数学（广州卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析）

这是一份数学（广州卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年中考考前最后一卷【广州卷】
数学·全解全析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．广州作为“志愿之城”，截至2021年底，全市实名注册志愿者人数达4261700人，将4261700用科学记数法表示应为（　　）
A．426.17×104 B．42.617×105
C．4.2617×106 D．0.42617×107
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：4261700＝4.2617×106．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
2．中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．​
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的概念和各图的特点求解．
【解答】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．若式子x+2x-1有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣2且x≠1 B．x≠1 C．x＞1 D．x≥﹣2
【答案】A
【分析】直接利用二次根式中被开方数的取值范围，二次根式中的被开方数是非负数，再结合分式的分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：式子x+2x-1有意义，则x+2≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥﹣2且x≠1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关有意义的条件是解题关键．
4．如图，该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是三个相连接的同长不同宽的矩形，其中上下两个矩形的宽相同且比较小，故选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且是存在的线是虚线．
5．某学校八年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（　　）
A．4，4 B．4，5 C．5，4 D．5，5
【答案】B
【分析】根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．
【解答】解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，
这组数据的中位数为4；众数为5．
故选：B．
【点评】本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义．
6．如图，水平放置的圆柱形输油管道的截面半径是1m，油面宽为1m，则截面上有油部分的面积为（　　）

A．2π-3312m2 B．2π-312m2 C．4π-3312m2 D．4π-312m2
【答案】A
【分析】连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据题意得出△OAB为等边三角形，利用三角函数得出DO=32m，结合图形得出S扇形OAB=16πm2，S△OAB=34m2，两个面积作差即可得出结果．
【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，

∵OB＝OA＝OC＝1m，AB＝1m，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOD＝30°，DO＝AO•cos30°=32（m），
∵S扇形△OAB=60360π×12=16π（m2）；
S△OAB=12×123×1=34（m）2，
∴S有油部分=16π-34=2π-3312(m2)．
故选：A．

【点评】本题主要考查垂径定理的应用，理解题意，作出图形，综合运用这些知识点是解题关键．
7．如图，已知在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A（0，3），B（3，0），∠ABC＝90°．函数y=4x（x＞0）的图象经过点C，则AC的长为（　　）

A．32 B．25 C．26 D．26
【答案】B
【分析】根据A、B的坐标分别是（0，3）、（3、0）可知OA＝OB＝3，进而可求出AB2，通过作垂线构造等腰直角三角形，求得BC2＝2CD2，设CD＝BD＝m，则C（3+m，m），代入y=4x，求得m的值，即可求得BC2，根据勾股定理即可求出AC的长．
【解答】解：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
∵A、B的坐标分别是（0，3）、（3、0），
∴OA＝OB＝3，
在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2＝18，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，
∴CD＝BD，
设CD＝BD＝m，
∴C（3+m，m），
∵函数y=4x（x＞0）的图象经过点C，
∴m（3+m）＝4，
解得m＝1或﹣4（负数舍去），
∴CD＝BD＝1，
∴BC2＝2，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴AC=18+2=25
故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形性质，恰当的将线段的长与坐标互相转化，使问题得以解决是关键．
8．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝（　　）

A．43 B．32 C．1 D．32
【答案】D
【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠ADC＝∠ABC，再利用正切的定义得到tan∠ABC=32，从而得到tan∠ADC的值．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=ACBC=32，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴tan∠ADC=32．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
9．如图，正方形ABCD的面积为12，点E在边CD上，且CE＝2，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（　　）

A．6-2 B．6-22 C．23-2 D．3-1
【答案】A
【分析】连接EF，由正方形ABCD的面积为12，CE＝2，可得DE23-2，利用三角函数得∠EBC＝30°，又AF平分∠ABE，可得∠ABF=12∠ABE＝30°，故AF＝2，DF＝AD﹣AF＝23-2，可知EF=2DE=2×（23-2）＝26-22，而M，N分别是BE，BF的中点，即得MN的长．
【解答】解：连接EF，如图：

∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝23，
∵CE＝2，
∴DE＝23-2，tan∠EBC=CEBC=223=33，
∴∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，
∵AF平分∠ABE，
∴∠ABF=12∠ABE＝30°，
在Rt△ABF中，AF=33AB＝2，
∴DF＝AD﹣AF＝23-2，
∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，
∴EF=2DE=2×（23-2）＝26-22，
∵M，N分别是BE，BF的中点，
∴MN是△BEF的中位线，
∴MN=12EF=26-222=6-2．
故选：A．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及含30°角的直角三角形三边关系，等腰直角三角形三边关系，解题的关键是根据已知求得∠EBC＝30°．
10．下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（　　）

A．69 B．73 C．77 D．83
【答案】B
【分析】本题的图形规律可以两部分来看，
（1）观察最下面一行变化规律列出代数式；
（2）观察剩余上面部分的规律并列出代数式；
综上将两部分的代数式加在一起就能得出最终结果．
【解答】解：图①中三角形的个数为5＝2×1+1+2；
图②中三角形的个数为10＝2×2+1+2+3；
图③中三角形的个数为16＝2×3+1+2+3+4；
.....．
图⑨中三角形的个数为：
2×9+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝73．
故选：B．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出每次变化增加个数的规律，列出代数式．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）
11．分解因式：（x﹣y）2+16（y﹣x）＝　（x﹣y）（x﹣y﹣16）　．
【答案】（x﹣y）（x﹣y﹣16）．
【分析】直接提取公因式（x﹣y），进而分解因式得出答案．
【解答】解：（x﹣y）2+16（y﹣x）
＝（x﹣y）2﹣16（x﹣y）
＝（x﹣y）（x﹣y﹣16）．
故答案为：（x﹣y）（x﹣y﹣16）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．分式3-x2-x的值比分式1x-2的值大3，则x的值为 　1　．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意列出分式方程，求出分式方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：3-x2-x-1x-2=3，
去分母得：x﹣3﹣1＝3x﹣6，
移项合并得：﹣2x＝﹣2，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
故答案为：1．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13．为了解北京市2023年3月气温的变化情况，小云收集了该月每日的最高气温，并绘制成如图的统计图．若记该月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为s12，中旬（11日至20日）的最高气温的方差为s22，下旬（21日至31日）的最高气温的方差为s32，则s12，s22，s32的大小关系为 　s22＜s32＜s12　（用“＜”号连接）．

【答案】s22＜s32＜s12．
【分析】根据折线图的气温波动大小即可判断方差的大小．
【解答】解：根据折线图可以看出，1日﹣10日气温在7°C至27.5°C徘徊；11日至20日气温在10°C至20°C徘徊；21日至31日气温在11°C至25°C徘徊，
所以1日﹣10日气温气温波动最大，11日至20日气温波动最小，21日至31日气温波动在上旬和中旬之间，
所以s22＜s32＜s12．
故答案为：s22＜s32＜s12．
【点评】本题考查了折线图和方差，根据折线图来判断方差的大小是关键．
14．如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE相切于点A、C，则劣弧AC的长度为　4π5　．

【答案】见试题解答内容
【分析】连接OA、OC，如图，根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．
【解答】解：连接OA、OC，如图．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠D=(5-2)×180°5=108°．
∵AE、CD与⊙O相切，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
∴AC的长为144×π×1180=4π5．
故答案为4π5．

【点评】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、圆弧长公式等知识，求出圆弧所对应的圆心角是解决本题的关键．
15．如图，正方形ABCD的边长为8，线段CE绕着点C逆时针方向旋转，且CE＝3，连接BE，以BE为边作正方形BEFG，M为AB边的中点，当线段FM的长最小时，tan∠ECB＝　13　．

【答案】13．
【分析】连接BF，BD，过点M作MN⊥BD于N，连接DM，通过证明△BEC∽△BFD，可求DF=2EC＝32，在△MFD中，MF≥DM﹣DF，则当点F在MD上时，MF有最小值，分别求出MN，DN，即可求解．
【解答】解：如图，连接BF，BD，过点M作MN⊥BD于N，连接DM，

