2023年浙江省宁波市江北区中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省宁波市江北区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，这四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  “宁波地铁”发文称，年月日至月日，每天晚上点后及法定节假日全天，宁波地铁号线全线网皆可免费乘车，免费时段无需购票、刷卡、扫码，可直接进站乘车月日，宁波地铁限时段免费后的首个周五，地铁客流量达到约万人次数万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是某品牌的多功能笔筒，其俯视图为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  能说明命题“对于任意实数，”是假命题的一个反例可以是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某鞋店对某款女鞋一周的销售情况进行统计，结果如下：

根据上表信息，该店主决定下周多进一些码的鞋子，影响店主进货决策的统计量是(    )

A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差

7.  如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点接着分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点作射线，交于点再以点为圆心，长为半径作圆弧，交于点，连结则下列说法错误的是(    )

A.
B.
C.
D. ∽

8.  张丘建算经是中国古代数学著作，其中提出了许多数学问题，比如：“今有甲乙怀钱各不知其数，甲得乙十钱，多乙余钱五倍；乙得甲十钱，适等；问甲乙怀钱各几何？”可以理解为：甲乙两人各有一些钱，若乙给甲元，则甲的钱比乙多倍；若甲给乙元，则两人的钱一样多不妨设甲原有钱元，乙原有钱元，则可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图是由个全等的大正方形和个全等的小正方形组成的图形若要求线段的长度，只需要知道顶点与正方形某个顶点之间的距离即可，这个点是(    )

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

10.  已知抛物线经过，，三点，当时，二次函数的最大值与最小值的差为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  ______．

12.  因式分解： ______ ．

13.  如图，小江，小北周末都在荪湖公园踏春小江在三岔路口处，随意选择一条路准备出园，小江与在其中一条路上的景点处游玩的小北邂逅的概率是______ ．

14.  如图，在中，分别以，为斜边在同侧作两个等腰直角与，若点是的重心，则 ______ ．

15.  如图，在平行四边形中，，动点，从点同时出发，分别沿和的方向都以每秒个单位长度的速度运动，到达点后停止运动设运动时间为，的面积为，与的大致函数关系如图所示则当时，的值为______ ．
 

16.  如图，菱形的顶点与对角线交点都在反比例函数的图象上，对角线交轴于点，，且的面积为，则 ______ ；延长交轴于点，则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解不等式组：．

18.  本小题分
如图，下列网格图均由个相同的小正方形组成，每个网格图中有个小正方形已涂上阴影，请在余下的空白小正方形中，分别按下列要求选取两个涂上阴影：
使得个阴影小正方形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
使得个阴影小正方形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形．
请将以上两个小题依次作答在图，图中，均只需画出符合条件的一种情形即可．

19.  本小题分
今天，月日恰逢节气中的谷雨播谷降雨，雨生百谷，这也是春季的最后一个节气在古代，各地都有着不同的习俗活动来迎接与庆祝，有赏花、品茗、走谷雨踏春、洗桃花水沐浴、吃椿香椿等为了了解学生最感兴趣的一项活动的人数分布情况，学校从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调查，并绘制了如下两幅统计图．

请计算最感兴趣活动为“洗桃花水沐浴”的学生总人数，并补全条形统计图；
请计算最感兴趣活动为“走谷雨踏春”的女生人数；
男生最感兴趣活动中“洗桃花水沐浴”和“吃椿香椿”的人数相同吗？为什么？

20.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
求反比例函数和一次函数的函数表达式；
根据图象直接写出满足当时，的取值范围．

21.  本小题分
桑梯登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具图是明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘的桑梯，其示意图如图所示，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是．

当时，若人站在的中点处，求此人离地面的高度．
在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．
参考数据：，，，，，精确到米

22.  本小题分
乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量盒是销售单价元盒的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且销售单价为元盒时，日销售纯利润为元．

求乌馒头的日销售量盒与销售单价元盒的函数表达式；
“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元？
当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润．

23.  本小题分
【基础巩固】：
如图，在中，是的中点，是的一个三等分点，且连结，交于点，则： ______ ；： ______ ．
【尝试应用】：
如图，在中，为上一点，，，若，，，求的长．
【拓展提高】：
如图，在平行四边形中，为上一点，为中点，与，分别交于点，，若，，，，求的长．
 

