数学3 相似多边形教案

这是一份数学3 相似多边形教案，共33页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。

第11讲


讲























相似多边形模型的应用















































概 述











【教学建议】


相似这一部分知识是整个初中阶段难度较高的一部分，同时也是中考中的热门考点，在本讲教学过程中建议结合相应题目来学习，以求达到对形似模型有一个更好的理解和应用.


【知识导图】





























教学过程








一、导入








【教学建议】


在这一讲知识的学习中，可以结合对应题型来帮助学生更好的理解三角形模型的知识.


三角形相似的判定我们已经练习了许多的习题，今天这节课我们要讲解三角形相似中的几个比较经典的模型，来更好的理解和应用三角形相似的知识.





二、知识讲解








考点1 相似三角形的模型








1、A型相似（常考题型，注意反A型的应用）


2、X型相似（角关系模型，一般由平行线产生）


3、母子型相似（常见的是通过做直角三角形斜边上的高产生的三个三角形的相似）


4、一线三等角型（角关系模型）


5、一线三垂直型（一线三等角性的特殊情况）





三 、例题精析








类型一 A型相似





例题1








如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.


(1)求证： (2)求这个矩形EFGH的周长；


【解析】(1)证明：∵四边形HEFG为矩形，


∴HG∥EF，


而AD⊥BC，


∴AM⊥BC，


∴△AHG∽△ABC，


∴


(2)设HE=x，HG=2x，


则，解得x=12，


∴这个矩形EFGH的周长=2x+4x=6x=72(cm)；


【总结与反思】通过A字型相似，即可轻松理解本题的相似模型.





类型二 X型相似





例题1








如图，在中，的平分线分别与、交于点、．


（1）求证：；


（2）当时，求的值．


【解析】（1）如图，在中，，


∴．


∵是的平分线，


∴．


∴．


∴．


（2）


∴△∽△，


∴，


∴．


【总结与反思】 此题考察了X字型相似模型的应用.


类型三：母子型相似





例题1








在直角三角形ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，则图中相似三角形


CD²= AC²= ，BC²= .








【解析】△ADC∽ACB，△ADC∽△CDB，△BDC∽BCA


CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA


【总结与反思】 通母子型相似模型即可得出相似三角形.





类型四：一线三等角型相似





例题1








在中，，，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持.


①若点在线段上（如图），且，求线段的长；


②若，，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；


A


B


C


备用图


A


B


C


备用图


A


B


C


P


Q














【解析】①∵AB=AC


∴∠B=∠C


∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠QPC


∠APQ=∠B


∵∠BAP=∠QPC


∵∠B=∠C


∴△BPA∽△CQP


∴


∴


∴CQ=


②∵△AEP∽△PCQ





【总结与反思】此类型考察的一线三等角相似模型的使用.





类型五：一线三垂直型相似





例题1








已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC．（AB>AE）





（1）△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，说明理由．


（2）设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．


【解析】（1）相似，理由如下：


∵EF⊥EC


∴∠AEF+∠DEC=90°


∵∠AEF+∠AFE=90°


∴∠DEC=∠AFE


∵∠A=∠D


∴△AEF∽△DCE


∴


∵AE=DE


∴


∵∠A=∠FEC


∴△AEF∽△ECF


（2）存在如果△AEF与△BFC相似，则△ECF与△BFC相似．


假设∠EFC=∠BCF，则EF∥BC，明显不符合题意


∴只可能是△ECF∽△BCF，即△AEF∽△BCF


∴∠BFC=∠EFC


由上问：∠AFE=∠EFC


∴∠AFE=∠EFC=∠BFC=60°


∴


∵


∴设AE=a，则BC=2a，AF=，BF=


∴AB=


∴，即：k=


【总结与反思】本题考查了三角形一线三垂直相似模型的综合使用能力.





四 、课堂运用








基础








1．如图所示，给出下列条件：


①；②；③；④．


其中单独能够判定的个数为（ ）


A．1B．2C．3D．4





2.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：


（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.


其中正确的有（ ）


A．0个B．1个C．2个D．3个





3.如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB，交BD于点F，若AB=2，CD=3，则EF的长为( )





A.1.2 B.2.5


C.1.5 D.不确定





4.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且OQ=OC，连接CQ并延长，交AB边于点P，则点P的坐标为( )





A. B.


C. D.


5.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC.


求BN：NQ：QM．








答案与解析


1.【答案】C


【解析】③不能判定.


2.【答案】D


【解析】根据相似三角形的模型即可判断.


【答案】A


【解析】△AEB∽△DEC，DE：EC=2:3，


△BEF∽△BCD，EF：DC=BE：BC=2:5，DC=3，EF=1.2.


4.【答案】D


【解析】 根据X字型相似即可得出..


