2024年浙江省宁波市余姚市中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年浙江省宁波市余姚市中考数学一模试卷（含详细答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.为了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为−2℃，最高气温为7℃.则该地这天的温差(最高气温与最低气温的差)为( )
A. −9℃B. −5℃C. 5℃D. 9℃
2.下列计算正确的是( )
A. (−3)2=−3B. 32=3C. (−3)2=±3D. 32=±3
3.已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元.若在该快递公司寄一件9千克的物品，则需要付费( )
A. 17元B. 19元C. 21元D. 23元
4.如图所示几何体是由一个四棱柱上放置一个球体得到的，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.一组数据−2，a，5，3，7有唯一的众数7，则这组数据的中位数是( )
A. −2B. 3C. 5D. 7
6.照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f=1u+1v(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离．已知f，v，则u=( )
A. fvf−vB. f−vfvC. fvv−fD. v−ffv
7.如图，在Rt△ABC中，BC的中垂线与BC交于点D，与AC交于点E，连结BE，F为BE的中点，若DF=2，则AE的长为( )
A. 5
B. 2 3
C. 4
D. 3
8.如图，将矩形ABCD绕点C顺时针方向旋转90∘得到矩形FGCE，连结AF，点H是AF的中点，连结GH.若AB=2，BC=4，则GH的长为( )
A. 2
B. 2
C. 1
D. 2 2
9.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)在二次函数y=−x2+c(c>0)的图象上，点A，C是该函数图象与正比例函数y=kx(k为常数且k>0)的图象的交点.若x1<0A. y310.将正六边形ABCDEF折叠成三角形后(如图1)用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕AG+BH=AB，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的56.则GHAB的值为( )
A. 22B. 55C. 12D. 23
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：9−y2=______.
12.请写出一个小于3的无理数______.
13.一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球(仅有颜色不同).若从中任意摸出一个球是红球的概率为23，则n=______.
14.已知一次函数y=2x−3与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(2,1)，则方程组y=2x−3y=kx的解是______.
15.如图，在△ABC中，AB=AC=3，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，OC=2OB，D是BC边上的动点(不与B，C重合)，当△ACD为等腰三角形时，BD的长为______.
16.如图，直角坐标系中，▱AOBC的顶点B在x轴的正半轴上，A，C在第一象限.反比例函数y=25x(x>0)的图象经过点A，与BC交于点D，AE⊥x轴于点E，连结DE并延长交AO的延长线于点F，反比例函数y=1x(x<0)的图象经过点F，连结BF，则△BDF的面积为______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
小明在计算a(2+a)−(a−2)2时，解答过程如下：
a(2+a)−(a−2)2
=2a+a2−(a2−4)…第一步
=2a+a2−a2−4…第二步
=2a−4…第三步
小明的解答从第______步开始出错，请写出正确的解答过程.
18.(本小题6分)
图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形.
(1)在图1中画出一个以AB为边的▱ABCD，且点C和点D均在格点上；
(2)在图2中画出一个以AB为对角线的菱形AEBF，且点E和点F均在格点上.
19.(本小题8分)
如图，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A(a,3)，与y轴交于点B.
(1)求点A的坐标和反比例函数的表达式；
(2)若点P在y轴上，△ABP的面积为6，求点P的坐标.
20.(本小题8分)
某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件．用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值).已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品．
(1)求4月份生产的该产品抽样检测的合格率；
(2)在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数最多？为什么？
21.(本小题8分)
在边长为3的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F.
(1)若ED=1，求DF的长.
(2)求证：AE⋅CF=9.
(3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G.若EG=ED，求ED的长.
22.(本小题8分)
根据以下素材，探索完成任务.
23.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax2+bx−4a(a,b是常数，a≠0).
(1)判断该函数图象与x轴的交点个数，并说明理由；
(2)若该函数图象的对称轴为直线x=2，A(x1,m)，B(x2,m)为该函数图象上的任意两点，其中x1(3)若该函数图象的顶点在第二象限，且过点(1,2)，当a24.(本小题12分)
如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC交BD于点G，AB=AC，点F在线段BD上，且AF=AD.
