2023年中考考前最后一卷：数学（内蒙古卷）（全解全析）

这是一份2023年中考考前最后一卷：数学（内蒙古卷）（全解全析），共20页。试卷主要包含了选择题，＝﹣＝．等内容，欢迎下载使用。
2023年中考考前最后一卷【内蒙古卷】
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
A
C
C
C
A
D
A
B
A
A
D

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．在实数，，0，﹣1中，最小的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．
【答案】A
【解答】解：∵﹣1＜0＜＜，
∴最小的是﹣1，
故选：A．
2．已知新型冠状病毒的直径约为0.00015毫米，那么用科学记数法可表示为（　　）
A．1.5×10﹣4毫米 B．1.5×104毫米
C．1.5×10﹣5毫米 D．1.5×105毫米
【答案】A
【解答】解：0.00015毫米＝1.5×10﹣4毫米．
故选：A．
3．如图所示的物体由两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：从左面看两个圆柱的左视图都是长方形，再根据两个圆柱的摆列位置可知两个长方形的位置，
故选：C．
4．下列运算正确的是（　　）
A．2x+3y＝5xy B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．5m2•m3＝5m5 D．m2•m3＝m6
【答案】C
【解答】解：A、原式不能合并，故选项错误；
B、原式＝a2﹣2ab+b2，故选项错误；
C、原式＝5m5，故选项正确；
D、原式＝m5，故选项错误．
故选：C．
5．下列说法正确的是（　　）
A．一个游戏的中奖概率是，则做10次这样的游戏一定会中奖
B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式
C．一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8
D．若甲组数据的方差S2甲＝0.01，乙组数据的方差S2乙＝0.1，则乙组数据比甲组数据稳定
【答案】C
【解答】解：A、概率即是在多次重复试验中，比较接近的一个数，所以一个游戏的中奖概率是，则做10次这样的游戏不一定会中奖，故选项错误；
B、容量太大，一般用抽样调查，故选项错误；
C、数据8出现3次，次数最多，所以8是众数；数据从小到大排列为6，7，8，8，8，9，10，所以中位数是8，故选项正确；
D、方差越大，说明这组数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故选项错误．
故选：C．
6．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（3a，b+1），则a与b的数量关系为（　　）

A．3a＝﹣b﹣1 B．3a＝b+1 C．3a+b﹣1＝0 D．3a＝2b
【答案】A
【解答】解：由作图可知：点P在第二象限的角平分线上，
∴3a+b+1＝0，
∴3a＝﹣b﹣1，
故选：A．
7．关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（　　）
A．a＞5 B．a＜5 C．a＞5且a≠7 D．a＜5且a≠3
【答案】D
【解答】解：，
去分母，得1﹣a+2＝x﹣2，
解得x＝5﹣a，
∵关于x的方程的解是正数，
∴5﹣a＞0且5﹣a≠2，
∴a＜5且a≠3．
故选：D．
8．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙A经过点O和点，点C是⊙A优弧上一点，则cosC的值为（　　）

