2023年中考考前最后一卷：数学（河北卷）（全解全析）

这是一份2023年中考考前最后一卷：数学（河北卷）（全解全析），共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年中考考前最后一卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
A
A
B
B
C
B
D
C
A
11
12
13
14
15
16




B
C
B
D
D
C




一、选择题（本大题共16小题，1-10小题每题3分，11-16小题每题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. a2+3·a2的计算结果是（ ）
A. a12 B. a10 C. a8 D.a7 【答案】D
【分析】同底的幂进行计算，幂相加，以此规则进行计算即可。
【详解】 a2+3·a2=a5·a2=a7
故选D．
【点睛】本题考查了幂的计算，同底相乘，幂相加。
2.三角形的三条中线的交点是（ ）
A. 重心 B. 中心 C. 内心 D.垂心
【答案】A
【分析】根据三角形重心的定义进行计算即可。
【详解】三角形的三条中线的交点是重心，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形重心的基本概念，三角形的三条中线的交点是重心，三边垂直平分线的交点是外心，三条内角平分线的交点为内心，三角形三条高线的交点为垂心。
3.2023年4月6日，石家庄举办了河北省首届城市马拉松比赛，马拉松全程为42.195公里，换算成以米为单位，用科学计数法可表示为（ ）
A.4.2×104米 B. 4.2×105米
C.4.2×106米 D.4.2×103米
【答案】A
【分析】根据科学计算法的规则进行计算即可。
【详解】42.195公里等于42195米，即4.2×104米。
故选A．
【点睛】本题考查了科学计数法的规则，熟练掌握位数变化是关键。
4.-2×（-8）-12的运算结果是（ ）
A. 16 B. 4 C. -28 D.-4
【答案】B
【分析】根据有理数计算规则计算即可。
【详解】-2×（-8）-12=16-12=4.
故选B．
【点睛】本题考查了有理数的计算，注意“负负得正”的计算规则。
5.化简结果是42的选项是（ ）
A. 24 B. 32 C. 48 D.24
【答案】B
【分析】根据无理数计算规则计算即可。
【详解】42=4×4×2=32.
故选B．
【点睛】本题考查了无理数的计算，关键是熟练掌握运算规律。
6.如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=70°，则∠3=（　　）
​
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
【答案】C
【分析】利用平行线的性质、直角的定义、三角形外角的性质即可解决问题．
【详解】∵△BCD中，∠1=50°，∠2=60°，
∴∠4=180°-∠1-∠2=180°-50°-60°=70°，
∴∠5=∠4=70°，
∵a∥b，
∴∠3=∠5=70°．
故选C．

【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角。
7.在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有 (　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可。，
【详解】在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有“中”“日”“品”3个.故答案为B.
【点睛】本题考查了轴对称图形的判断，注意与中心对称图形的区别。
8.《九章算术》第七卷有记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”意思是：“今有人合伙购物，每人出8钱的话，会多出3钱；若每人出7钱，则差4钱。问人数、物价各多少？”根据所学知识，人数和物价分别是 （ ）
A. 1,11 B.2,25 C.5,42 D.7,53
【答案】D
【分析】可设人数为x，分别表达两种购物方案得出总价，即可得到一元一次方程，求解即可。
【详解】设人数为x.
由题意8x-3=7x+4，解得x=7.
则物价为8x-3=8×7-3=53.故选D。
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是列出等量关系式。
9.在学校举行庆祝二十大演讲比赛中，七位评委给某同学的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0（单位：分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（　　）
A．9.0，8.9 B．8.9，8.9 C．9.0，9.0 D．8.9，9.0
【答案】C
【分析】根据平均数的计算方法对这组数先求和再除以5即可，众数即出现次数最多的数，便可选出正确答案．
【详解】＝＝9.0,
该组数众数为：9.0，
∴这五个有效评分的平均数和众数分别为9.0，9.0，
故选：C．
【点睛】本题考查了平均数及众数的计算。
10.如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，

则这圈金属丝的周长最小为的长度
圆柱底面的周长为，圆柱高为
，


这圈金属丝的周长最小为
故选：A
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
11.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点．若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【分析】连接BD构建三角形中位线，即可解题。
【详解】解：连接BD．

∵E、F分别是AB、AD的中点．
∴BD=2EF=4
∵BC=5，CD=3
∴△BCD是直角三角形．
∴tanC==
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，准确划出辅助线是解题关键。
12.已知点M（1-2m,m-1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上的表示是（ ）