(1)若∠ADB=α，请用α的代数式表示∠ADC；
(2)求证：BF=CD；
(3)如图2，延长AF交⊙O于点M，连结FC.
①若AM为⊙O的直径，AM=13，tan∠DAC=23，求AF的长；
②若FG=2GD，猜想∠AFC的度数，并证明你的结论.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：7−(−2)=9(℃).
故选：D.
根据题意列出式子再进行计算即可．
本题考查有理数的减法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、原式=3，故此选项不符合题意；
B、原式=3，故此选项符合题意；
C、原式=3，故此选项不符合题意；
D、原式=3，故此选项不符合题意．
故选：B.
根据二次根式的性质进行化简，从而作出判断．
本题考查二次根式的性质，理解二次根式的性质 a2=|a|是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
13+(9−5)×2
=13+4×2
=13+8
=21(元)，
故选：C.
根据题意和题目中的数据，可以列出算式13+(9−5)×2，然后计算即可．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：从左面看易得，底层是一个长方形，上层是一个圆．
故选：B.
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了简单组合体的三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
5.【答案】C
【解析】解：∵数据−2，a，5，3，7有唯一的众数7，
∴a=7，
把这些数从小到大排列为−2，3，5，7，7，
则这组数据的中位数是5.
故选：C.
根据众数的定义先求出a的值，再根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数或中间两个数的平均数即可得出答案．
本题主要考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数．
6.【答案】C
【解析】解：1f=1u+1v(v≠f)，
1f=1u+1v，
1u=1f−1v，
1u=v−ffv，
u=fvv−f.
故选：C.
利用分式的基本性质，把等式1f=1u+1v(v≠f)恒等变形，用含f、v的代数式表示u.
考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
7.【答案】C
【解析】解：∵BC的中垂线与BC交于点D，与AC交于点E，
∴BD=CD，BE=CE，
∵F为BE的中点，
∴DF是△BCE的中位线，
∴CE=2DF=4=BE，
∵∠ABC=90∘，
∴∠A+∠C=90∘，∠ABE+∠CBE=90∘，
∵BE=CE，
∴∠C=∠CBE，
∴∠A=∠ABE，
∴AE=BE=4，
故选：C.
根据线段中垂线的性质求出BD=CD，BE=CE，进而求出DF是△BCE的中位线，根据三角形中位线的性质求出CE=2DF=4=BE，根据直角三角形的性质及角的和差求出∠A=∠ABE，根据等腰三角形的判定求解即可．
此题考查了三角形中位线，根据三角形中位线的性质求出CE的长是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，延长GH交AD于M，
依题意GF//AD，GF=CD=2，
∴∠GFH=∠MAH，
而∠AHM=∠GHF，点H是AF的中点，
∴AH=HF，
∴△AHM≌△FHG(ASA)，
∴AM=GF，GH=HM，
而AB=2，BC=4，
∴MD=CD=DG=2，
在Rt△MGD中，MG= 2×MD=2 2，
∴HG= 2.
故选：B.
如图，延长GH交AD于M，利用已知条件证明△AHM≌△FHG，然后利用全等三角形的性质和勾股定理即可求解．
此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了全等三角形的性质与判定及矩形的性质，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．
9.【答案】D
【解析】解：∵k>0，
∴正比例函数y=kx的图象经过一、三象限，
∵点A，C是该函数图象与正比例函数y=kx(k为常数且k>0)的图象的交点，且x1<0∴A在第三象限，C在第一象限，
由二次函数y=−x2+c(c>0)可知抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴当x>0时，y随x的增大而减小，
∴B在第一象限，
∴y1<0，0∴y1故选：D.
首先确定A在第三象限，B、C在第一象限，利用正比例函数的性质以及二次函数的性质判断即可．
此题主要考查了二次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决此题的关键是确定A、B、C的位置．
10.【答案】A
【解析】解：由折叠的性质知，6个小三角形均为完全相同的三角形，阴影面积与正六边形面积的56，则每个小三角形(如△OGH)面积占一个小正三角形(如△AOB)的1−56=16.