24.  本小题分
如图，等腰内接于，其中，点在上运动，，分别交、于点、，交于点．
求证：．
连结，当为的直径时，
求证：．
连结，若，求的值．
连结，设，，请直接写出关于的函数表达式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：。
因为正数大于一切负数，大于负数，所以负数最小，，所以最小。
本题考查了有理数大小比较，根据大小比较原则，直接比较两个负数的大小即可：两个负数，绝对值大的反而小。
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，所以不正确；
因为，所以不正确；
因为，所以不正确；
因为，所以D正确．
故选：．
根据同底数幂相乘法则计算，再同底数幂相除法则计算，然后根据幂的乘方法则计算，最后根据合并同类项法则计算判断即可．
本题主要考查了幂的运算，掌握运算法则是解题的关键．即同底数幂相乘除，底数不变，指数相加减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，系数相加减，字母和字母指数不变．
 

3.【答案】 

【解析】解：万，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

4.【答案】 

【解析】解：俯视图是从上面看到的图形，
俯视图是，
故选：．
根据三视图进行判断即可，注意看得见的部分用实线，看不见的部分用虚线表示．
本题考查了三视图的知识，掌握“俯视图是从物体的上面看到的视图”是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
当时，该命题是假命题，
故选：．
根据题意，只要举例说明的平方等于即可．
本题考查了举反例说明命题是假命题，掌握以上知识是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：．
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
 

7.【答案】 

【解析】解：由作图得平分，，
，，
，
，
，
，
故A正确；
，，
，
故B正确；
，
，
，
，
，
，，
∽，
故D正确；
，
，
，
设，，则，
，
解关于的方程得，不符合题意，舍去，
，
故C错误，
故选：．
由作图得平分，，由，，得，则，所以，可判断A正确；因为，，所以，可判断B正确；因为，所以，则，所以，由，，得∽，可判断D正确；由，得，则，可证明，可判断C错误，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识，证明∽是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
故答案为：．
由题意知，，进而可得结果．
本题考查了二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程组．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，将平移至，连接，，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
即点，
故选：．
根据平移的性质和全等图形解答即可．
此题考查全等图形，关键是根据平移的性质和全等图形解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，两点关于对称轴对称．
，
即抛物线解析式为．
，
点在点的右侧，且有，
．
情况：如图，当点与点均在对称轴的左侧时，此时；
当时，二次函数取到最大值为；
当时，二次函数取到最小值为，
，解得舍去．
情况：如图，当点与点在对称轴的两侧时，此时；到对称轴的水平距离为到对称轴的距离为，当时，二次函数取到最大值为；
当时，二次函数取到最小值为，
，解得或舍．
综上，．

故选：．
根据，可得，两点关于对称轴对称，从而得到抛物线解析式为，再由，可得点在点的右侧，，然后分两种情况讨论，即可求解．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
的算术平方根是，即．
故答案为：．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：小江在三岔路口处，随意选择一条路准备出园共有种等可能的结果，其中与在景点处游玩的小北邂逅的情况只有种，
所以小江与在景点处游玩的小北邂逅的概率为，
故答案为：．
小江在三岔路口处，随意选择一条路准备出园共有种等可能的结果，其中与在景点处游玩的小北邂逅的情况只有种，根据概率的定义可得答案．
本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提，掌握概率的定义是正确解答的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接并延长交于点，过作点，

点是的重心，
重心到定点的距离等于到对边距离的倍，
，，
设，则，
分别以，为斜边在同侧作两个等腰直角与，
、是等腰直角三角形，，
，，，
，
，
故答案为：．
连接，由重心可得，是等腰直角三角形，再过作，即可根据，求出的值．
本题考查重心的性质，求正切，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是熟记重心的定义及性质．
 

15.【答案】或 

【解析】解：四边形是平行四边形，由图得：
，，
当时，，
，
是等边三角形，

当时，
解得或舍去；
当时，如图，

，
，
，
当时，，
解得舍去；
当时，如图：

，，，


，
当时，，
解得或舍去，
综上所述得：当时．或．
故答案为：或．
因为、运动到不同位置时，的面积不同，所以对的取值范围进行分类，，，，然后进行分别求解即可．
本题考查了动点在平行四边形中产生的面积问题，求二次函数解析式，掌握“化动为静”是解题的关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：延长交轴于点，

设，则，，
，
，
中，，，
，
，
，

过作轴，则，
即，
，
，即．
，
，过点作于，
，
，，
，
∽，
，
，，
，
，
．
通过构造延长线得到直角三角形，再用射影定理求出、、之间的数量关系，在通过面积为求出、、实际长度，再通过求点到轴的距离求出点坐标，也解出，进而得出点坐标．再过点作于，然后通过相似求出点坐标，进而得出直线解析式，最后得出点坐标．
本题考查反比例函数解析式求解、相似三角形的应用、射影定理应用、菱形的性质、一次函数应用，掌握这些是本题关键．
 

