2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第09讲构造方程运用方程理论解题第10讲函数方程不等式之间的相互转化含解析

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如果所给出的数学问题从表面上看是非方程问题或给定的方程含有参数或形式较为复杂,就需要凸现其隐含条件,显化方程特征.运用有关方程解的定理(如韦达定理,根的判别式,实根分布的充要条件)使原问题获解,这是方程思想应用的一个重要方面.特别是对于某些非方程问题,通过变形转化成方程问题的过程称之为构造方程法,这是应用方程思想解决非方程问题的一种极富创造的分析.显化或构造方程,运用方程思想解题主要表现在如下4个方面:
(1) 转化为解方程或通过不等式讨论根的状况.
(2) 转化为带参数的方程或不等式的讨论.常涉及一元二次方程根的判别式、根与系
数的关系、区间根、区间上恒成立等知识.
(3) 需要转化为方程的讨论、图形的分析、曲线的位置关系等.
(4) 构造方程或不等式求解实际应用问题.
典型例题
【例1】函数的值域是______；
【分析】
本例是三角函数的值域的求解,由于不是常见的三角函数解析式,需 要转化为方程问题,通常是把原函数解析式两边平方得,化正弦为余弦并整理得 ,这是关于的一元二次方程,容易想到,即,解得.应用方程思想把函数式变为关于的一元二次方程求解思路是正确的,但是还要注意到,即关于 一元二次方程在上有实根,解数学问题要注意等价转化.
【解析】
【解法一】
由 得, 即 , 整理得
将上述方程看成关于的一元二次方程, . 设 , 得 ,
则关于 的一元二次方程在 上有实根, 令 .
即函数的值域是
【解法二】
注意到, 平方得.
原问题即转化为关于的一元二次方程在上有实根,求的取值范围.
只要
解之得
【例2】已知,求正数的最小值.
【分析】
本例求函数的最小值,由于不是常见函数,直接求最值是有困难的,在的条件下将原函数去分母平方整理为关于的一元二次方程,再转化为关于的二次函数在上有解的讨论,体现了函数与方程思想的相互转化,相互补充, 提供了构造方程(或函数)解题的又一途径,扩展了解题思维的空间,当然本例也可以变形后直接配方: ,由得,结合二次 函数的性质可知, 当时,.
下面的解法即方程与函数思想的联用:函数→方程→函数.
【解析】
将原函数变形为
设 该方程有解的主要条件为
①或②
, 此时 或 .
【例3】
已知,且,求的值;
设的三内角满足 且 ,
求 的值.
【分析】
本例两小题都是在特定条件下的求值问题.第(1)问,题设条件具备的形式,如果把看成该方程的两个根,就可以通过构造二次方程结合韦 达定理,使复杂的代数式求值问题简化,从而顺利求解; 第(2)问,将看作一个整体, 在此基础上将和用同一个角表示,构造方程使得问题得以解决.当然由条件易得,则直接代入条件 得,通过 和差与积的互化公式得到 的一元二次方程,为系数.利用判别式易得的值,读者可以一试.
【解析】
(1) ,且 ,
是方程的两个根,即.
(2) 在中,有,由可知,,
故由题设得 ,
整理得,即.
, 即
【例4】设为实数,且,求的最大值和最小值.
【分析】
求二元函数的最大值和最小值,如果采取消元后再求显然难以办到.注意到条件和结论只有 和两种形式,想得到是不困难的.现在要求的最大值和最小值,故可构造一元二次方程且以为参数,则由方程理论的取值范围不难求得.这就告诉我们:一个数学问题中的任何一个数或式都可以视 为末知数,而其余的数或式则视为已知数,它们之间的制约关系－等式, 即可视为方程.
【解析】
由 可求得
于是是方程的两个实根,由,得 由,得
故的最大值和最小值分别为9和1.
第10讲 函数与方程、不等式之间的相互转化
函数与方程、不等式三者之间密切相关、相互转化,利用方程的思想可以通过待定系 数法求解函数的解析式. 通过把函数等价转化为曲线的方程,借助函数的图像来讨论方程 根的个数(或函数零点的个数), 由于函数又与不等式有着密切的内在联系,因此研究函数 的性质又常常需要用不等式作为工具, 如证明(讨论)函数的单调性,讨论函数的最值等. 在处理不等式恒成立问题时,经常需要通过构造函数,利用函数的图像或性质进行转化, 从而确定相关参数的范围. 函数与方程、不等式之间的相互转化不仅表现在二次函数与一 元二次方程,一元二次不等式这 3 个“二次”上,还表现在指数函数,对数函数,指、对数方 程和指、对数不等式上,在解题中主要表现在如下 4 个方面:
(1) 对于函数,我们把使的实数称为函数的零点,实质上函数的零点就是函数的图像与轴的公共点的横坐标,也就是方程的根.
