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2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第45讲高次向低次的转化变换第46讲新知识向旧知识的转化变换含解析
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【例 1 】若关于的方程有 4 个不同的实数解,则的取值范围为()
A. B. C. D.
【分析】
本题实质是高次方程又是分式方程, 求解的方向必是降次,若能注意到对任意的必是原方程的一个根, 则降次就很容易了, 问题顿时得到了简化.
【解析】
有 4 个实数解, 显然, 是方程的一个解,下面只考虑情形,且有 3 个实数解即可. 若, 原方程等价于, 显然, 则.要使该方程有解,必须, 则, 此时, 方程有且必有一解; 则当时必须有两解, 当时, 原方程等价于, 即, 画出函数图像如图所示(注意且 ), 要使该方程有两解, 必须, 解得, 这也是上述几种情况的公共部分, 故为所求,选 C.
【例 2】(1)解关于实数的方程, 其中
(2) 的 3 个根分别为, 并且是不全为零的有理数,求的值.
【分析】
第问,直接解关于的 4 次方程是相当困难的, 但转换与的位置形式,把原方程看作关于的二次方程,则直接可用十字相乘法再转换为两个关于的二次方程, 用求根公式解,因为是实根,故判别式不能忘. 第 (2)问,找出三者的关系可以借鉴二次函数的零点法, 当然也可以直接利用一元三次方程的韦达定理来处理,此外,如果高次方程有有理根, 那么该有理根应是常数的约数.
【解析】
(1) 原方程可变为关于的二次方程, 方程左边利用十字相乘法分解得, 从而转化为两个关于的二次方程.
解上述两个方程得, 当时, 原方程有 4 个实根,
当时, 原方程有两个实根, ;
当时, 原方程无实根.
(2)由题意可设,
则,
从而有
若, 则有当时, , 与条件不符, 故, 从而若, 则有消去得.
即, 也就是.
由于是有理数, 而方程无有理根, 故, 从而. 综上: 或.
【例 3】设, 解关于的方程.
【分析】
由于原方程是关于的三次方程,难于直接求解,但是注意到参数的最高次幂是 2 , 而且题中给定了的范围,进行参数与末知数的角色转变, 将原方程看成是关于的二次方程(即高次向低次转化),就可得到与之间的数学关系, 再利用给定的的范围来求出即原方程的解.
【解析】.
将其看成关于的二次方程, 则,
或或.
对于方程, 其.
【例 4】函数的最大值与最小值的乘积等于()
【分析】
由于所给函数是高次的分式函数, 形式又较复杂, 只有向低次转化才能求解,而三角换元法及三角降次公式有此功效, 由于, 可令, 则解之不难.
【解析】
令, 代人并化简得
即, 故.
第46讲新知识向旧知识的转化与变换
新的课程标准指出:“对新颖的信息、情境和设问, 选择有效的方法和手段收集信息、综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法,进行独立思考、探索和研究,提出解决问题的思路, 创造性地解决问题.”这就要求学生面对陌生情境, 迅速提取有用信息, 挖掘创新试题的内涵与本质, 并合理迁移,运用已学的知识加以解决.
典型例题
【例 1】 已知正数 满足 , 则的取值范围是( )
【分析】
本题是多变量求范围问题,此类题构造较为复杂, 是平时很少触及的新题型,解题的关键是需要深入观察两个条件不等式的特点,转化为线性规划问题来求解,当然要实现这一新型题向常规题的转化,构造法发挥重要作用.
【解析】
已知条件可化为
设, 则原问题转化为:
已知满足求的取值范围.
作出点所在平面区域(如图所示), 求出的切线的斜率, 设过切点的切线为, 则, 要使它最小,须.
的最小值在点处,最小值为, 此时,
点在图像上两点之间,
点对应点时, 解得, 即,
的最大值在点处,最大值为 7 .
的取值范围为, 即的取值范围是.
【例 2】(1)设是两个非空集合, 定义且, 已知, 求;
(2)对任意实数, 定义运算“*”如下: 求: 函数的值域。
【分析】
本例属于定义了一种新的运算的问题, 新运算的定义,使得问题处在一个新的背景之下. 解决这类新知识题的关键是理解新运算定义的内涵,然后运用等价转化的思想方法,将新知识问题转化为熟悉的旧知识问题加以解决.
【解析】
(1) 由题意得
.
(2)由题意可知, .
即当时, 取与中的较小者,
而当时, 易得的值域为.
【例 3 】对于定义域为的函数, 如果存在区间, 同时满足下列条件:
(1) 在内是单调的; (2) 当定义域是时, 的值域也是, 则称是该函数的“和谐区间”.
(1) 判断函数是否存在“和谐区间”, 并说明理由;
(2) 如果是函数的一个“和谐区间”,求的最大值;
(3)有些函数有无数个“和谐区间”,如, 试再举一例 (无须证明).
【分析】本题给出了一个新的数学概念: 函数的“和谐区间”, 实际上就是定义域与值域相同的区间,结合函数的性质,转化为方程问题, 运用方程理论求解,所谓新概念是为问题创设一种新的情况,把新的情境熟悉化,就找到了解题的突破口,这就是“饮水思源”“化新为旧”的解题策略.
【解析】
(1) 设是函数的“和谐区间”, 则在上单调。
所以或, 因此, 在上为增函数。
则, 即方程有两个解。
又因为可化为, 而无实数解,
所以函数不存在“和谐区间”。
(2) 因为在上单调递增,
所以或, 则。
所以是方程的两个同号的实数根。
即方程有两个同号的实数根, 注意到。只要, 解得或.
所以
, 其中或, 所以当时, 取最大值。
(3) 本小题答案不唯一, 如可写出下列形式函数: 为常数),为常数) , 等.
【例 4 】求的最值.
【分析】
有些数学问题虽然并末涉及新知识,比如本题给出的函数解析式,是次数较高的分式函数,初一看可能被吓倒, 实际上只要仔细分析其结构特征, 利用旧知识及常用的解题方法,其实是很容易解决的, 让我们观察分母这个多项式, 可化为, 这一结构可以联想到万能公式,则分子多项式就可以朝方向变形. 如果能发现函数解析式的分子、分母具有两侧对称的特点, 可朝的方向变形,又能找到一种解题方法.
【分解析】
【解法1】函数的定义域为,将函数解析式变形:
由上面的代数结构联想万能公式.
令, 则, 从而,
当时,,当,
【解法2】根据函数解析式中分子、分母多项式具有两侧对称的特点变形:
当时,,当时,
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