2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第41讲常量变量的转化变换第42汫相等不等之间的转化变换含解析

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典型例题
【例 1】设不等式对满足的一切实数都成立,求实数的取值范围。
【分析】
从表层看所给的是关于的不等式,求的是的取值范围, 即解不等式求得的取值范围. 当然参数必须满足, 但是如果通过变更主元转化为关于的一次函数,根据的范围确定参数的范围,这种将主元与参数进行换位思考的解题策略常常会使问题变得简单易解
【解析】
令, 则原不等式等价于在上恒成立，由于是关于的一次函数或常值函数.
故有解得.
从而实数的取值范围是.
【例 2】设函数是定义在上的增函数.
（1）若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围;
（2）若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.
【分析】
本例两小题所给的不等式是一样的，首先可利用函数的单调性,把函数值的相对大小转化为自变量的相对大小,接下来就是确认和这两个字母中究竟谁是“主元”,这很重要. 第问, 把作为主元(变量)、作为常量, 这种“反客为主”的解法,体现了转化与变换的数学思想,降低了计算的烦琐和难度,也说明了变量与常量的对立统一的㦚证关系. 应当指出,若以为变量, 为参数,则必定要分类讨论,相比之下孰优孰劣一清二楚. 第(2)问,以为变量,把不等式恒成立问题转化为函数的最值解决,此时分类讨论是必需的;若用分离常数法(即参变分离),则避开了分类讨论,解题过程较为简捷.
【解析】
(1) 【解法1】是增函数, 对于任意恒成立, 即对于任意恒成立. 令.
当时, 不等式恒成立;当时, 不等式恒成立;
当时, 只需的最小值或, 故或. 综上所述, 或, 即.
【解法2】
由解法一得为关于的一次函数,在上是一条线段, 由得.
（2）【解法 1】是增函数, 对于任意恒成立对于任意 ]恒成立对于任意恒成立, 令,
则原问题, 且
即
由, 得, 即.
【解法2】是增函数, 对于任意恒成立对于任意恒成立；
即对于任意恒成立。
当时, 不等式对恒成立。
当时, 不等式可以变形为,
设,
设, 函数可以变形为,
由函数在上单调递减, 知, 故, 综上, .
【例 3】过圆内部一点作动弦, 过分别作圆的切线, 设两条切线的交点为求证: 点恒在一条定直线上运动.
【分析】
常量与变量,静止与运动的角色是相对的,同一对象, 根据需要,随时灵活选择和变换其角色,常得妙解, 本例极具典型性.
【解析】
【证明】
设, 不妨将都视为定点(视动为静), 先求直线的方程。
切线的方程为, 切线的方程为.
点在切线上, , 这表明点都在直线上, 故直线的方程为. 又点在直线上, (1) 任意都满足(1)式, 故动点必在直线上(换静为动).
【例 4】如图所示, 点在椭圆上移动, 点在以点为圆心, 半径为的圆上移动, 当点位于点, 点位于点时, 两点距离最近, 记最近距离为, 求及的坐标.
【分析】
由于都是运动的点,位置的变动使问题变得抽象化、复杂化,若能以静制动,不妨先固定点, 把问题转化为在已知圆上找一点, 使最短,这时必过圆心, 问题即可转化为求的最小值, 至此不难求解(以静制动).
【解析】
设是椭圆上任意一点,则三点共线, 且介于之间时, 点到圆上的点的距离最短, 此时,
即, 记
当时, 有最小值. 此时,
即. 易知, 且恰为中点, 故.
第42汫相等与不等之间的转化与变换
相等与不等是数学中两个重要的关系,在某种情况下它们可以相互转化, 把不等问题转化成相等问题,如利用基本不等式、柯西不等式、三角不等式中等号成立的充要条件导出相等.。又如用两边夹逼导出相等, 即由和导出. 把不等问题转化为相等问题, 即“不等导等”,综合性强,技巧性高, 可以减少运算量, 提高正确率; 把相等问题转化为不等问题, 即“等导不等”,能突破难点找到解题的突破口.
典型例题
【例 1 】
若是定义在上的函数, 对任意实数, 都有和
, 且, 则（）
已知是定义在上的函数, , 且对任意都有
若，求得值
【分析】第问,从已知的“不等”信息中通过两边夹逼的手段实现不等到相等的过渡, 即“不等导等”的解题策略; 第问同样可采用“不等导等”策略,但还需进一步探究函数的周期性,从而求得的值.
【解析】
(1) 由和得,
由①②得.
（2）由已知可得
依据②可得
由上述①②及③可得
函数的周期.
故有.
【例 2】 (1) 若满足关系, 求;
（2）设实数满足, 求的最小值.
【分析】
本例两小题给出的条件都是一个等式,要求一个代数式的值或最小值,按照条件的结构特点,运用柯西不等式,即由“等导不等”或“等导不等、不等导等相结合”获得问题的解.
【解析】
(1) 由柯西不等式得
当且仅当即时取“ .
（2）由柯西不等式得
,
即的最小值为.
【例 3】 (1) 中, 分别表示的对边,
求证: ;
（2）已知为非负数, , 求的最值.
【分析】
第（1）问，从余弦定理变形出发，结合三角形内角对余弦定理进行放大大”, 即可由等导出不等.第问, 直接根据已知不等式一步步地进行推导, 又观察到的对称性, 可进行均值代换, 将写成关于的函数, 从而转变成求函数最值的基本问题; 也可针对为非负数, , 可联想到三角函粅这一性质,转变为三角函数最值问题;还可由这个等式结合埴等式法或三角换元法导出不等,求得的最值.
【解析】
证明由余弦定理
,
三式相加得.
注意到, 即得
（2）【解法 1】 (均值代换法)根据的对称性,采用均值代换,可令
,则.
, 易得
【解法2】
(基本不等式法) .
,
, 当且仅当时取,
又.
当且仅当之一为 0 时取“ =”.
综上, .
【解法3】
（三角换元法,
令,
【例 4】 (1) 设为正数, , 证明;
(2) , 求证:对于任意正整数.
【分析】
对于这样的等式可导出不等关系,除了想到常用的基本不等式外,还应注意“1”的妙用: 乘以“1”或除以“1”,表达式的值均不变,这样往往可以把原表达式表示成更明显且更有特征的表达式导出不等, 条件还可联想到均值换元法. 第问又是关于正整数的命题,二项展开式并进行“放缩”、数学归纳法证明都是应当首先想到的证法.
【解析】
（1）证明,
,
当且仅当时取“ .
,
当且仅当时取“ .
, 当且仅当时取“ ”.
(2)【证法1】
根据的对称性, 不妨设, 再令,
则，
,
,
当且仅当时取“ ”.
【证法2】
（数学归纳法)当时, 命题显然成立.
假设当时, 命题成立, 即.
当时, 右边, 即只需证明.
只需证, 即,
由题意知与必同号或均为零,.
综上, 原不等式得证.