5.【答案】见解析


【解析】 连接MF


∵M是AC的中点，EF＝FC


∴MF∥AE且MF＝AE


∴△BEN∽△BFM


∴BN：BM＝BE：BF＝NE：MF


∵BE＝EF


∴BN：BM＝NE：MF＝1:2


∴BN：NM＝1:1


设NE＝x，则MF＝2x，AE＝4x


∴AN＝3x


∵MF∥AE


∴△NAQ∽△MFQ


∴NQ：QM＝AN：MF＝3:2


∵BN：NM＝1:1，NQ：QM＝3:2


BN：NM：QM=5:3:2





巩固











1.如图，在中，是上一点，于，且，则的长为（ ）





A．2 B． C． D．





2.在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为( )





A.3 B.


C. D.


3.如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于点G，


AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为( )





A.9cm B.14cm


C.15cm D.18cm


4.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连接DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值为( )





A.B.


C.D.





答案与解析


【答案】B


【解析】根据A字型相似，即可得出△ADE∽△ACB..


2.【答案】A


【解析】面积之比等于对应边之比的平方.


3.【答案】C


【解析】延长FE交CB延长线于一点N，根据△FAB∽△NBE得出AF：NB=1:1，NB=2；


根据△AFG∽△CNG得出AG：CG=AF：CN=2:8=1:4；


因为AG=3，CG=12，AG=15


【答案】B


【解析】根据X字型相似：△ADP∽△CEP，得到AP：CP=2：1，


根据A字型相似：△ABC∽△PFC，得到CF：CB=CP:CA=1:3





拔高








1.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F.


求证：








2.类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.


原题：如图1，在□ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值.


（1）尝试探究


在图1中，过点E作交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，的值是


（2）类比延伸


如图2，在原题的条件下，若,则的值是 （用含的代数式表示），试写出解答过程.


（3）拓展迁移


如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若，则的值是 （用含的代数式表示）.








3.等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．


（1）如图1，三角板两边分别交AB，AC于点E，F时，求证：△BPE∽△CFP；


（2）操作：将三角板绕点P旋转到图2的情形时，三角板的两边分别交BA


的延长线、边AC于点E，F．


探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）


探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由．


设EF=m，△EPF的面积为S，试用含m的代数式表示S．








答案与解析


1.【答案】见解析


【解析】 证明：（方法一）如图





延长AE到M使得EM=AE，连接CM


∵BE=CE，∠AEB=∠MEC


∴△BEA≌△CEM


∴CM=AB，∠1=∠B


∴AB∥CM


∴∠M=∠MAD，∠MCF=∠ADF


∴△MCF∽△ADF


∴


∵CM=AB，AD=AC


∴


（方法二）


过D作DG∥BC交AE于G


则△ABE∽△ADG，△CEF∽△DGF


∴，


∵AD=AC，BE=CE


∴


2.【答案】见解析


【解析】 （1）如图1，利用得△EHF∽△ABF，对应边成比例得AB=3EH，然后利用中位线定理得CG=2EH，又∵CD=AB，∴得出CD与CG的关系；


（2）与（1）方法道理都相同；


（3）此问是（1）、（2）类比、拓展延伸，根据前面问题研究方法，要利用所给条件，所以添加如图3，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有,,两式相比就可得出








（1）


(2)


作EH∥AB交BG于点H，则△EHF∽△ABF


∴


∵AB=CD，∴


EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG


∴，∴CG=2EH


∴


（3）


3.【答案】见解析


【解析】 （1）证明：∵AB=AC，∠BAC=120°


∴∠B=∠C=30°


∵∠EPF=30°


∴∠BPE+∠CPF=150°


∵∠BPE+∠BEP=150°


∴ ∠CPF=∠BEP


∴△BPE∽△CFP


（2）解：①相似


②相似，理由如下：


∵△BPE∽△CFP


∴


∵BP=CP


∴


∵∠B=∠EPF


∴△BPE∽△PFE


③连接AP，过P作PM⊥AB、PN⊥EF，分别交AB，EF的延长线于点M，N．





∵AB=AC，P为BC的中点


∴AP⊥BC


由（1）得：∠B=30°


∴BP=


∵PM⊥AB


∴PM=


由上问知：△BPE∽△PFE


∴∠BEP=∠PEF


∴EP是∠BEF的平分线


∴PM=PN=


∴S△EPF===








五 、课堂小结








本节的重要内容：相似三角形模型：


1、A型相似（常考题型，注意反A型的应用）


2、X型相似（角关系模型，一般由平行线产生）


3、母子型相似（常见的是通过做直角三角形斜边上的高产生的三个三角形的相似）


4、一线三等角型（角关系模型）


5、一线三垂直型（一线三等角性的特殊情况）








六 、课后作业











基础








1.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，若AC=8，AD=6，则BD的长为( )





A.B.


C.D.


2.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D．下列条件：①；②；


③．其中能证明△ABC是直角三角形的是( )





A.①③ B.①②


C.②③ D.①②③


3、如图，直线∥，若AF:FB=2:3，BC:CD=2:1，则AE:EC=( )





A.5:2 B.4:1


C.2:1 D.3:2


4、如图，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，则AE=_________．





答案与解析


1.【答案】B


【解析】根据母子型相似的性质即可得出.