A． B．1 C． D．
【答案】A
【解答】解：设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接BD，如图，
∵∠BOD＝90°，
∴BD为直径，即BD＝4，
∵B（0，2），
∴OB＝2，
在Rt△BOD中，OD＝＝2，
∴cosD＝＝＝，
∵∠D＝∠C，
∴cosC＝．
故选：A．
9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＝0，即kb＝0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＞0，b＞0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＜0，b＜0，即kb＞0，故D不正确．
故选：B．
10．下列命题中，真命题是（　　）
A．若a＞b，则c﹣a＜c﹣b
B．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖
C．点M（x1，y1），点N（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2，则y1＞y2
D．甲、乙两射击运动员分别射击10次，他们射击成绩的方差分别为S＝4，S＝9，这过程中乙发挥比甲更稳定
【答案】A
【解答】解：A、当a＞b，则﹣a＜﹣b，所以c﹣a＜c﹣b，故A选项正确；
B、某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票不一定会中奖，故B选项错误；
C、点M（x1，y1），点N（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，若0＜x1＜x2，则y1＞y2，故C选项错误；
D、甲、乙两射击运动员分别射击10次，他们射击成绩的方差分别为S＝4，S＝9，这过程中甲发挥比乙更稳定，故D选项错误．
故选：A．
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，△ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，
∴BC＝＝25，
∵AB•AC＝BC•AD，
∴AD＝＝12，
则CD＝＝9，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠DCE，
又∵∠CAF＝∠CDE＝90°，
∴△CAF∽△CDE，
∴＝＝＝，
故选：A．
12．如图，点P在函数（k＞0，x＞0）的图象上，过点P作PQ∥x轴，交y轴于点Q，将点P绕线段PQ的中点M逆时针旋转90°得到点P′，点P′恰好落在函数（k＞0，x＞0）的图象上，连结P′M、P′P．若△PMP′的面积等于4，则k的值为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【解答】解：设P（m，）（m＞0），则M（m，），
∴PM＝m，
∵将点P绕线段PQ的中点M逆时针旋转90°得到点P′，
∴P′M⊥PQ，P′M＝PM＝m，
∴P′（m，+m），
∵△PMP′的面积等于4，
∴＝4，
解得m＝4，
∴P′（2，+2），
∵点P′恰好落在函数（k＞0，x＞0）的图象上，
∴2（+2）＝k，
解得k＝16，
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、 填空题（本大题共7个小题，每小题3分，共21分，直接填写答案．）
13．计算：＝　﹣1　．
【答案】﹣1．
【解答】解：原式＝1﹣2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．化简：＝　　．
【解答】解：＝＝＝．
方法二、＝﹣＝．
15．如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为　60　度．
【解答】解：∵扇形的半径是1，弧长是，
∴l＝＝，即＝，
解得：n＝60，
∴此扇形所对的圆心角为：60°．
故答案为：60．
16．某学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数关系式为h＝﹣t2+12t+1．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面 　37　m处打开．
【解答】解：h＝﹣t2+12t+1＝﹣（t﹣6）2+37
∵a＝﹣1＜0，
∴点火升空的最高点距地面37m，
故答案为：37．
17．为了考察甲、乙两种小麦的长势，某农研所科技人员，分别从中随机抽取10株麦苗，测得苗高（单位：cm）如下表：
甲
10
12
12
14
11
13
14
12
11
11
乙
10
11
13
12
12
11
13
14
12
12
则　乙　种小麦的长势比较整齐．（填“甲”或“乙”）
【解答】解：∵＝×（10+12+12+14+11+13+14+12+11+11）＝12，＝×（10+11+13+12+12+11+13+14+12+12）＝12，
∴＝×[（10﹣12）2+3×（11﹣12）2+3×（12﹣12）2+（13﹣12）2+2×（14﹣12）2]＝1.4，
＝×[（10﹣12）2+2×（11﹣12）2+4×（12﹣12）2+2×（13﹣12）2+（14﹣12）2]＝1.2，
∵＞，
∴乙种小麦的长势比较整齐，
故答案为：乙．
18．如图，点E为正方形ABCD的边BC的中点，连接AE，点F、G分别为AB、CD上的点，连接FG，CF，取CG、CF的中点M、N，连接MN，已知正方形的边长为4，若FG⊥AE，则MN的长为 　　．

【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于点H，
∴∠AHG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠D＝90°，
∴∠BAD＝∠D＝∠AHG＝90°，
∴四边形AHGD是矩形，
∴AD＝GH，∠GHF＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD＝4，
∴∠GHF＝∠B＝90°，GH＝AD＝AB，
∵GF⊥AE，
∴∠AOF＝90°，
∴∠AFO+∠OAF＝90°，
∵∠OAF+∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠AFO，
∴△ABE≌△GHF（AAS），
∴FG＝AE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC＝2，
由勾股定理得：AE＝＝2，
∴FG＝AE＝2，
∵CG、CF的中点M、N，
∴MN是△CFG的中位线，
∴MN＝FG＝×＝．
故答案为：．
19．一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地的距离为y1（km），慢车离乙地的距离为y2（km），慢车行驶时间为x（h），两车之间的距离为s（km）．y1，y2与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中a＝3；②当x＝h时，两车相遇；③当x＝时，两车相距60km；④图2中C点坐标为（3，180）；⑤当x＝h或h时，两车相距200km．其中正确的有　①②③④．　（请写出所有正确判断的序号）

