初中北师大版4 探索三角形相似的条件第4课时教学设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【情景引入】

教师活动：展示同一动物的3张照片，请学生观察哪张构图最美？再次展示3张构图优美的图片，思考为什么看起来美的照片，主要景物都在类似的位置？

预设：构图的位置让图片更有美感.

这些位置时怎样确定的呢，今天我们就一起研究！

观察图片，思考原因，猜测理由，踊跃回答.

从照片构图方式的普遍应用引出黄金分割点，贴近生活，易于理解，以此激发学生的学习兴趣.

环节二 探究新知

【做一做】

     一个五角星如图所示.

(1)从图中找出相等的角、相等的线段.

(2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形.

    (3)小亮认为， .你同意他的看法吗？说说你的理由.

预设：

(1)AL=AD=DE=… ；DL=DF=FH=… ；

KH=KD=BL=… ；KG=KE=AB=…

(2)△ACD∽△ABF，△FGH∽△DGC，…

(3)∵△ACD∽△ABF，    

∴

∵AD=BC，AF=AC

∴

教师活动：引导学生思考并回答问题，提醒学生注意五角星的对称性，判断答案是否正确.回答1、2两问后，提出问题3.由问题3的解答引出黄金分割的定义.

【归纳】

一般地，点C 把线段AB分成两条线段AC和BC(如图)，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.

教师活动：展示说明定义后，给出从形式上理解记忆方法：

【思考】

一条线段有几个黄金分割点？

预设：2个

教师活动：提示学生从本质上画图考虑黄金分割点.学生画图尝试解答后，总结说明黄金分割点的个数：

一条线段有两个黄金分割点

(1)      如下图，黄金分割点距离线段的右侧端点较近：

(2)      如下图，黄金分割点距离线段的左侧端点较近：

【想一想】

 图1是古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中用虚线表示的矩形画成图2中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，                    点E是AB的黄金分割点吗?矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗?

预设：

由AEFD是正方形，因此点E是AB的黄金分割点                     是黄金比，也就是说，矩形ABCD的宽和长的比是黄金比.                                            

【读一读】

教师活动：让学生领读，其他同学感受学习.

    古希腊数学家、天文学家欧多克索斯(Eudoxus，约前400—前347)曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题.这个相等的比就是             =0.618 033 988 749 89...

天文学家开普勒(Johannes Kepler，1571—1630)把这种分割线段的方法称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定理(勾股定理)和黄金分割“是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”. 而历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆(Martin Ohm，1792——1872). 19世纪以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来…

    在相当一段时期里，人们非常崇拜黄金分割.比如，古希腊的许多矩形建筑中，宽与长的比都等于黄金比.其实，黄金分割很可能是由作图问题引出的.

    值得一提的是，优选法中的“0.618法”与黄金分割紧密相关.20世纪70年代，这种方法经著名数学家华罗庚(1910--1985)的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成果.

教师活动：简要介绍数学家华罗庚.

【拓展】

教师活动：教师展示几种黄金分割在各领域的代表应用，让学生感受黄金分割的美.鼓励学生课下自己收集有关资料趣闻并展示.

建筑与黄金分割

上海东方明珠塔高462.85米，上球体距地面286米，造型协调、美观.

乐器与黄金分割

小提琴是一种造型优美、声音诱人的弦乐器，它的共鸣箱的一个端点正好是整个琴身的黄金分割点.

艺术与黄金分割

图片中的头和两肩在整幅画面中完美的体现了黄金分割.

整幅油画和谐、完美.

【做一做】

教师总结黄金分割学习的重要性，提出如何作出一条线段的黄金分割点的问题，讨论后作图展示并提出问题.

用如图所示的方法可以作出一条已知线段AB的黄金分割点H吗，你能说说这种作法的道理吗？

1.以线段AB为边作正方形ABCD，

2.取AD的中点 E，连接EB，

3.延长DA至F，使EF=EB.

4.以线段AF为边作正方形AFGH.点H就是线段AB的黄金分割点.

预设：

设AB=2，则AE=1.由勾股定理得BE=.于是EF=BE=，AH=AF=EFAE=1 ，BH=ABAH=3，所以AH2=AB·BH，

即.所以点H是AB的黄金分割点.

通过测量、观察等方法，思考解决问题，小组讨论后回答问题.

由三角形的相似关系得出比例关系，思考感受这一比例关系的特殊性.

理解基础上记忆黄金分割的定义.

在理解黄金分割定义的基础上，思考并回答问题

通过等量关系的转化，解决问题.

学习感受黄金分割有关的文化知识.

收集黄金分割有关的资料趣闻，并展示，体会黄金分割在生活中的应用。

实际动手做一做，并思考这种作法的道理.

利用五角星问题，创设一个有利于学生探究和综合应用线段的比、成比例线段，以及相似三角形的情境.

意在引出黄金分割，教学时如果所有学生都没有得出这一比例式，教师可主动提出，并要求学生判断其是否正确.

黄金分割定义的给出，注意说明比例关系的记忆方法.

让学生全面深入的理解黄金分割的定义.

展示黄金分割的文化价值.

展示黄金分割的典型史料，反映黄金分割的文化价值，以及其在人类历史上的作用和影响.

鼓励学生收集黄金分割有关的资料趣闻，通过展示，使学生感受数学与生活的联系.

介绍一种作黄金分割点的方法，同时进一步巩固学生对黄金分割的认识.

环节三 应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例 计算黄金比.

教师分析： 设线段AB的长度为1，较长的线段AC的长为x，根据黄金分割点的定义，得出AC2＝AB·BC，据此列出方程x2＝1×(1－x)，解方程即可求出黄金比．

展示完整解题过程：

解：由，得AC2＝AB·BC.

设AB＝1，AC＝x，则BC=1－x.

∴  x2=1×（1－x），即：x2＋x－1＝0.

解这个方程，得

.

∴黄金比

明确例题的解法，尝试独立解答，并交流讨论.

通过解决例题让学生体会黄金割的定义，同时综合运用之前学过的方程有关的知识，注意引导学生阅读、理解题意.

环节四 巩固新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.采用如下方法可以得到黄金分割点：

(1)如图，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB，使

(2)连接AD，在AD上截取DE=DB.

(3)在AB上截取AC=AE.点C就是线段AB的黄金分割点.

你能说说其中的道理吗？

2.我们将宽与长的比是黄金比的矩形称为黄金矩形．已知矩形ABCD是黄金矩形且长AB＝10，则宽BC为(    )

1.            B.    

C.        D. 0.618

3.在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2 m，设它的下部的高度应设计为x m，则x满足的关系为(　　)

A．(2－x)∶x＝x∶2 

B．x∶(2－x)＝(2－x)∶2

C．(1－x)∶x＝x∶1           

D．(1－x)∶x＝1∶x

4.已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，若AB＝4cm， 则BC的长为 ____.             

5.我们知道一条线段有两个黄金分割点，那么长度为1 cm的线段的两个黄金分割点之间相距(　　)

A. cm          B.()cm

C.()cm          D.cm

答案：

1.证明：设AB=1，则 

由勾股定理得

∴C是AB的黄金分割点.

2.B

3.A

4.

5.C

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生尝试归纳总结本节所学内容及收获.

回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.

环节六

布置作业

教科书第98页习题4.8第1、3题.

学生课后自主完成.

加深认识，深化提高.