2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第39讲有限无限之间的转化变换第40讲多元一元的转化变换含解析

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中学数学中占有重要地位的极限思想，从中学数学教学角度看，着重从直观上考查无穷运动，从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变，形象地展现了有限与无限之间的转化与变换。
典型例题
【例1】
在正棱雉中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）。
A．B.C.D.
【分析】
本题考查的是一个有限的图形，即正n棱锥的侧面所成的二面角的问题，但是解决这个问题并不容易，我们可以将有限的问题用无限的方法求解。
【解析】设正棱雉的顶点为，底面为，高为，相邻两侧面所成的二面角为。
考虑顶点的两个无限趋近的情形:
(1) 当顶点无限趋近于底面时，正棱锥无限趋近为底面正边形，这时，相邻两侧面所成的二面角无限趋近于平面，即；
(2) 当顶点向上趋近于无限高时，正棱雉就无限趋近于正棱柱，这时，相邻两侧
面所成的二面角为正边形的内角，即。
由以上，应排除，故选。
【例 2】对任何, 都有（）成立.
A. B.
C. D.
【分析】
本题的解答用极限法处理别开生面,易得结论. 因为值的极端情形是, 可以发展以为底数的对数的极端情形.
【解析】
当时, ,
故否定了 A、C、D 的正确性, 选 B.
【例 3】已知抛物线方程, 试问:在轴正方向上是否必存在一点, 使得对于抛物线上任意一条过的弦均有为定值。
【分析】
若符合条件的点存在且点在轴正方向上,过点的弦有一个特殊位置, 这条弦垂直于轴时, 可以首先以此进行探讨；而且点还有两个极限位置, 即点趋近于原点或趋近于无穷远点, 以此探究弦的状况. 由此可见,对于解答某些数学问题,可以从无限或极端状态的角度去思考, 从而得到数学关系的猜想, 这种猜想往往正是所要寻求的结论. 当然,猜想仍需要在一般情况下加以证明.
【解析】
假设符合条件的点存在,考虑过点的一条特殊的弦—垂直于轴的弦的情形. 设, 则
但是仅凭此式还看不出点的位置,
再考虑过点的弦的极限情形轴的正半轴, 此时过点的弦的一个端点是原点, 另一个端点可看成是无穷远点, 有, 则
, 于是, 于是可猜得定点.
下面证明过点的任意一条弦均有为定值.
设过点的直线方程为带入抛物线方程得
设方程的两个根为, 它们的绝对值的几何意义分别为及的长，则,
故存在符合条件的点, 且点为.
【例 4】设数列的前项的和.
(1) 求首项与通项;
(2) 设, 证明.
【分析】
本例的难点在第 (2)问,从常规思路看, 为了求和, 需要对变形, オ能求, 但不一定能想到变形的方法,一旦想不到, 后面的运算就无法进行, 为此,我们试着换一种思路, 先用特殊的数值作一些尝试得到一个猜想, 再用数学归纳法证明这个猜想, 使问题从有限向无限转换.
【解析】容易得出.
(2) 【证法1】
先求出, 再对裂项, 从而进一步求和.
把代人题设的的表达式中,得.
上述解法中对用了裂项方法,为求创造了条件, 但这个方法虽然巧妙, 却不容易想到,于是有了下面的解法.
【证法2】
证明对所有正整数, 不等式成立. 这是一个与正整数有关的问题,可以考虑用数学归纳法, 但是不等式的右边是一个常数, 从延续到的证明就比较困难,因此用特殊的数值作一些尝试.
若, 则;
若, 则的变形是类比得到的);
若, 则的变形是类比和得到的).
由以上, 可以猜想为求证 (把结论加强).
下面用数学归纳法证明:
①当时, , 不等式成立;
当时, ,
时, 不等式成立.
②假设当时, 不等式成立, 即；
那么，当时, 有
即当时, 不等式成立.
于是, 对不等式成立, 即.
第40讲多元与一元的转化与变换
在一个数学问题中有多个字母或末知数会给解题带来困难,解决问题的方法是想办法消去过多的字母, 从而使问题变得简单, 消元思想就是由一些元素间的已知等量关系, 通过有限次的变换消去其中某些元素, 从而得出其他一些元素之间的等量关系的解题思想,通常用代人、加减,乘除、代换等方法消元, 三角换元法在多元向一元的转化与变换中显示出其特有的功能.
典型例题
【例 1 】已知, 试求使方程有解的的取值范围.
【分析】
本例所给的方程内含有三个变元,任意选取一个当作主元,均可解出正确结果, 当然解题过程并不简单,如果利用三角代换, 可轻松实现从多元向一元的变换,则可简化解题过程.
【解析】
原方程等价于
可令,
代人①, 整理得, ,
再由方程解出, 代人②得到不等式,
.
【例 2】已知, 求的取值范围.
【分析】
本例条件等式含有二个变元且有项, 直接代入消元,很难实现,若采用三角换元化为一元 (一个角) 则解之不困难了,实现这一目标关键是对变形,与三角公式挂起钩来.
【解析】
, 故可设,
则,
【例 3】设且, 求的取值范围.
【分析】
本例可用上例类似的解法, 即三角换元法, 也可以转化为二次函数求值域, 不管是哪一种方法，多元变一元的解题途径是一致的.
【解析】
【解法1】
由得, 即,
设
则
当时, 当时, .
的取值范围是.
【解法2】
由得, 设, 则, 代人已知等式得, 即, 其对称轴为.
由, 结合函数的单调性得,
的取值范围是.
【例 4 】(1) 已知实数满足方程, 求的最小值;
(2) 若实数满足方程, 求代数式的取值范围.
【分析】
本例两小题都是圆上动点与圆外一定点连线的斜率问题,通过数形结合求解很方便, 这里考虑换一个角度思考, 即如何把二元问题转化为一元问题通过构造向量的方法能实现这一目标,别具一格.
【解析】
(1) 设, 则.
设, 则
, 故, 得, 解得
则的最小值是 0 .
(2) 设, 则①
方程可化为
故可将①式写成.
构造向量,
则,
由, 得, 解得,
故所求的取值范围是.