【解答】解：∵由S与x之间的函数的图象可知：当位于C点时，两车之间的距离增加变缓，
∴由此可以得到a＝3，故①正确；
设y1＝kx+b，将（0，300）、（3，0）代入，
得：，解得：，
∴y1＝﹣100x+300，
设y2＝mx，
将点（5，300）代入，得：5m＝300，
解得：m＝60，
∴慢车离乙地的距离y2解析式为：y2＝60x；
∴当y1＝y2时，两车相遇，
可得：﹣100x+300＝60x，
解得：x＝h，故②正确；
分两种情况考虑，相遇前两车相距60km，
﹣100x+300﹣60x＝60，解得，h，
相遇后两车相距60km，
60x﹣（﹣100x+300）＝60，解得，h，
∴当x＝h时，两车相距60km，故③正确；
快车每小时行驶＝100千米，慢车每小时行驶60千米，两地之间的距离为300千米，
∴b＝300÷（100+60）＝，
由函数的图象可以得到C的点的横坐标为3，即快车到达乙地，此时慢车所走的路程为3×60＝180千米，
∴C点坐标为（3，180），故④正确；
分两种情况考虑，相遇前两车相距200km，
﹣100x+300﹣60x＝200，解得，h，
相遇后两车相距200km，
∵C（3，180），
∴相遇后两车相距200km，快车已到达，
∴x＝＝h
故⑤不正确．
故答案为：①②③④．
三、 解答题（本大题共个6小题，共63分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
20．某校决定在4月3日开展“世界读书日”宣传活动，活动有：A．校园板报、B．讲比赛、C．读书沙龙、D．图书赠阅四种宣传方式．学校围绕“你最喜欢的宣传方式是什么？”，在全校学生中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整的统计图表：
选项
方式
百分比
A
校园板报
35%
B
演讲比赛
30%
C
读书沙龙
m
D
图书赠阅
10%
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次抽查的学生共　300　人，并将条形统计图补充完整；
（2）若该校学生有2000人，请你估计该校喜欢“读书沙龙”这项宣传方式的学生约有多少人？
（3）学校采用抽签方式让每班在A、B、C、D四种宣传方式中随机抽取两种进行展示，请用画树状图或列表法求某班所抽到的两种方式恰好是“演讲比赛”和“图书赠阅”的概率．

【解答】解：（1）105÷35%＝300，
所以次抽查的学生共300人，
m＝300﹣105﹣90﹣30＝75，
条形统计图为：

故答案为300；
（2）2000×＝500，
所以估计该校喜欢“读书沙龙”这项宣传方式的学生约有500人；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽到B、D的结果数为2，
某班所抽到的两种方式恰好是“演讲比赛”和“图书赠阅”的概率＝＝．
21．如图，数学实习小组在高500米的山腰（即PH＝500米）P处进行测量，测得对面山坡上，A处的俯角为30°，对面山脚B处的俯角60°．已知tan∠ABC＝，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上，且PH⊥HC．
（1）求∠ABP的度数；
（2）求A，B两点间的距离．

【解答】解：（1）∵tan∠ABC＝，
∴∠ABC＝30°；
∵从P点望山脚B处的俯角60°，
∴∠PBH＝60°，
∴∠ABP＝180°﹣30°﹣60°＝90°

（2）由题意得：∠PBH＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝90°
∴△PAB为直角三角形，
在直角△PHB中，PB＝PH÷sin∠PBH＝（m）．
在直角△PBA中，AB＝PB•tan∠BPA＝（m）．
∴A、B两点之间的距离为米．
22．某公司开发出一种高科技电子节能产品．投资2500万一次性购买整套生产设备，此外生产每件产品需成本20元，每年还需投入500万元广告费，该商品的年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若该公司第一年即可盈利，那么该商品的售价应为多少时，第一年可盈利最大，此时最大利润是多少？
（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大时，第二年公司重新确定产品定价，能否使两年共盈利3500万元？若能，求第二年产品售价；若不能，说明理由．

【解答】解：（1）当30≤x≤70时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，得，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+150（30≤x≤70）；
（2）设该公司的利润为w元，
w＝（x﹣20）（﹣x+150）﹣2500﹣500＝﹣（x﹣85）2+1225，
∵30≤x≤70，
∴x＝70时，w取得最大值，此时w＝1000，
答：公司第一年即可盈利，那么该商品的售价为70元/件时，第一年可盈利最大，此时最大利润是1000万元；
（3）在第一年盈利最大时，第二年公司重新确定产品定价，能使两年共盈利3500万元，
设第二年产品售价为a元，
1000+（a﹣20）（﹣a+150）﹣500＝3500，
解得，a1＝50，a2＝120（舍去），
答：第二年产品的售价定为50元．
23．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．
（1）求证：BE＝CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC＝8，AD＝10，求CD的长．