∵四边形ABCD，四边形BEFG都是正方形，
∴BD=2BC＝82，BF=2BE，∠DBC＝∠ABD＝∠FBE＝45°，
∴∠DBF＝∠CBE，BFBE=BDBC=2，
∴△BEC∽△BFD，
∴DFEC=BDBC=2，∠ECB＝∠FDB，
∴DF=2EC＝32，
在△MFD中，MF≥DM﹣DF，
∴当点F在MD上时，MF有最小值，
∵M为AB边的中点，
∴MB＝4，
∵∠ABD＝45°，MN⊥BD，
∴MN＝BN=22BM＝22，
∴DN＝62，
∴tan∠ECB＝tan∠MDB=MNDN=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等知识，证明△BEC∽△BFD是解题的关键．
16．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，a）关于x轴的对称点为B（b，4），则a+b的值是 　﹣1　．
【答案】﹣1．
【分析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出a，b的值，即可得出答案．
【解答】解：∵点A（3，a）关于x轴的对称点为B（b，4），
∴b＝3，a＝﹣4，
∴a+b＝3﹣4＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解不等式：3+x2-1＜4x+36．
【答案】x＞0．
【分析】根据解不等式的一般步骤解答即可，解答的一般步骤为：去分母，去括号，移项及合并同类项，系数化为1．
【解答】解：3+x2-1＜4x+36，
去分母得：3（3+x）﹣6＜4x+3，
去括号得：9+3x﹣6＜4x+3，
移项合并得：﹣x＜0，
系数化为1得：x＞0．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
18．如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E＝∠ABC．求证：AC＝DF．

【答案】见解答．
【分析】由AD＝BE知AB＝ED，结合∠A＝∠EDF，∠E＝∠ABC，依据“ASA”可判定△ABC≌△DEF，依据两三角形全等对应边相等可得AC＝DF．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝ED，
在△ABC和△DEF中，
∠ABC=∠EAB=ED∠A=∠EDF，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC＝DF．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．已知M=(a-1a)+a-1a．
（1）化简M；
（2）如图，在菱形ABCD中，AB＝a（a＞0），对角线BD＝2，若△ABD的周长为25，求M的值．

【答案】（1）a2+a-2a；
（2）5-12．
【分析】（1）先算括号里，再算括号外，即可解答；
（2）根据菱形的性质可得AB＝AD＝a，再根据△ABD的周长为25，从而求出a的值，然后利用（1）的结论进行计算即可解答．
【解答】解：（1）M＝（a-1a）+a-1a
=a2-1a+a-1a
=a2+a-2a；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝a，
∵△ABD的周长为25，BD＝2，
∴AB+AD＝25-2，
∴AB＝AD=5-1，
∴a=5-1，
∴当a=5-1时，
M=(5-1)2+5-1-25-1
=5-12．
【点评】本题考查了分式的化简求值，菱形的性质，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20．新冠肺炎期间，各地积极抗疫，建起了方舱医院，如图，某方舱医院内一张长200cm，高50cm的病床靠墙摆放，在上方安装空调，高度CE＝250cm，下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与FE夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了病人不受空调风干扰，不能直接吹到病床上，请问空调安装的高度足够吗？为什么？（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）

【答案】见试题解答内容
【分析】延长FG交直线AD于点H，过F作FO⊥AD于点O，在Rt△FHO中，利用正切函数的定义求出HO，与200cm进行比较即可．
【解答】解：空调安装的高度足够．理由如下：
如图，延长FG交直线AD于点H，过F作FO⊥AD于点O，
则FO＝ED＝250﹣50＝200（cm），AO＝200﹣20＝180（cm），∠HFO＝136°﹣90°＝46°．
∵在Rt△FHO中，tan46°=HOFO，
∴HO＝FO×tan46°≈200×1.04＝208＞180，
∴HO＞AO，
∴空调安装的高度足够．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，三角函数的定义，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．2022年10月12日我校推出四种校本课程：A．激光切割，B．数学游戏，C．击剑，D．Python趣味编程，学生可在长沙市中小学课后服务系统选择自己心仪的选修课程．为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有 　200　人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在平时的“Python趣味编程”的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加Python趣味编程大赛，用树状图或列表法求出恰好同时选中甲、乙两位同学的概率．

【答案】（1）200；
（2）见解答；
（3）16．
【分析】（1）用选修B课程的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）先计算出选修C课程的人数，然后补全条形统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出同时选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）这次被调查的学生总人数为80÷40%＝200（人）；
故答案为：200；
（2）选修C课程的人数为200﹣20﹣80﹣40＝60（人），
条形统计图补充为：

（3）画树状图：

共有12种等可能的结果，其中同时选中甲、乙两位同学的结果数为2，
所以恰好同时选中甲、乙两位同学的概率=212=16．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
22．如图，在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°．
（1）尺规作图：过点C作CD⊥AC交AB于点D．再过A、D、C三点作⊙O（保留痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：BC是过A、D、C三点的圆的切线．