过点G作GR⊥OC于点R，过点O作OTAB于点T，设AB=OB=OA=OB=OC=1，
∴S△AOB=12AB⋅OT=12×1× 32= 34，
S△GOH=12OH⋅GR= 32OG(1−OG)×12= 34×16，
OG−OG2=16，
解得OG=12+ 36或12− 36(舍)，
∴OH=1−OG=12− 36，OR=12OG=14+ 312，
∴HR=OR−OH=14+ 312−12+ 36=−14+ 34，GR= 3OR= 34+14，
∴GR2+HR2=GH2，即(1+ 34)2+( 3−14)2=GH2，
解得GH= 22(负值舍去)，
∴GHAB= 221= 22，
故选：A.
由折叠的性质知，6个小三角形均为完全相同的三角形，阴影面积与正六边形面积的56，则每个小三角形(如△OGH)面积占一个小正三角形(如△AOB)的16，过点G作GR⊥OC于点R，过点O作OTAB于点T，设AB=OB=OA=OB=OC=1，然后根据三角形面积公式及勾股定理可得方程，通过解方程可得答案．
此题考查的是正多边形和圆、翻折变换、勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．
11.【答案】(3+y)(3−y)
【解析】解：9−y2=(3+y)(3−y).
故答案为：(3+y)(3−y).
直接利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了因式分解-运用公式法，正确应用平方差公式是解题关键．
12.【答案】 7
【解析】解：小于3的无理数无限多个．例如： 2、 3、 5、 6、(两个1之间依次多一个0)等．
故答案为： 7.
符合题意的无理数既可以．
本题考查了无理数，掌握无理数的定义，会比较无理数的大小是解决本题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：由题意知，袋中球的总个数为6÷23=9(个)，
所以n=9−6=3，
故答案为：3.
由红球的个数及任意摸出一个球是红球的概率求得袋中球的总个数，继而可得答案．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14.【答案】x=2y=1
【解析】解：∵一次函数y=2x−3与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(2,1)，
∴方程组y=2x−3y=kx的解是x=2y=1.
故答案为：x=2y=1.
根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．
15.【答案】2 3或3 3−3
【解析】解：连接OA，
∵AC切圆于A，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90∘，
∵OC=2OB=2OA，
∴sinC=OAOC=12，
∴∠C=30∘，
∵tanC=OAAC= 33，AC=3，
∴OA= 3，
∴BC=3OA=3 3，
如图，当AC=CD时，
∴BD=CB−CD=3 3−3；
如图，BC交圆于M，当AD=CD时，
∴∠CAD=∠C=30∘，
∵BM是圆的直径，
∴∠BAM=90∘，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30∘，
∴∠BAC=120∘，
∴∠CAM=120∘−90∘=30∘，
∴D与M重合，
∵∠BAC=90∘，∠B=30∘，
∴BD=2OB=2 3，
∴BD的长是2 3或3 3−3.
故答案为：2 3或3 3−3.
连接OA，由切线的性质定理得到∠OAC=90∘，由锐角的正弦求出∠C=30∘，由tanC=OAAC= 33，AC=3，求出OA= 3，得到BC=3OA=3 3，当AC=CD时，得到BD=CB−CD=3 3−3，当AD=CD时，D与M重合，由含30度角的直角三角形的性质求出BD=2OB=2 3，于是得到BD的长是2 3或3 3−3.
本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，关键是由锐角的正切求出圆半径的长，要分两种情况讨论．
16.【答案】1009
【解析】解：过点F作FK⊥x轴于K，过点D作DH⊥x轴于H，如下图所示：

设点E(m,0)，则m>0，OE=m，
∵AE⊥x轴，点A在反比例函数y=25x(x>0)的图象上，
∴点A(m,25m)，AE=25m，
设直线OA的表达式为：y=k1x，
∴25m=mk1，
解得：k1=25m2，
∴直线OA的表达式为：y=25m2x，
解方程组y=25m2xy=1x，得x=−m5y=−5m，x=m5y=5m，
∵点F在第三象限，
∴点F的坐标为(−m5,−5m)，则FK=5m，
设直线EF的表达式为y=kx+b，
将点E(m,0)，F(−m5,−5m)代入y=kx+b，
得：mk+b=0−m5k+b=−5m，解得：k=256m2b=256m，
∴直线EF的表达式为：y=256m2x+256m，
解方程组组y=25m2x+256my=25x，得x=3my=253m，x=−2my=−252m，
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标为(3m,253m)，
∴OH=3m，DH=253m，
∵AE⊥x轴，DH⊥x轴，
∴∠AEO=∠DHB=90∘，
∵四边形AOBC为平行四边形，
∴AO//BC，
∴∠AOE=∠DBH，
∴△AOE∽△DBH，
∴AE：DH=OE：BH，
即25m:253m=m:BH，
∴BH=m3，
∴BE=OH−OE−BH=3m−m−m3=5m3，
∴S△FBE=12BE⋅FK=12×5m3×5m=256，S△BED=12BE⋅DH=12×5m3×253m=12518，
∴S△BDF=S△FBE+S△BED=256+12518=1009.