【答案】C
【分析】有题目可知，点M位于第四象限，即1-2m＞0，m-1＜0.构建了不等式组，求解即可。
【详解】有题目可得1-2m＞0，m-1＜0，解得0.5＜m＜1，故选C。
【点睛】考查了一元一次不等式求解和解集在数轴上的表示，注意空心点和实点的区别。
13.已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【答案】B
【分析】
【详解】∵点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，
∴，，，
∵﹣2＜3＜6，
∴y3＜y2＜y1，
故选：B．
【点睛】
14.如图，把 Rt△ABC 放在平面直角坐标系中，点 B1,1，C5,1，∠ABC=90∘，AC=42．将 △ABC 沿 y 轴向下平移，当点 A 落在直线 y=47x−2 上时，线段 AC 扫过的面积为   

A． 107 B． 407 C． 1527 D． 1807
【答案】D
【分析】由A点坐标得出三角形平移的距离，线段AC扫过的区域是平行四边形，利用平行四边形面积公式即可求解。
【详解】 AC=42，BC=4，在 Rt△ABC 中，AB=4，
∴A1,5，Aʹ 为 A 在 y=47x−2 上交点 Aʹ1,−107，
∴AAʹ=107+5，
∴AC 扫过面积为 AAʹ⋅BC=4×107+5=1807．
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数与三角形的结合。
15.如图,菱形OABC的顶点 C 的坐标为 (3,4) ,顶点 A 在 x 轴的正半轴上.反比例函数 y=kx(x>0) 的图象经过顶点B，则k的值为（　　）

A．12 B．16 C．20 D．32
【答案】D
【分析】如图，过点C作CD⊥OA，由C的坐标为（3，4）可知：OD=3，CD=4，可得B点纵坐标为4，再由勾股定理求得OC=5，结合菱形性质可得BC=5，进而求得B点横坐标为8，根据点B在反比例函数图象上，即可求得k值.
【详解】如图，过点C作CD⊥OA，

∵点C的坐标为（3，4），
∴OD=3，CD=4，
∴B点的纵坐标为4，
∴在直角三角形CDO中，由勾股定理得：OC=32+42=5，
∵菱形OABC ，
∴OC=BC=5，BC∥OA，
∴B点的横坐标为8，
∴B点坐标为（8，4），
∴k=8×4=32.
故答案为：D.
【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义。
16. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2对称……如此作下去，则△B2nA2n＋1B2n＋1(n是正整数)的顶点A2n＋1的坐标是(　　)

A．(4n－1，) B．(2n－1，)
C．(4n＋1，) D．(2n＋1，)
【答案】C
【分析】根据坐标系内对称对称坐标的转化规律计算即可。
【详解】A1(1，)，A2(3，－)，A3(5，)，A4(7，－)，…，
∴点An的坐标为
∵2n＋1是奇数，∴点A2n＋1的坐标是(4n＋1，)．
故答案为C.
【点睛】本题考查了坐标系内的点对称，注意坐标的转化规律。

第Ⅱ卷（非选择题 共78分）
二、 填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分，直接填写答案．）
17.下表是石家庄某校七﹣九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同，但表格中九年级的两个数据被遮盖了，记得九年级文艺小组活动次数与科技小组活动次数相同．
年级
课外小组活动总时间（单位：h）
文艺小组活动次数
科技小组活动次数
七年级
17
6
8
八年级
14.5
5
7
九年级
12.5


则九年级科技小组活动的次数是　 　．
【答案】 5
【分析】可设每次文艺小组活动时间为xh，每次科技小组活动的时间为yh，依据表格列出两元一次方程组，然后再计算九年级科技小组活动次数。
【详解】设每次文艺小组活动时间为xh，每次科技小组活动的时间为yh．九年级科技小组活动的次数是m次．
由题意，
解得，
1.5m+m＝12.5，
解得m＝5
故答案为5．
【点睛】本题考查了统计相关的二元一次方程组应用题，关键是依据题意列出方程组。
18.如图，平面直角坐标系中放着 5 个边长为单位 1 的小正方形，经过原点 O 的直线恰好将 5 个正方形分成面积相等的两部分，则直线 l 的表达式为 ．