17.【答案】解：原式

；
，
由得，由得，
不等式组的解集为． 

【解析】根据完全平方式和合并同类项即可求解；
根据不等式组解法求解即可．
本题考查了解不等式组、实数运算，正确求解是解题关键．
 

18.【答案】解：如图所示：答案不唯一．

如图所示：答案不唯一．
 

【解析】根据轴对称定义，在第一行第二列涂上阴影和在第三行第二列涂上阴影即可．
根据中心对称定义，在第一行第四列涂上阴影和在第三行第一列涂上阴影即可．
本题主要考查作轴对称图形和中心对称图形，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转 后能够与自身重台，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键．
 

19.【答案】解：最感兴趣活动为“洗桃花水沐浴”的学生总人数为人，
补全条形统计图，如下：

最感兴趣活动为“走谷雨踏春”的女生人数为人
不同，理由如下：
洗桃花水：人，
吃椿：人，
所以男生最感兴趣活动中喜欢“洗桃花水”和“吃椿”的人数不同． 

【解析】用总人数减去对其它活动最感兴趣的人数，即可求解；
用最感兴趣活动为“走谷雨踏春”的总人数乘以最感兴趣活动为“走谷雨踏春”的女生人数所占的百分比，即可求解；
分别求出男生最感兴趣活动中“洗桃花水沐浴”和“吃椿香椿”的人数，即可求解．
本题主要考查了条形统计图，折线统计图，明确题意，准确从统计图获取信息是解题的关键．
 

20.【答案】解：把代入得，
，
把代入得，把，代入得，
解得，
；
或． 

【解析】用待定系数法求解析式即可；
根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出一次函数大于反比例函数的值的的取值范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，以及利用图象求不等式的解集，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
 

21.【答案】解：过点作，垂足为，

米，，
是等边三角形，
，
点是的中点，
米，
米，
在中，米，
此人离地面的高度约为米；
过点作，垂足为，

当时，
米，
，
米，
米，
在中，；
当时，
米，
，
在中，；
在安全使用范围下，桑梯顶端到地面的距离范围约为． 

【解析】过点作，垂足为，根据已知易得是等边三角形，从而可得，再根据线段中点的定义可得米，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
过点作，垂足为，然后分两种情况：当时；当时，分别求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：设，由题意得
，
解得，
．
当时，，
即销售盒的纯利润为元，
成本价为：元，
，
解得：舍，，
元．
答：当乌馒头每盒降价元时，商店每天获利为元．
设日销售纯利润为元，由题意得


，
，，
当时，有最大值元，
答：当销售单价定为元盒时，日销售纯利润最大，最大纯利润为元． 

【解析】设，根据表格即可求解；
根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出方程即可求解；
设日销售纯利润为元，根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出函数关系式，并在求最值即可．
本题考查了一次函数，一元二次方程，二次函数在销售利润中的应用，掌握销售问题中的等量关系式是解题的关键．
 

23.【答案】：  ： 

【解析】解：如图，作交于，则，，
是的中点，
，
，
，
，
是的一个三等分点，且，
，
，
≌，
，，
：：；
，
，
：：，
故答案为：：；：．
设交于点，作交于点，
，，
，，，
，
于点，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
∽，
，
，
设，则，，
，
解得，不符合题意，舍去，
，
的长为．
如图，作交于点，设，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
，
，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
的长为．
作交于，则，所以，则，由，得，所以，即可证明≌，得，，则：：；因为，所以，则：：，于是得到问题的答案；
设交于点，作交于点，由，，得，，所以，则，再证明≌，得，，则，所以，再证明，则，由∽，得，再证明∽，得，则，设，则，，于是得，求得；
作交于点，设，由，得，由，得，即可证明，则，，所以，，再证明∽，得，则，因为，所以．
此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，
即；
证明：连接，如图，

令，
，
，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：连结，，如图，

，
，，
．
，
，，
，
．
在和中，
，
≌，
，
，
，
为的直径，
，
，
；
解：关于的函数表达式为：，理由如下：
连接，，如图，

令，
，
，
，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，，
，
，
．
，
设，，
，
，，
，
，
为直径，
，
，
在中：
．
，
，
为直径，
，
，
，
∽
，
即． 

【解析】利用等弦对等弧和等式的性质解答即可；
连接，令，利用圆周角定理，直角三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可；
连结，，利用圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等弧，等弧对等弦和等腰直角三角形的判定与性质得到，再利用特殊角的三角函数值解答即可；
连接，，利用圆周角定理和等腰三角形的判定定理得到，利用圆周角定理和直角三角形的性质得到；设，，则，，，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．