故答案为：1009.
过点F作FK⊥x轴于K，过点D作DH⊥x轴于H，设点E(m,0)，则m>0，OE=m，点A(m,25m)，AE=25m，由此得直线OA的表达式为y=25m2x，解方程组y=25m2xy=1x，得点F(−m5,−5m)，则FK=5m，再求出直线EF的表达式为y=256m2x+256m，解方程组y=25m2x+256my=25x，得点D(3m,253m)，则OH=3m，DH=25/3m，证△AOE∽△DBH可得BH=m3，则BE=5m3，然后分别求出S△FBE=256，S△BED=12518，据此可得△BDF的面积．
此题主要考查了反比例函数图象上的点，反比例函数与一次函数的交点，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，平行四边形的性质，熟练掌握求反比例函数与一次函数的交点坐标的方法，及相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
17.【答案】一
【解析】解：从第一步开始出错，
改正：a(2+a)−(a−2)2
=2a+a2−(a2−4a+4)
=2a+a2−a2+4a−4
=6a−4.
故答案为：一．
根据完全平方公式进行判断，然后改正即可．
本题考查了完全平方公式、单项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图1，▱ABCD即为所求(答案不唯一).
(2)如图2，菱形AEBF即为所求(答案不唯一).

【解析】(1)根据平行四边形的判定画图即可．
(2)根据菱形的判定画图即可．
本题考查作图-应用与设计作图、等边三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定，熟练掌握等边三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)将点A(a,3)代入y=12x+1，
得：3=12a+1，
解得：a=4，
则点A(4,3)，
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：3=k4，
解得：k=12，
∴反比例函数的表达式为y=12x；
(2)∵一次函数y=12x+1的图象与y轴交于点B，
∴B(0,1)，
∵点P在y轴上，△ABP的面积为6，
∴12BP⋅xA=6，即12BP×4=6，
∴BP=3，
∴点P的坐标为(0,4)或(0,−2).
【解析】(1)将点A的坐标代入一次函数表达式，求出a=4，即可求得A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数表达式，求出k即可；
(2)利用右侧函数的不等式求得点B的坐标，然后根据三角形面积公式求得BP，即可求得P点的坐标．
本题考查了利用待定系数法求反比例函数，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，属于基础知识，需熟练掌握．
20.【答案】解：(1)(132+160+200)÷(8+132+160+200)×100%=98.4%，
答：4月份生产的该产品抽样检测的合格率为98.4%；
(2)估计4月份生产的产品中，不合格的件数多.
理由：3月份生产的产品中，不合格的件数为5000×2%=100(件)，
4月份生产的产品中，不合格的件数为10000×(1−98.4%)=160(件)，
∵100<160，
∴估计4月份生产的产品中，不合格的件数多．
【解析】(1)根据题意列式计算即可；
(2)分别求得3月份生产的产品中不合格的件数和4月份生产的产品中不合格的件数，比较即可得到结论．
本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．
21.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，AB=AD=BC=CD=3.
∴△DEF∽△CBF.
∴EDBC=DFCF，
∴13=DFDF+3，
∴DF=32；
(2)证明：∵AB//CD，
∴∠ABE=∠F.
∵∠A=∠BCD=90∘，
∴△ABE∽△CFB.
∴ABCF=AECB，
∴AE⋅CF=AB⋅CB=9.