【答案】（1）作图见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）先过C点作CD⊥AC交AB于点D，再作AD的垂直平分线得到AD的中点O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆；
（2）连接OC，如图，先利用三角形内角和定理计算出∠ACB＝120°，再利用等腰三角形的性质得到∠OCA＝30°，所以∠OCB＝90°，则OC⊥BC，然后根据切线的判定方法可判断BC为⊙O的切线．
【解答】（1）解：如图，先CD⊥AC交AB于点D，再作AD的垂直平分线交AD于点O，接着以O点为圆心，OA为半径作圆，
则CD和⊙O为所作；

（2）证明：连接OC，如图，
∵∠A＝∠B＝30°，
∴∠ACB＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∴∠OCB＝∠ACB﹣∠OCA＝90°，
∴OC⊥BC，
∵OC为⊙O的半径，
∴BC为⊙O的切线，
即BC是过A、D、C三点的圆的切线．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和切线的判定．
23．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，根据用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；
（2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；
②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．
【解答】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得：
3120x=4200x+9，
解得x＝26，
经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，
∴x+9＝26+9＝35，
答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对．
（2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470，
答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470．
②∵a＝﹣2＜0，
∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x=-b2a=17，
物价部门规定其销售单价不高于每对65元，
∴x+50≤65，
∴x≤15，
∵x＜17时，y随x的增大而增大，
∴当x＝15时，y最大＝2040．
15+50＝65．
答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．
【点评】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．由于前后步骤有联系，第一问解对，后面才能做对．本题还需要根据问题的实际意义来确定销售单价的取值，本题中等难度．
24．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝22DC，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为210，并求此时点M，N的坐标．
【答案】（Ⅰ）（1，﹣2）；（Ⅱ）y=12x2﹣x﹣1或y=32x2﹣3x﹣1；（Ⅲ）点M的坐标为（-76，0）、点N的坐标为（116，﹣1）．
【分析】（Ⅰ）由y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，即可求解；
（Ⅱ）由DE＝22DC得：DE2＝8CD2，则（1﹣0）2+（a+1+a+1）2＝8[（1﹣0）2+（﹣a﹣1+1）2]，即可求解；
（Ⅲ）当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，进而求解．
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），则c＝﹣1，
（Ⅰ）当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
故抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）；

（Ⅱ）∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，
故点D（1，﹣a﹣1），
由DE＝22DC得：DE2＝8CD2，
即（1﹣0）2+（a+1+a+1）2＝8[（1﹣0）2+（﹣a﹣1+1）2]，
解得a=12或32，
故抛物线的表达式为y=12x2﹣x﹣1或y=32x2﹣3x﹣1；

（Ⅲ）将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′（﹣2，﹣a），
作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为（0，a﹣1），

当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，理由：
∵FM+ND＝F′M+D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝210，
则F′D′2＝F′H2+D′H2＝（1﹣2a）2+4＝（210）2，
解得a=72（舍去）或-52，
则点D′、F′的坐标分别为（﹣2，52）、（0，-72），
由点D′、F′的坐标得，直线D′F′的表达式为y＝﹣3x-72，
当y＝0时，y＝﹣3x-72=0，解得x=-76=m，
则m+3=116，
即点M的坐标为（-76，0）、点N的坐标为（116，﹣1）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
25．如图1．已知正方形ABCD中，BD为对角线，边长为3．E为边CD上一点，过E点作EF⊥BD于F点，EF=2
（1）如图1．连结CF，求线段CF的长；
（2）保持△DEF不动，将正方形ABCD绕D点旋转至如图2的位置，连结BE，M点为BE的中点，连接MC、MF，探求MC与MF关系，并证明你的结论；
（3）保持△DEF不动，将正方形ABCD绕D点旋转一周，求出BE的中点M在这个过程中的运动路径长及MC的最小值．

