的一条等积垂分线段的长为3102．
(1)过A点作BC的垂线AD，求得AD的长度即可；
(2)如图2中，线段EF是垂直于BC边的等级垂分线段，设EF=x.作AH⊥BC于H.构建方程即可解决问题．
(3)分两种情形：①如图3-1中，当线段EF是等积垂分线段时，设EF交BD于H.作FG⊥BH于G.设DE=x.构建方程即可解决问题．②如图3-2中，当线段EF是等积垂分线段时，设EF交BD于H.作EG⊥BD于G.设FH=y，则BF=2y，BH=5y.构建方程即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23.【答案】证明：(1)如图1中，连接BI．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠IBE，
∵∠DIB=∠BAI+∠ABI，∠DBI=∠DBE+∠IBE，∠DBE=∠CAI，
∴∠DIB=∠DBI，
∴DI=DB．
(2)解：∵∠BAD=∠CAD，
∴BD=DC，
∴点D是BC的中点，点D是一个定点，
∵BD=BI，
∴点I在以点D为圆心，DB长为半径的圆上运动，
∴当I，O，D三点共线时，OI的值最小，如图2中，此时AD为⊙O的直径，且AD是BC的垂直平分线，∠CBD=∠EAC=∠BAE=12∠BAC=12α.
∵BC=6，
∴BE=CE=12BC=3，
在Rt△BDE中，DE=-BE⋅tan∠CBD=BE⋅tan12α=94，
∴DI=BD=DE2+BE2=154，
在Rt△ABE中，AE=BEtan12α=334=4，
∴AD=DE+AE=254，
∴OD=12AD=258，
∴OI的最小值=DI=OD=154-258=58．
(3)解：∵tan12α=33，
∴α=60°，
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=12α=30°，
连接OB，OD，设OD交BC于M．
∵BD=CD，BC=6，
∴OD⊥BC，BM-CM=12BC=3，∠BOD=2∠BAD=60°，
∴△BOD是等边三角形，
∴OB=OD=BD=23，
①如图3中，当AB=BE时，∵∠BEA=∠BAE=30°，∠CBD=∠CAE=30°，
∴∠CED=∠BEA=30°，
而∠CED=∠CBD+∠BDE=30°+∠BDA，矛盾，故此种情形不成立．
②如图4中，当AB=AE时，作AN⊥BC于N，EH⊥BD于H．
此时∠BAE=30°，∠ABE=∠AEB=75°，△ANE∽△DME，
∴∠CBD=∠CAE=30°，∠CED=∠AEB=75°，
∴∠EDB=∠CED-∠CBD=45°，
设DH=x，则EH=x，BH=3x，
∵BH+DH=BD=23，
∴3x+x=23，
∴x=3-3，
∴BE=2EH=6-23，DE=2EH=32-6，
∴EM=BM-BE=23-3，EN=12BE=3-3，
∵△ANE∽△DME，
∴NEEM=AEDE，即3-323-3=AE32-6，解得AE=26，
∴AB=AE=26．
③如图5中，当BE=AE时，此时∠EBA=∠BAE=30°，
∵△BOD是等边三角形，OD⊥BC，
∴∠EBO=30°=∠EBA，
∴点A，O，B三点共线，
∴AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AB=2BD=43，
综上所述，AB=26或43时，△ABE是等腰三角形．
【解析】(1)欲证明DB=DI，只要证明∠BDI=∠BID．
(2)首先说明，当I，O，D三点共线时，OI的值最小，如图2中，此时AD为⊙O的直径，且AD是BC的垂直平分线，由此即可解决问题．
(3)分三种情形分别求解即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
数字
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
频数
8
8
12
11
10
8
9
8
12
14