(3)解：设EG=ED=x，
则AE=AD−ED=3−x，BE=BG+EG=BC+EG=3+x.
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
∴3+(3−x)2=(3+x)2，
解得x=34.
【解析】(1)通过证明△DEF∽△CBF，由相似三角形的性质可求解；
(2)逆过证明△ABE∽△CFB，可得ABCF=AECB，可得结论；
(3)设EG=ED=x，则AE=3−x，BE=3+x，由勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22.【答案】解：任务1.
设BD的长为x cm，则AC的长为(60−x)cm，根据题意得：
12x(60−x)=400.
解得：x1=20，x2=40.
∵AC>BD，
∴BD=20cm，AC=40cm.
任务2.
∵AO：OC=3：5，AC=40cm，
∴AO=15cm，OC=25cm.
∴点A的坐标为(0,15)，B(−10,0)，D(10,0).
由题意得：点E的坐标为(0,20)，F(−12,0)，G(12,0).
设抛物线的函数表达式为：y=ax2+20(a≠0).
∵经过点F，
∴144a+20=0.
解得：a=−536.
∴抛物线的函数表达式为：y=−536x2+20；
任务3.
∵FH//BC，
∴OBOF=OCOH.
∴1012=25OH.
解得：OH=30.
由题意得：OE=20，
∴EH=50.
∵FG=12−(−12)=24.
∴长方形纸片的面积=FG⋅EH=24×50=1200(cm2).
答：至少选择面积为1200cm2的长方形纸片．
【解析】任务1.设BD的长为xcm，则AC的长为(60−x)cm，根据四边形ABCD的面积为400cm2列出方程求解后进而根据AC>BD得到AC和BD合适的解；
任务2.根据AO：OC=3：5可得AO和OC的长度，根据AC垂直平分BD可得OB和OD的长度，即可判断出点A、B、D的坐标，进而可得点F、F、G的坐标，那么可设抛物线的函数表达式为：y=ax2+20(a≠0)，把点F的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的函数表达式；
任务3.根据平行线分线段成比例定理可得OH的长度，加上OE的长度即为EH的长度，易得FG的长度，那么长方形的面积=FG⋅EH，把相关数值代入计算即可．
本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：对角线互相垂直的四边形的面积=12对角线的积；抛物线的对称轴为y轴，一次项系数b为0.
23.【答案】解：(1)由题意得，Δ=b2−4a(−4a)=b2+16a2，
又a≠0，
∴a2>0.
∴16a2>0.
又对于任意的b都有b2≥0，
∴Δ=b2+16a2>0.
∴函数图象与x轴的交点个数为2.
(2)∵x=2=−b2a，
∴b=−4a.
∴抛物线表达式为y=ax2+bx−4a=ax2−4ax−4a，
当y1=y2=8a时，即y=ax2−4ax−4a=8a，
解得x=6或−2，
则x1=−2，x2=6.
(3)将(1,2)代入抛物线表达式得：2=a+b−4a，则b=3a+2，
∵a∴解得a>−1.
∴抛物线的表达式为y=ax2+(3a+2)x−4a，
由(1)知，函数图象与x轴的交点个数为2且图象的顶点在第二象限，
∴抛物线开口向下，即a<0.
∴函数的对称轴x=−3a+22a=−32−1a<0，
解得a<−23，
∴−1∴−3<3a<−2.
故−1<3a+2<0，即−1∴−4<3a+b<−2.
∴3a+b的取值范围：−4<3a+b<−2.
【解析】(1)依据题意，求出Δ=b2−4a(−4a)=b2+16a2，进而结合a≠0可以判断Δ>0，即可求解；
(2)依据题意，也有对称轴为直线x=2，可得b=−4a，从而y=ax2+bx−4a=ax2−4ax−4a，当y1=y2=8a时，即y=ax2−4ax−4a=8a，然后计算即可求解；
(3)依据题意，由(1)知，函数图象与x轴的交点个数为2且图象的顶点在第二象限，则抛物线开口向下，即a<0，进而求解．
本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
24.【答案】(1)解：∵AB=AC.
∴∠ABC=∠ADB=α.
∵四边形ABCD内接于⊙O.
∴∠ABC+∠ADC=180∘.