(2) 若函数在闭区间上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反, 即,则在区间内,函数至少有一个零点,即相应的方程 在区间内至少有一个实数解.
（3）对于一元二次方程根的研究以及一元二次不等式解集的讨论都可以借助于二次 函数的图像找到解题的思路与方法,这就是函数与方程的思想方法.
(4) 对于含参数方程,有些可以转化为函数的形式;对于含参数 不等式 或等),有些可以转化为不等式(或等)的形式,进而通过研究函数的图像与性质解决相应的问题.反之,有些函数问题则能转化为方程与不等式的问题.
典型例题
【例1】已知关于的二次方程.
(1) 若方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,求的取值范围;
(2) 若方程两根均在区间内,求的取值范围.
【分析】
本题由方程根的范围确定方程系数的范围，关键是实施由方程向函数的转化,由函数向不等式的转化,那么如何来实施这二次转化呢?熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义是正确实施转化的核心,在用二次函数的性质结合图形对方程的根进行限制时,应密切注意条件的严谨性,条件不严谨是解答本题的主要困难,务请考虑周全.
【解析】（1）由题设知抛物线与轴的交点分别在区间和内,画出二次函数的示意图,如图3-1所示,得
即的取值范围为.
(2)如图3-2所示,抛物线与轴交点落在区间内,对称轴在区间内,对称轴在区间内通过(千万不能遗漏),可列出不等式组
于是有,即的取值范围为.
【例2】已知是实数,函数,如果函数在区间上有
零点,求的取值范围.程.函数在上有零点,即此方程在上有实根(一个解或两个解).再结合图像特征,转化为解不等式,则问题容易解决了.
【解析】函数在区间上有零点,等价于方程在上有解.
当时,方程是一次方程,解为,不符合题意;当时,方程是二次方程.
方程在上有解,对解的要求是:
(1)在上有一个解(另一个解不属于区间,这时应满足:,即,解得.
(2)在上有两个解(包括有两个等根),这时应满足:
由1和2得或.
所以实数的取值范围是.
【例3】（1）函数在上恒为正数,则的取值范围是;
A.B.
C.D.
（２）已知点,椭圆上两点
满足,则当时,点横坐标的绝对值最大.
【分析】
第(1)问,依据对数函数的单调性将函数恒为正数转化为一元二次不等式在上恒成立问题,采用分离参数的方法转化为耐克函数性质的研究,进而求得参数的取值范围.第问,表面上是解析几何与平面向量的综合.在一定条件下,曲线方程可看作隐函数,利用向量共线,实现点的坐标之间的转化,结合点在椭圆上,建立方程,结合韦达定理及基本不等式求点横坐标绝对值的最大值以及相应的值.也可应用二次函数的最值,求得相应的结论.如果用直线的参数方程解,方程理论与基本不等式相结合仍然是解答本题的必用知识,函数与方程的思想体现得相当充分.
【解析】(1）由题意得,当时,恒成立,故恒有
.
由,可得.
令显然函数在上为减函数,在上为增函数,故其最小值为.
要使不等式恒成立,则需.
由,得,又,故可得.
令.该函数在上为减函数,在上为增函数,而,故的最大值为要使不等式在上恒成立,只需.综上所述,的取值范围是,故选.
(2)【解法一】由条件知直线的斜率存在,设,直线的方程为,
联立得.
由韦达定理得.(1)
由知,
代人（1)式,解得所以.
此时,又,解得.
【解法二】设,由,得
即
因为点在椭圆上,所以得,
所以,解得.
【解法三】设直线的参数方程为
倾斜角,将其代人椭圆方程中化简得,设点,对应的参数分别为,则.
由韦达定理知,解得.
所以
,此时,即,代人,解得.
由于,而,故此时不存在符合条件的实数,综上可知,不存在符合条件的实数.
（3）若存在实数,使得函数的定义域为时,值域为,,且.
①当时,由于在上是减函数,故
此时得,得,与条件矛盾,所以不存在.
②当时,易知0在值域内,值域不可能是,所以不村存在.
③当时,
在上是增函数,
是方程的两个根.
即关于的方程有两个大于1的实根.
设这两个根为则.
解得.
故的取值范围是.