2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第25讲以形助数两大抓手利用函数图像揭示内在几何意义第26讲以形助数还要抓住形的动态过程含解析

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典型例题
【例1】 (1) 对a,b∈R, 记max{a,b}=a(a⩾b),b(a0),l1与函数y=lg2⁡x的图像从左至右相交于点A,B,l2与函数y=lg2⁡x的图像从左至右相交于C,D, 记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b, 当m变化时, ba的最小值为( ).
A. 162B. 82C. 16D. 8
【分析】第 (1)问,对于求分段函数最值问题，可在相应定义域内作出分段函数的图像，借助函数图像直观地得出函数的最大值和最小值或判断无最值.第(2)问考查对数函数图像与性质的综合应用,理解投影的概念并能把问题转化为基本不等式求最值是解决问题的关键.
【解析】(1) 函数fx=maxx+1,x2-2x+94是两个函数y=x+1与y=x2-2x+94同一个x取得的两个函数值的较大的值,在同一直角坐标系中作函数y=x+1与函数y=x2-2x+94的图像, 函数fx的图像为图中实线部分(如图5-18所示). 令x2-2x+94=x+1, 得x=12或x=52. 由图像可知,当x=12时，fx的最小值为32, 故fx有最小值32,，但没有最大值, 故选C.
(2) 在同一坐标系中作出y=m,y=82m+1m>0,y=lg2x的图像如图5-19所示, 由lg2x=m, 得x1=2-m,x2=2m,lg2x=82m+1, 得x3=2-82m+1,x4=282m+1, 依照题意得a=x1-x3,b=x2-x4
得a=2-m-2-82m+1,b=2m-282m+1
ba=2m-282m+12-m-2-82m+1=2m⋅282m+1=2m+82m+1
因为m+82m+1=m+12+4m+12-12⩾4-12=312, 所以bamin=82, 故选B.
【例2】 (1) 求y=2+5sin⁡x3-sin⁡x的最大值与最小值;
(2) 已知x2+y2⩽4, 且x⩾0, 求y+4x+1的最大值与最小值.
【分析】第(1)问, 根据y=2+5sin⁡x3-sin⁡x和k=y2-y1x2-x1形式上的特点, 构造动点A(sin⁡x,-5sin⁡x), 定点B(3,2), 则原问题求y的最值转化为求kAB的最值. 这就是通常所说的"图形的构选”,是数形结合思想的㧓手之一;第(2)问,x2+y2⩽4, 且x⩾0表示半圆域，y+4x+1表示半圆域上的动点P(x,y)与定点A(-1,-4)连线的斜率, 问题迎刃而解.
【解析】 (1) 据斜率公式k=y2-y1x2-x1构造两个点, 即A(sin⁡x,-5sin⁡x),B(3,2). 把点A(sin⁡x,-5sin⁡x)视为直角坐标平面aOb内的一个动点, 这时a=sin⁡x,b=-5sin⁡x, 由此可得b=-5a(-1⩽a⩽1), 如图5-20所示. b=-5a(-1⩽a⩽1)的图像是线段A1A2, 端点A1,A2的坐标分别是(-1,5)和(1,-5), 点A在线段A1A2上移动, 直线A1B的斜率为kA1B=2-53+1=-34,
直线A2B的斜率为kA2B=2+53-1=72.
y刚好是直线AB的斜率, ∴y的最大值为kA2B=72, 最小值为kA∣B=-34.
(2)如图5-21所示, 不等式x2+y2⩽4(x⩾0)表示半圆域.
设y+4x+1=k, y+4x+1表示半圆域上的点(x,y)与点(-1, -4)连线的斜率, 当直线过点(0,2)时,有y+4x+1max=6,当直线在圆的切线位置时, k值最小, 由点0,0到切线的距离等于半径, 得k-4k2+1=2,y+4x+1min=-4+2133.
【例3】 (1) 已知平面向量α,βα≠0,α≠β满足β=1, 且α与β-α的夹角为120∘, 则α的取值范围是___________;
（2）设抛物线y2=2x的焦点为F, 过点M3,0的直线与抛物线相交于A,B两点, 与抛物线的准线相交于C,BF=2, 则△BCF与△ACF的面积之比S△BCFS△ACF=
A. 45B. 23C. 47D. 12
【分析】第 (1)问, 如图5-22所示, 易知点C在圆弧上运动且∠ACB=60∘, 在△ABC中结合正弦定理及正弦函数的有界性可得|α|的取值范围; 第(2)问,应结合图形, 将面积比转化为线段长度之比, 再根据抛物线定义转化为坐标运算.
【解析】 (1) 令α=AC,B=AB, 如图5-22所示, |AB|=1, 点C在圆弧上运动, ∠ACB=60∘.设∠ABC=θ, 由正弦定理知ABsin⁡60∘=|α|sin⁡θ.
∴|a|=233sin⁡θ⩽233, 当 θ=90∘ 时取最大值. ∴|α|∈0,233
(2) 如图 5-23 所示,设点AxA,yA点BxB,yB, 由题知S△BCFS△ACF=BCAC=xB+12xA+12=2xB+12xA+1, 且|BF|=xB+12=2⇒xB=32⇒yB=-3.
由A,B、M三点共线有yM-yAxM-xA=yM-yBxM-xB, 即0-2xA3-xA=0+33-32, 故xA=2.
∴S△BCFS△ACF=2xB+12xA+1=3+14+1=45, 故选A.
【例4】已知以T=4为周期的函数f(x)=m1-x2,x∈[-1,1], 1-|x-2|,x∈[1,3],
其中 m>0, 若方程3fx=x恰有 5 个实数解,则m的取值范围为.
A. 153,83B. 153,7C. 43,83D. 43,7
【分析】本题可构造两个函数,通过两个函数的图像交点的个数为 5 来探求m的取值范围，然而以形助数往往是粗略的，临界状态不一定很明了，还应结合代数运算，通过解方程组,运用方程理论作进一步探索. 数形结合关键在结合, 不但要以形助数,还要以数辅形,这样解才是完整的.
【解析】方程3f(x)=x可化为f(x)=x3, 构造函数y1=m1-x2,x∈[-1,1]1-|x-2|,x∈[1,3]=x3,
当-1⩽x⩽1时为y2m2+x2=1的上半部分；当1153
由 y2m2+(x-8)2=1,y=x3,得 1+19m2x2-16x+63=0
Δ=256-4×631+19m2