2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第43汫数形的转化变换第44讲高维向低维的转化变换含解析

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第43汫数与形的转化与变换在寻找解题思路遇到困难的时候, 不妨通过㧒掘已知条件的内涵, 发现式子的几何意义,利用几何图形的直观性解决问题,若在解题过程中遇到令人望而生畏的繁杂运算,不妨借助图形去开辟新路;在需要检验结论的正确性时,也不妨借助图形去验证, 这是以形助数的解题策略, 当然构造图形是个技术活, 需要积累,更需要联想, 但是光有以形助数是不够的, 正如华罗庚先生所言:“数无形时少直观,形少数时难人微.”我们还要善于用数解形,借助数量的计算和分析, 使问题的解决严谨化、精确化.典型例题【例 1 】设, 求证: .【分析】本例用代数法直接证明比较困难,如果能将要证明的不等式构造成相应的图形,利用图形中的面积关系(局部小于整体)论证,显得直观清晣.【解析】 【证明】如图所示, 作一个半径为 1, 圆心角为的扇形, 且 , 易得的面积为.扇形的面积为.的面积.结合图形, 根据局部必小于整体, 明显有:. 【例 2 】已知为椭圆内一点, 为椭圆的左焦点, 为椭圆上一动点, 求的最大值和最小值.【分析】求解有关圆雉曲线的最值问题,通常建立函数表达式,利用函数与方程的思想解决,但有时这种解法不一定行得通, 有时函数表达式很难建立, 即使辛辛苦苦建立起来, 求最值也难以操作, 这时, 若能结合图形, 考虑用圆雉曲线的定义来解, 有效且显得特别简单.【解析】由可知, 左焦点, 右焦点, 由椭圆定义知 , 如图所示, 由 , 知当点在的延长线上的点处时, 取右“ ”; 当点在的反向延长线上的点处时, 取左“ ”, 即的最大值、最小值分别为.于是的最大值是, 最小值是.【例 3 】如图 7 - 6 所示, 设抛物线的焦点为, 动点在直线上运动, 过作抛物线的两条切线, 切点分别为, 求证: .【分析】本例是直线与抛物线的位置关系问题,证明当动点在已知直线上运动,过点作抛物线的切线为切点, 为抛物线焦点, 证明无论在已知直线上怎样运动,始终有, 而角度问题与向量的数量积关系紧密,所以可从数量积入手,把几何关系转化为数量关系,通过“计算”(这里是数量积的坐标运算)可得出所证的结论.【解析】 【证明】设切点的坐标分别为和, 可得切线的方程为. , 切线的方程为, 解得点的坐标为.则, 由于点在抛物线外, 即.. 同理有. 综上可知.【例4】均大于零, 且求证: 。【分析】根据条件, 可将待证式变更为, 观察左端各根式形状结构联想到勾股定理, 似可构造长方体来解决问题,一道较为复杂的条件不等式证明题立即有了明朗的证明方向, 真可谓“柳暗花明又一村”. 【解析】 【证明】构造以为三条棱的长方体, 如图所示, 其中由, 知长方体的体对角线长为 1 , 联结和, 有, 在中, , 同理, .三式相加并整理, 即得亦即.第44讲高维向低维的转化与变换事物的空间形成, 总是表现为不同维数且遵循由低维到高维的发展规律. 把维数、抽象水平较低的或局部的问题转化为维数、抽象水平较高或整体性较强的整体间的关系问题,通过对整体性质或关系的考虑, 而使原问题获得解决的策略即升维策略, 如平面图形通过翻折或旋转成为空间图形就是二维向三维的转化与变换,这种方法也叫升维法. 也可考虑把高维空间的问题转化为低维空间的问题,这种处理问题的方法叫降维法,或称之为降维策略,如将立体几何问题转化为平面几何问题. 这种把问题由一个领域转换到另一领域寻求解决之道的解题策略, 在复数行列式与立体几何中应用广泛.典型例题【例 1】曲线是以原点为中心, 为焦点的椭圆的一部分; 曲线是以为顶点, 为焦点的抛物线的一部分, 设是曲线和的交点且为钝角,若.