∴∠ADC=180∘−∠ABC=180∘−α.
(2)证明：∵AF=AD.
∴∠AFD=∠ADB=α.
∴∠AFB=180∘−∠AFD=180∘−α.
∴∠AFB=∠ADC.
∵∠ABD，∠ACD是AD所对的圆周角．
∴∠ABD=∠ACD.
又AF=AD.
∴△ABF≌△ACD(AAS).
∴BF=CD.
(3)①解：如图2，连接BM，MC.
.
∵AM是直径．
∴∠ABM=∠ACM=90∘.
∵△ABF≌△ACD(AAS).
∴∠BAM=∠CAD，AB=AC.
又AM=AM.
∴Rt△ABM≌Rt△ACM(HL).
∴BM=CM，∠BAM=∠CAM.
∴∠DAC=∠BAM=∠CAM=∠CBM.
∵AB=AC.
∴AM⊥BC且AM平分BC.
∵tan∠DAC=23，AM=13.
∴MPBP=23，BPAP=23.
∴BP=6，MP=4，AP=9.
∴PF=MP=4.
∴AF=AP−PF=9−4=5.
②猜想：∠AFC=90∘.
如图，连接BM，CM，过点F作FQ//BM交MC于点Q.
.
∵AB=AC，AF=AD.
∴∠1=∠2=∠4=∠5=∠7.
∵∠3，∠6是CD所对的圆周角．
∴∠3=∠6.
∴△ADG∽△BFP，△AFG∽△BMP.
∴DGPF=AGBP，AGBP=DGMP.
∵FG=2GD.
∴MP=2PF.
∵∠2=∠7.
∴BD//MC.
∴△BFP∽△CMP，四边形BMQF是平行四边形．
∴BFMC=PFMP=12.
∵∠4=∠5.
∴BM=BF.
∴四边形BMQF是菱形．
∴BF=MQ=FQ.
∴MQ=FQ=QC.
∴∠7=∠MFQ，∠MCF=∠QFC.
∵∠7+∠MFQ+∠MCF+∠QFC=180∘.
∴∠MFC=90∘.
∴∠AFC=90∘.
【解析】(1)根据等弧所对的圆周角相等得∠ABC=∠ADB=α，再由圆内接四边形的性质可得结论．
(2)分别证明∠AFB=∠ADC，∠ABD=∠ACD，再证明△ABF≌△ACD(AAS)即可得到结论．
(3)①连接BM，MC，Rt△ABM≌Rt△ACM(HL)，得∠DAC=∠BAM=∠CAM=∠CBM，tan∠DAC=23，得MPBP=23，BPAP=23，求得BP=6，MP=4，AP=9，即可求得AF的长．②连接BM，CM，过点F作FQ//BM交MC于点Q，证明△ADG∽△BFP，△AFG∽△BMP，得DGPF=AGBP，AGBP=DGMP，求得MP=2PF，证明△BFP∽△CMP，四边形BMQF是平行四边形，可得四边形BMQF是菱形，进一步可求得结论．
本题主要考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的意义等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．如何制作简易风筝？
素材1
图1是简易“筝形”风筝的结构图，现以两条线段AC，BD作为骨架，AC垂直平分BD且AC>BD，并按AO：OC=3：5的比例固定骨架，骨架AC与BD共消耗竹条60cm，四边形ABCD的面积为400cm2.
素材2
考虑到实际需要，蒙面(风筝面)边缘离骨架的端点要留出一定距离.如图2，现BD以上部分的蒙面设计为抛物线形状，过距离A，B，D三点分别为5cm，2cm，2cm的E，F，G三点绘制抛物线(建立如图的直角坐标系).BD以下部分的蒙面设计为△FGH，点H在OC延长线上且FH//BC.
素材3
从一张长方形纸片中裁剪无拼接的风筝蒙面(包括BD以上抛物线部分及BD以下三角形部分)，长方形各边均与骨架平行(或垂直).
问题解决
任务1
确定骨架长度
求骨架AC和BD的长度.
任务2
确定蒙面形状
求抛物线的函数表达式.
任务3
选择纸张大小
至少选择面积为多少的长方形纸片？