【答案】y=47x
【分析】利用原点构建矩形，通过小正方形建立等量关系，求出直线上点的坐标。
【详解】设直线 l 和五个正方形的最上面交点为 A，过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，如图所示．
∵ 正方形的边长为 1，∴OB=2．
∵ 经过原点的一条直线 l 将这五个正方形分成面积相等的两部分，
∴ 两边分别是 2.5， ∴ 三角形 ABO 面积是 3.5，∴12OB⋅AB=3.5，
∴AB=3.5， ∴OC=3.5， ∴ 点 A 的坐标为 3.5,2．
设直线 l 的解析式为 y=kx，
∵ 点 A3.5,2 在直线 l 上，
∴2=3.5k，解得：k=47，
∴ 直线 l 解析式为 y=47x．

【点睛】本题考查了正方形的性质、一次函数的解析式，
19.如图所示，小明和小龙玩转陀螺游戏，他们分别同时转动一个陀螺，当两个陀螺都停下来时，与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是 。




【答案】
【分析】用树状图或列表法列举出所有情况，让桌面相接触的边上的数字都是奇数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】列表得：
 （4，6）
 （5，6）
 （6，6）
 （7，6）
 （8，6）
（9，6）
 （4，5）
 （5，5）
 （6.5）
 （7，5）
 （8，5）
（9，5）
 （4，4）
 （5，4）
 （6，4）
 （7，4）
 （8，4）
 （9，4）
 （4，3）
 （5，3）
 （6，3）
 （7，3）
 （8，3）
 （9，3）
 （4，2）
 （5，2）
 （6，2）
 （7，2）
 （8，2）
 （9，2）
 （4，1）
 （5，1）
 （6，1）
 （7，1）
 （8，1）
 （9，1）
∴一共有36种情况，与桌面相接触的边上的数字都是奇数的有9种情况，
∴与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是
【点睛】本题考查用树状图或列表法求等可能情形下简单事件的概率。列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件。

三、解答题（本大题共个7小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
20. （本小题满分9分）先化简，再求值：，
（1） a＝2cos60°+1．
（2） a＝3．
【答案】（1）（2）3−33
【分析】小括号内进行通分，对分母进行因式分解，除法转化为乘法，约分得到化简的答案，求出a的值，再代入求值即可．
【详解】（1）原式＝
＝
＝，
当a＝2cos60°+1＝2×+1＝2时，
原式＝＝．
（2）由（1）可知，原式＝=3−13=3−33。
【点睛】本题考查了无理数的运算，结合了锐角三角函数的知识。
21. （本小题满分9分）石家庄某校将举办“心怀感恩·孝敬父母”的活动，为此，校学生会就全校1 000名同学暑假期间平均每天做家务活的时间，随机抽取部分同学进行调查，并绘制成如下条形统计图．

（1）本次调查抽取的人数为_______，估计全校同学在暑假期间平均每天做家务活的时间在40分钟以上(含40分钟)的人数为_______；
（2）校学生会拟在表现突出的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学向全校汇报．请用树状图或列表法表示出所有可能的结果，并求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
【答案】(1)50；16（2）见详解。
【分析】抽查的人数就是各组人数之和，时间在40分钟以上(含40分钟)的人数就是最后两组的人数之和。本题中，因为事件由两个因素构成，所以，可以用树状图法也可以用列表法，用列表法时，要注意不要出现重复的情况。
【详解】(1)50；16；
（2）列表给出所有可能的结果：
第二人
第一人

甲
乙
丙
丁
甲

甲、乙
甲、丙
甲、丁
乙
乙、甲

乙、丙
乙、丁
丙
丙、甲
丙、乙

丙、丁
丁
丁、甲
丁、乙
丁、丙

共12种；其中恰好抽到甲、乙两名同学的情况有2种，
所以恰好抽到甲、乙两名同学的概率是。
【点睛】在本题中，给出了方法“请用树状图或列表法表示出所有可能的结果”，这样能够较好地实现所列情况不重不漏。列表时，要注意条例性，要工整美观，这样有利于自己后面统计各种情况出现的次数。
22. （本小题满分9分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，45°<∠ACB<60°，将点C关于直线AB对称得到点D，作射线BD与CA的延长线交于点E，在CB的延长线上取点F，使得BF=DE，连接AF.
                    