【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE；
（2）四边形BFCD是菱形．
证明：∵AD是直径，AB＝AC，
∴AD⊥BC，BE＝CE，
∵CF∥BD，
∴∠FCE＝∠DBE，
在△BED和△CEF中，
，
∴△BED≌△CEF（ASA），
∴CF＝BD，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD，
∴四边形BFCD是菱形；
（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE＝CE，
∵∠AEC＝∠CED，∠CAE＝∠ECD，
∴△AEC∽△CED，
∴＝，
∴CE2＝DE•AE，
设DE＝x，
∵BC＝8，AD＝10，
∴42＝x（10﹣x），
解得：x＝2或x＝8（舍去）
在Rt△CED中，
CD＝＝＝2．
24．已知正方形ABCD，动点P在AB上运动，过点B作BE⊥射线DP于点E，连接AE．
（1）如图1，在DE上取一点F，使DF＝BE，连接AF，求证：AE＝AF；
（2）如图2，点P在AB延长线上，求证：BE+DE＝AE；
（3）如图3，若把正方形ABCD改为矩形ABCD，且＝，其他条件不变，请猜想DE，BE和AE的数量关系，直接写出结论，不必证明．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠ADF+∠APD＝90°，
∵∠APD＝∠BPE，
∴∠ADF+∠BPE＝90°，
∵BE⊥DP，
∴∠BEP＝90°，
∴∠ABE+∠BPE＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF，
∵DF＝BE，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF；

（2）证明：如图2，
过点A作AG⊥AE交PD的延长线于G，
∴∠EAG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵BE⊥DP，
∴∠BED＝90°，
∴∠AEB+∠ADP＝180°，
∵∠ADG+∠ADP＝180°，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△ABE≌△ADG（ASA），
∴BE＝DG，AE＝AG，
∴EG＝AE，
∵EG＝DE+DG＝DE+BE，
∴BE+DE＝AE；

（3）解：DE＝AE+2BE；
证明：如图3，
过点A作AH⊥AE交DP于H，
∴∠EAH＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°＝∠EAH，
∴∠BAE＝∠DAH，
同（1）的方法得，∠ABE＝∠ADH，
∴△ABE∽△ADH，
∴＝＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∵，
∴＝，
∴AH＝2AE，DH＝2BE，
在Rt△EAH中，根据勾股定理得，AE2+AH2＝EH2，
∴AE2+（2AE）2＝EH2，
∴EH＝AE，
∴DE＝EH+DH＝AE+2BE．


25．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，抛物线y＝ax2﹣x+c经过A、B、C三点，且OA＝1，OB＝3．
（1）求该抛物线的解析式及点C坐标；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵OA＝1，OB＝3，
∴A（1，0）、B（0，3），
将点A，B坐标代入抛物线的解析式y＝ax2﹣x+c，得，
解得：a＝﹣，c＝3，
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+3，
令y＝0，即﹣x2﹣x+3＝0，解得x＝﹣4或x＝1，
∴C（﹣4，0）．
（2）在抛物线上存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积，理由为：
设点P的坐标为P（m，n），
∵S△ACB＝×5×3＝，S△ACP＝×5×|n|，
∴×5×|n|＝，n＝±3．
∴当n＝3时，﹣m2﹣m+3＝3，解得m1＝0，x2＝﹣3，即P（﹣3，3）或（0，3）．
当n＝﹣3时，﹣m2﹣m+3＝﹣3，解得m1＝，m2＝，即P 2（，﹣3），P3（，﹣3）
综上所述：P的坐标为（﹣3，3）或（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3）
（3）在平面直角坐标系xOy中存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形，理由为：
∵OB＝3，OC＝4，OA＝1，
∴BC＝AC＝5，
当BQ平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BQ＝AC＝BC＝5，
∵BQ∥AC，
∴点Q到x轴的距离等于OB＝3，
∴点Q的坐标为（5，3），
当点Q在第二、三象限时，以点A、B、C、Q为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点Q的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形．