（1）求曲线和的方程;（2）过作一条与轴不垂直的直线, 分别与曲线依次相交于这 4 点,若为中点, 为中点,则是否为定值? 若是,求出定值;若不是,说明理由. 【分析】给解题带来困难, 的结构也颇复杂,得到的二元代数式很难化简, 无法操作. 若运用投影后把二元化为一元,则使问题变得简单,而题中直线过轴上一定点,相关点向轴作投影亦可减少运算量,求之不难.【解析】 (1) 设椭圆方程为, 则, 得.如图所示, 设,则两式相减得, 由抛物线的定义可知.解得或 (舍去),椭圆的方程为, 抛物线的方程为.(2) 设.把直线代人, 得, 则同理将代人, 得, 则则故是定值, 定值为 3.【例 2 】在中, , 且. 动点使得成等差数列, 当最大时, 求的取值范围. 【分析】本题初看是平面向量问题,又涉及三角与数列知识, 同解三角形似乎也有关系,信息量大, 解题的难度较高,若能通过“降维策略”,即通过一条内在的线索把种种条件串起来朝单一的方向靠拢, 问题顿时变得简单, 由条件成等差数列, 则, 则是椭圆上一动点, 是椭圆的焦点, 与此椭圆也有关联,结合题设条件确定最大角, 也就确定了点的坐标, 从而将问题转化为一个定点与椭圆上一个动点的距离的取值范围的求解. 可见, 我们讲的降维策略不局限于将三维问题(空间)降为二维(平面)问题, 将二维问题(平面)降为一维 (直线)问题,“降维策略”也可以引申为将复杂的、陌生的、困难的、众多知识交叉的难度维数高的问题转化为简单的、熟悉的、单一的问题.【解析】以所在直线为轴, 以边中垂线为轴, 建立平面直角坐标系(如图所示)由于.依据椭圆定义可得动点的轨迹方程为,故设.由又, 此时, 即为等腰三角形.故, 依据两点间距离公式可得, 故.【例 3】 (1) 如图所示, 在直三棱柱中, 底面为直角三角形,是上一动点, 则的最小值是（）(2) 如图 7-11 所示, 圆台的上底面半径为, 下底面半径为, 母线长为, 求横截面相对顶点在圆台侧面上的最短距离.【分析】不论是多面体还是旋转体,从表面走或从不同的平面走的最短距离总是设法把空间图形转化为平面图形(由三维向二维转化), 多面体是把不同的面“打开”成同一平面, 旋转体通常把侧面展开, 第问, 联结, 沿将展开与在同一平面内; 第问, 空间图形→平面图形, 即展开圆台侧面, 两点所成的线段长即为所求的最短距离.【解析】(1)  如图所示, 联结, 沿将展开与在同一平面内, 联结, 则的长度就是所求的最小值, 通过计算可得, 又, 由余弦定理可求得.(2) 如图所示为沿母线剪开后将圆台侧面展开所得展开图, 问题转化为求展开图中线段的长. 设圆台的上底面、下底面半径分别为, 因为侧面展开图圆心角,且分别为所在弧的中点, 所以在等腰三角形图中, , 得是等边三角形, 因为. 所以, 而为的中点, 所以, 即两点在圆台侧面上的最短距离为.【例 4 】空间有 4 个球, 它们的半径分别为, 每个球都与其他 3 个球外切, 另外有 1 个小球与这 4 个球外切,求小球的半径.【分析】把立体问题化归为平面问题是解决立体几何问题的基本策略, 本例是一个颇为复杂的立体问题, 这里涉及多组三球两两相切,三球圆心及切点在同一平面内, 所以完全可以化归为平面问题,把三维转换成二维来解决, 这就是著名数学家波利亚说的 “不断地变换你的问题”的策略:“我们必须一再地变换它,重新叙述它, 直到最后成功地找到某些有用的东西为止.” 【解析】如图 (a) 所示, 和是半径为 2 的两个小球的球心, 和是半径为 3 的两个小球的球心, 是末知半径小球的球心, 和分别是两个半径为 2 的小球的切点和两个半径为 3 的小球的切点, 根据对称性, 可以断定是在上, 在图中, , 其余由两个圆心构成的线段长度都为 5 , 很容易通过计算求得, 在图中, 设圆的半径为, 那么, 同理, 所以, 解方程得或, 因为球的半径不可能是负值, 所以小球的半径只能是.