初中数学北师大版九年级上册3 相似多边形教学设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【情境导入】

教师活动：教师出示课件，提出问题，学生思考后回答.

    观察下面两幅图片

提问：每组的两个图形形状相同吗？大小相等吗？

预设答案：每组的两个图形形状相同，大小相等；

满足这种关系的两个图形叫做全等图形.

追问：观察这两个图形形状相同吗？大小相等吗？

    预设答案：这两个图形形状相同，但大小不相等.

思考：它们是什么关系呢？

学生观察图片，思考回答问题.

通过此活动，希望学生能从中获取尽可能多的相似图形的信息，体会相似图形在生活中的实际意义，培养学生善于观察生活的习惯、乐于探索研究的数学精神.

环节二 探究新知

【合作探究】

教师活动：通过量一量活动，对各种相似图形特点的一个自然感知的过程，学生用自己的语言归纳总结出相似多边形的特点.

问题：图中的两个多边形分别是计算机显示屏上的多边形ABCDEF和投影到银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1，它们的形状相同吗？

(1)在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？

(2)在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？

教师鼓励学生利用量角器和直尺，对各组内角及对边先测量，再计算，数据会有所差异，是因为测量有误差.

预设答案：

(1)∠A=∠A1=125°，∠B=∠B1=130°，

∠C=∠C1=95°，∠D=∠D1=130°，

∠E=∠E1=155°，∠F=∠F1=85°

(2)AB : A1B1=2 : 3，BC : B1C1=2 : 3,

 CD : C1D1=2 : 3，DE : D1E1=2 : 3，

EF : E1F1=2 : 3，FA : F1A1=2 : 3.

思考：通过量一量活动，你发现了什么？

预设答案：图中的六边形ABCDEF与六边A1B1C1D1E1F1是形状相同的多边形，其中∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1分别相等，称为对应角；AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E，EF与E1F1，FA与F1A1的比都相等, 称为对应边.

相似多边形的概念：

各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.

如：六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF与六边A1B1C1D1E1F1，“∽”读作“相似于”.

在记两个多边形相似时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.

相似比

相似多边形对应边的比叫做相似比.

例如，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，对应边的比：

，

因此，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1的相似比为，

六边形A1B1C1D1E1F1与六边形ABCDEF的相似比为.

想一想：你是如何判断两个多边形相似的？

预设答案：判定相似多边形的条件：

(1)边数相同；(2)角分别相等；(3)边成比例．

以上三个条件是判定相似多边形必备的条件，缺一不可．

相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.

想一想：（1）任意两个等边三角形相似吗？

预设答案：已知等边三角形的每个角都为60°, 三边都相等. 所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.

（2）任意两个正方形相似吗？任意两个正n边形呢？

预设答案：和等边三角形一样，任意两个正方形和正n边形都相似.

归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似.

   （3）任意两个菱相似吗？任意的两个矩形是否相似？

预设答案：任意两个菱形不一定满足对应角相等，任意两个矩形不一定满足对应边的比相等，所以任意的两个菱形和两个矩形不一定相似.

【做一做】

一块长3 m、宽1.5 m的矩形黑板如下图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？

预设答案：外围的木质边框的长为：3+2×0.075=3.15(m)

宽为：1.5+2×0.075=1.65(m)

∵1.5︰3≠1.65︰3.15，

∴边框的内外边缘所成的矩形不相似.

此时教师提示学生，直观看到的有时是不可靠的.

学生动手量一量，算一算，并交流反馈.

学生先尝试自由说一说.

思考后回答

学生根据题目提出的问题结合所学的知识,画出图形、小组讨论,得出结果.

各小组派出代表将自己的结论进行相互比较，从而得出正确的结论.

让学生先判断，分组讨论，再通过计算验证自己的判断.

通过量一量活动，初步体会形状相同的两个多边形，对应的角相等，对应边成比例，从而归纳引出相似多边形的概念及相似比的概念.

明确相似多边形的概念及相似比的概念.

.

此处留给学生充分的时间与空间去想象和思考.并培养学生对某个问题作出正确判断、合理解决问题的能力.使学生完整地经历 “思考——讨论——印证——作出正确的结论” 和“特殊向一般推广”的活动过程，深刻体会思考、论证对决策问题的直观重要性.

经历探索相似多边形的概念后，学生在实际情景中更深层次认识相似多边形的基本涵义；初步掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例的性质.

环节三 应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例 已知：如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′，AD＝2，A′D′＝4，AB＝3，B′C′＝6. 求A′B′和BC的长.

分析：由相似比的概念可知对应边的比等于相似比．所以相似比为：AD : A′D′=1:2，再根据对应边中的一条边的长度，即可求出另一条边的长度．

解：

∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，

∴相似比，  

∵AB＝3，B′C′＝6，

∴A′B′＝6，BC＝3.

明确例题的做法，尝试独立解答，并交流讨论

通过解决例题强化对相似比及相似多边形的性质的理解，并应用其解决一些简单的计算问题，培养学生的应用意识.

环节四 巩固新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.如图，矩形ABCD∽矩形EFGH，它们的相似比是2 : 3，已知AB=3 cm，BC=5 cm，求EF，FG的长.

2.如图所示的两个五边形相似，求a，b，c，d的值.

3.如图，一个矩形广场的长60 m，宽为40 m，广场内两条纵向小路的宽均1.5 m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？

答案：

1.解：∵矩形ABCD∽矩形EFGH，且相似比为2 : 3，

∴AB : EF＝2 : 3，BC : FG＝2 : 3，

∵AB=3 cm，BC=5 cm，

∴EF=cm，FG=cm.

2.解：∵两个五边形相似，

∴，

解得：a=3，b=4.5，c=4，d=6.

∴a=3，b=4.5，c=4，d=6.

3.解：由题意知，小路内边缘所围成的矩形的长为60-1.5×2=57(m)，宽为(40-2x)m.

根据相似多边形的定义，当各边成比例时，

这两个矩形相似，即

，

解得：x=1.

当横向小路的宽1m时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似.

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生尝试回顾本节课所讲的内容

通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

环节六

布置作业

教科书第88页

习题4.4  第2、3题

学生课后自主完成.

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.