2.【答案】D


【解析】根据母子型相似的性质即可得出.


3.【答案】C


【解析】通过题意可得到△AGF∽BDF，△AGE∽△CDE.代换即可得出.


4.【答案】


【解析】通过题意可得到△ABF∽DCF，△BEF∽△DCF.代换即可得出.





巩固








如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AC边上，且AE:EC=1:2，BE交AD于点P，则AP:PD的值为( )


A.1 B.


C. D.





2.如图，在△ABC中，M为AC的中点，E为AB上一点，且AB=4AE，连接EM并延长，交BC的延长线于点D，则BC:CD=( )








A.4:1 B.2:1


C.7:3 D.5:2





3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若BD:CD=3:2，则AC:AB=（ ）





A．B．C．D．





4.如图，小明在A时刻测得某树的影长为2 m，B时刻又测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________．





5.如图，P为□ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD，BC，CD的延长线、AB的延长线分别交于点E，F，G，H．


求证：

















6.如图1所示，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D．AD，BC交于点E，过E作EF⊥BD于点F，则可以得到．若将图1中的垂直改为斜交，如图2所示，AB∥CD，AD，BC交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F，试问：还成立吗？请说明理由．





答案与解析


【答案】A


【解析】过D点作DN∥BE，得到△CBE∽CDN，△APE∽△ADN.代换即可得出.


【答案】B


【解析】过C点作CN∥BD，得到△BCN∽BDE，△AEM∽△ANC.代换即可得出.


3.【答案】D


【解析】根据母子型相似的性质即可得出.


4.【答案】4m


【解析】根据母子型相似的性质即可得出.


5.【答案】见解析


【解析】证明：在□ABCD中


AD∥BC,DC∥AB


∴△GCP∽△HAP


∴


∵ AD∥BC


∴△APE∽△CPF


∴


∴


∴


6.见解析


【解析】成立


∵EF∥HB


∴


∵EF∥AB，AB∥CD


∴EF∥CD


∴


∴


∴














拔高








1.如图，正三角形ABC的边长为3+．


（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；


（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；


（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．





2.（2012宜宾）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．


（1）求证：△ABE∽△ECM；


（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；


（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．





3.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．























答案与解析


1.【答案】见解析


【解析】（1）如图①，正方形即为所求．


（2）设正方形的边长为．


∵△为正三角形，


∴．


∴．


∴，即．


（3）如图②，连接，则．


设正方形、正方形的边长分别为，


它们的面积和为，则，．


∴．


∴．


延长交于点，则．


在中，．


∵，即．


∴


∴ⅰ）当时，即时，最小．


∴．


ⅱ）当最大时，最大．


即当最大且最小时，最大．


∵，由（2）知，．


∴．


∴．


2.【答案】见解析


【解析】（1）证明：∵AB=AC，


∴∠B=∠C，


∵△ABC≌△DEF，


∴∠AEF=∠B，


又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，


∴∠CEM=∠BAE，


∴△ABE∽△ECM；


（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，


∴∠AME＞∠AEF，


∴AE≠AM；


当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，


∴CE=AB=5，


∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，


当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，


∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，


即∠CAB=∠CEA，


又∵∠C=∠C，


∴△CAE∽△CBA，


∴，


∴CE=，


∴BE=6﹣=；


（3）解：设BE=x，


又∵△ABE∽△ECM，


∴，


即：，


∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，


∴AM=﹣5﹣CM═（x﹣3）2+，


∴当x=3时，AM最短为，


又∵当BE=x=3=BC时，


∴点E为BC的中点，


∴AE⊥BC，


∴AE==4，


此时，EF⊥AC，


∴EM==，


S△AEM=．


3.【答案】见解析


【解析】分两种情况


第一种情况，图象经过第一、三象限





过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC


则由上可知：=90°


由三等角模型知：△OCA∽△ADB


∴


∵A(2，1)，=45°


∴OC=2，AC=1，AO=AB


∴AD=OC=2，BD=AC=1


∴D点坐标为(2，3)


∴B点坐标为(1，3)


∴此时正比例函数表达式为：y＝3x


第二种情况，图象经过第二、四象限





过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC


则由上可知：=90°


由三等角模型知：△OCA∽△ADB


∴


∵A(2，1)，=45°


∴OC=1，AC=2，AO=AB


∴AD=OC=1，BD=AC=2


∴D点坐标为(3，1)


∴B点坐标为(3，-1)


∴此时正比例函数表达式为：y=x








七 、教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
A型相似


X型相似


母子型相似


一线三等角型相似


一线三垂直
教学目标
1、掌握相似模型的应用.


2、掌握相似的解题方法.
教学重点
能熟练掌握相似模型的应用.
教学难点
能熟练掌握相似模型的应用.