2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第23讲数形转化和知识板块之间的转化相交融第24讲以数辅形三大法宝代数法解析法向量法含解析

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典型例题
【例1】求函数y=2-1-x23+x的最值.
【分析】本例给出的函数解析式较为复杂(既含偶次根式, 又是分式),若拘泥于代数方法解必然产生心理障砧,所以对本题的分析必须再深入一步,有意识地从“数”和 "形”两个方面进行感知活动,促使“数”与“形”之间的转化, 由2-1-x23+x可联想到直线的斜率公式k=y1-y2x1-x2, 则一个函数求最值的问题立即转化为解析几何中的问题.
【解析】2-1-x23+x可看作点A(3,2)与动点B-x,1-x2的连线的斜率. 而点B在半圆x2+y2=1(y⩾0)上,
故原题即求点A(3,2)与半圆x2+y2=1(y⩾0)上的点的连线的斜率的最值, 如图5-9可知, 当B为B1(1,0)时, AB斜率最大, 为kmax=1; 当AB切半圆于B2时, AB的斜率最小,设此时AB的斜率为k,AB的方程为y-2=k(x-3).
由OB2=|2-3k|1+k2=1,得k1=3+34 (舍去), k2=3-34.
故ymax=1,ymin=3-34.
【例2】关于x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中, z1,z2,m都是复数, 且z12-4z2=16+20i, 设这个方程的两个根α,β满足|α-β|=27, 求|m|的最大值和最小值.
【分析】复数与复平面上的点以及以原点为起点, 该点为终点的向量三者之间建立了一一对应关系,求复数问题可以转化为向量的运算来解,也可以转化为复数方程的几何意义来解,这就是代数问题几何化的解题策略,它的优点是直观,避免了憼杂元长的计算与推理, 本例中根据α,β是关于x的二次方程x2+z1x+z2+m=0两根的条件,结合z1与z2的关系把|α-β|=27转化为关于m的方程,利用方程的几何意义求|m|的最大值与最小值,解法既直观又简捷.
【解析】由韦达定理得α+β=-z1,αβ=z2+m,
|α-β2=(α+β)2-4αβ=z12-4z2-4m=4m-z12-4z2=28.∵z12-4z2=16+20i,∴|4m-(16+20i)|=28,|m-(4+5i)|=7
如图5-10所示,复数m的对应点M在以(4,5)为圆心, 7 为半径的圆上.
∴|m|max=7+41,|m|min=7-41.
【例3】设x>0,y>0,z>0, 求证: x2-xy+y2+y2-yz+z2>z2-zx+x2.
【分析】xy+y2=x2+y2-2xycs⁡60∘, 显然表示为以x,y为边夹角为60∘的三角形的第三边的平方 (余弦定理可得),于是这道不等式证明题立即转化为几何问题,即构造四面体“模型”解题.
【解析】证明由题设x>0,y>0, 有x2-xy+y2=x2+y2-2xycs⁡60∘, 由余弦定理, 此式表示以x,y为边所夹角为60∘的三角形的第三边,
同理y2-yz+z2,z2-zx+x2也有类似的几何意义.
这样,我们构造出顶点为O的四面体O-ABC, 如图5-11所示.
使∠AOB=∠BOC=∠COA=60∘,OA=x,OB=y,
OC=z, 则有AB=x2-xy+y2,
BC=y2-yz+z2,CA=z2-zx+x2.
四面体O-ABC的底面是△ABC, 有AB+BC>AC.
即x2-xy+y2+y2-yz+z2>z2-zx+x2.
【例4】已知a>0,b>0,3a+1b=2, 求a+b-a2+b2的最大值.
【分析】本题若从代数的角度考虑, 直接代入消元后求最值,将很难顺利解决, 所以应当挖掘题中条件和结论所蕴含的几何意义,将条件3a+1b=2变形为32a+12b=1. 可以看作直线xa+yb=1(a>0,b>0), 过定点P32,12, 这是解决本题的一个突破口,结论a+b-a2+b2可以看作Rt△AOB的内切圆的直径, 原问题相当于求Rt△AOB内切圆直径的最大值,这是解决本题的另一个视角,可以朝这个方向制订解题方案.
【解析】将3a+1b=2变形, 得32a+12b=1, 可以看作是直线xa+yb=1(a>0,b>0)过定点P(32,12)如图5-12所示.显然有, a=|OA|=32+12ct⁡θ,b=|OB|=12+32tan⁡θ,
∴a2+b2=|AB|=|PA|+|PB|=12sin⁡θ+32cs⁡θ
故a+b-a2+b2=32+12ct⁡θ+12+32tan⁡θ-12sin⁡θ+32cs⁡θ
=3+12+cs⁡θ-12sin⁡θ+3(sin⁡θ-1)2cs⁡θ
=3+12+-2sin2⁡θ24sin⁡θ2cs⁡θ2+-3cs⁡θ2-sin⁡θ222cs2⁡θ2-sin2⁡θ2
=3+12-sin⁡θ22cs⁡θ2+-3cs⁡θ2-sin⁡θ22cs⁡θ2+sin⁡θ2
=3+12-12tan⁡θ2+-31-tan⁡θ221+tan⁡θ2
=3+12-12tan⁡θ2+1+12+31+tan⁡θ2-2321+tan⁡θ2
=3+1-12tan⁡θ2+1-31+tan⁡θ2=3+1-12tan⁡θ2+1+31+tan⁡θ2⩽3+1-212×3=3+1-412,
当且仅当12tanθ2+1=31+tanθ2, 即tanθ2=412-1时a+b-a2+b2取得最大值3+1-412
第24讲以数辅形三大法宝（代数法、解析法、向量法）
以数辅形代数法,通常由题设构建函数模型并结合其图像解决求参数的取值范围, 研究方程根的范围,研究量与量之间的大小关系, 研究函数的最值问题和证明不等式;以数辅形解析法就是运用代数的方法研究几何问题,借助几何轨迹所遵循的数量关系.借助运算结果与几何定理的结合;以数辅形向量法就是通过向量坐标的代数运算研究图形问题.
数形结合,贵在结合,要充分发挥两者的优势,“形”有直观、形象的特点,但代替不了具体的运算和证明,在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式,而“数”才是其真正的主角,若忽视这一点, 很容易造成对数形结合的误用,务必引起注意.
典型例题
【例1】当正数a为何值时,抛物线y=x24+4与椭圆x2a2+y232=1有 4 个不同的交点.
【分析】本例是一道解析几何常规题，一般情况下，判断曲线交点的个数问题可以通过几何直观得到, 但几何直观得到的结论是否一定正确,需要通过代数推理加以严格证明.由题意, 作出椭圆与抛物线的图形如图5-13所示,由图可知只需a>4即可保证有 4 个交点,反之,有 4 个交点是否一定要a>4 ? 而本例要求的是充要条件,一般情况下，仅从图形直观出发得出的结论,常常是片面的, 不严密的,只有通过代数运算,推理得到的结论才是正确无误的,我们讲“数形结合"应当从数与形两个维度思考问题,深刻领会华罗庚先生所讲的"数无形时少直观,形少数时难入微”的内涵.
【解析】将拋物线与椭圆方程联立, 得y=-x24+4,x2a2+y232=1.
消去x得关于y的二次方程a2y2-36y+144-9a2=0.
两曲线有 4 个交点,等价于关于y的二次方程a2y2-36y+144-9a2=0在-3,3内有两个不同的解.
记fy=a2y2-36y+144-9a2, 使方程fy=0在-3,3内有两个不同解的充要条件是f3>0, f-3>0, -3