【答案】（1）5；
（2）MC＝MF且MC⊥MF；
（3）M的运动路径长为32π，MC的最小值为322-1．
【分析】（1）如图1，作CO⊥BD于O，连接CF，由正方形的性质可得BD＝32，CO=322，DF＝EF=2，根据OF＝DO﹣DF求出OF的值，在Rt△COF中，根据股定理计算CF的值即可；
（2）如图2，连接BD，AF，由正方形的性质可得，∠BDA＝∠EDF＝45°，证△ADF∽△BDE，证明△ACF∽△BCM，过M作MG⊥CF于点G，令MC=2a 则CF＝2a，在RtACMG中，CG＝a，MG＝a，可得GF＝CF﹣CG＝a，在Rt△MGF中，由股定理得MF＝MC，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理可证MC⊥MF，进而结论得证；
（3）如图3，找线段DE中点记为N，连接MN，BD，可得MN是△BDE的中位线，N为定点，MN为定长，M在以N为圆心，以MN的长为半径的圆上运动，根据M运动轨迹的路径长即为圆N的周长计算求解即可，由（2）可知CF=2MC，CF最小时，MC最小，由题意知点C在以D为圆心，线段CD的长为半径的圆D上运动，如图4，连接CF，延长DF交圆D点C1，根据三角形三边关系可得在△CDF中，CD﹣DF＞CF，当C运动到C1位置时，有C1D﹣DF＝C1F，则CD﹣DF≥CF，求出CF最小时为C1F的值，然后求出最小的MC值即可．
【解答】解：（1）如图1，作CO⊥BD于点O，连接CF，

在正方形ABCD中，BD为对角线，边长为3，
∴∠BCD＝90°，∠BCD＝∠BDC＝45°，BC＝3，
∴BD=2BC＝32，
∴CO＝BO＝DO=12BD=322，DF＝EF=2，
∴OF＝DO﹣DF=22，
∴CF=CO2+OF2=(322)2+(22)2=5，
∴线段CF的长为5；
（2）MC与MF关系为MC＝MF，MC⊥MF，
证明如下：如图2，连接BD，AF，

由正方形的性质可得，∠BDA＝∠EDF＝45°，FDED=cos45°=ADBD，
∵∠BDA＝∠BDF+∠FDA，∠EDF＝∠EDB+∠BDF，
∴∠FDA＝∠EDB，
∴△ADF∽△BDE，
∴∠DAF＝∠DBE，AEBE=12，
∵M是BE中点，
∴BE＝2BM，
∴AEBE=AF2BM=12，
∴AFBM=2，
如图2，连接AC，CF，
由正方形的性质可得，∠DAC＝∠DBC＝45°，DBBC=2，
∵∠DAC＝∠DAF+∠FAC，∠DBC＝∠DBM+∠MBC，∠DAF＝∠DBE，
∴∠FAC＝∠MBC，
∵ACBC=2=AFBM，
∴△ACF∽△BCM，
∴∠ACF＝∠BCM，CFCM=2，
∵∠BCA＝45°＝∠BCM+∠MCA，
∴∠ACF+∠MCA＝∠MCF＝45°，
如图2，过M作MG⊥CF于点G，令MC=2a，则CF＝2a，
在Rt△CMG中，CG＝MC•cos45°＝a，MG＝MC•sin45°＝a，
∴GF＝CF﹣CG＝a，
在Rt△MGF中，由勾股定理得MF=MG2+GF2=2a＝MC，
∴∠MFC＝∠MCF＝45°，
∴∠CMF＝180°﹣∠MFC﹣∠MCF＝90°，
∴MC⊥MF，
∴MC与MF的关系为MC＝MF，MC⊥MF；
（3）如图（3），取线段DE中点记为N，连接MN，BD，

∴MN是△BDE的中位线，
∴MN=12BD=322，目MN∥BD，
∴N为定点，MN为定长，
∴M在以N为圆心，以MN的长为半径的圆上运动．
∴M运动轨迹的路径长即为圆N的周长＝2π×322=32π，
由（2）可知，CF=2MC，
∴CF最小时，MC最小，
由题意知点C在以D为圆心，线段CD的长为半径的圆D上运动，如图（4），连接CF，延长DF交圆D于点C1，

在△CDF中，CD﹣DF＞CF，
当C运动到C1位置时，有C1D﹣DF＝C1F，
∴CD﹣DF≥CF，
∴CF最小时为C1F，且C1F＝3-2，
∴最小的MC的值为：MC=C1F2=3-22=322-1，
∴中点M在这个过程中的运动路径长为32π，MC的最小值为322-1．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，中位线，圆的定义，勾股定理等知识，解题的关键在于对知识的灵活综合运用．
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