备用图
（1）依题意补全图形；
（2）求证：AF=AE；
（3）作BA的延长线与FD的延长线交于点P，写出一个∠ACB的值，使得AP=AF成立，并证明.
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）∠ACB=54°.证明见解析.
【分析】根据题意叙述画出图形即可.
(2)由对称可得，DB=BC，∠ABD=∠ABC，再由等量加等量仍是等量可得
BE=CF，易证△ABE ≌ △ACF（SAS），所以 AE=AF.
(3) ∠ACB=54°.由对称和(2)中已证的全等三角形推理可得.
【详解】（1）如图所示
               
2）证明：∵ 点C与点D关于直线AB对称，
∴ DB=BC，∠ABD=∠ABC.
∵ DE=BF，
∴ DE+BD=BF+BC.
∴ BE=CF.
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C.
∴ ∠ABD=∠C.
∴ △ABE ≌ △ACF（SAS）.
∴ AE=AF.
（3）∠ACB=54°.
证明：如图，

∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB=54°.
∴ ∠BAC=180°-∠ABC-∠C=72°.
∵ 点C与点D关于直线AB对称，
∴ ∠DAB=∠BAC=72°，∠ADB=∠C=54°，AD=AB=AC.
∴ ∠DAE=180°-∠DAB-∠BAC=36°，
∴ ∠E=∠ADB-∠DAE=18°.
∵ 由（2）得，△ABF ≌ △ADE（或者△ACF ≌ △ABE），
∴ ∠AFB=∠E=18°.
∴ ∠BAF=∠ABC-∠AFB=36°=12∠BAD.
∵ AB=AD，
∴ AF垂直平分BD.
∴ FB=FD.
∴ ∠AFD=∠AFB=18°，
∴ ∠P=∠BAF-∠AFD=18°=∠AFD，
∴ AP=AF.
∵ 由（2）得AE=AF，
∴ AP=AE.
【点睛】本题考查图形对称应用及三角形全等判定，根据题文注意数形结合是解题关键.
23.（本小题满分10分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%．经试销发现，销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时销售量为55件，当销售单价为75元时销售量为45件．
（1）求P与x的函数关系式；
（2）若该商场获得利润为y元，试写出利润y与销售单价x之间的关系式；
（3）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）P=﹣x+120（2）y=﹣（x﹣90）2+900（3）90元时，商场可获得最大利润，最大利润是900元．
【分析】（1）抓住已知条件：销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时销售量为55件，当销售单价为75元时销售量为45件，利用待定系数法求出P与x的函数关系式即可。
（2）根据商场获得利润y=每一件的利润×销售量P，可建立y与x的函数解析式。
（3）将（Ⅱ）的二次函数解析式配方成顶点式，再根据销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，求出自变量x的取值范围，利用二次函数的性质，即可求解。
【详解】解：（1）设P=kx+b，
根据题意，得：  ，
解得：  ，
则P=﹣x+120；
（2）y=（x﹣60）（﹣x+120）=﹣x2+180x﹣7200=﹣（x﹣90）2+900；
（3）∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，
∴60≤x≤（1+50%）×60，即60≤x≤90，
又当x≤90时，y随x的增大而增大，
∴当x=90时，y取得最大值，最大值为900，
答：销售单价定为90元时，商场可获得最大利润，最大利润是900元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，注意取值范围的限制。


24. （本小题满分10分）如图，BE是圆O的直径，A在EB的延长线上，AP为圆O的切线，P为切点，弦PD垂直于BE于点C．
（1）求证：∠AOD=∠APC；
（2）若OC：CB=1：2，AB=6，求圆O的半径及tan∠APB．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OP，可结合已知的等角和等腰三角形、直角三角形的性质进行证明；
（2）根据OC、BC的比例关系，可用未知数表示出OC、BC的表达式，进而可得OP、OB的表达式；在Rt△AOP中，PC⊥OA，根据射影定理得：PC2=PC•AC，PC2的表达式可在Rt△OPC中由勾股定理求得，由此求得未知数的知，从而确定PC、CE的长，也就能求出⊙O的半径和∠APB的正切值．
【详解】（1）连接OP，
∵OP=OD，∴∠OPD=∠D，
∵PD⊥BE，
∴∠OCD=90°，
在Rt△OCD中，∠D+∠AOD=90°，
又∵AP是⊙O的切线，
∴AP⊥OP，
则∠OPD+∠APC=90°，
∴∠AOD=∠APC；
（2）连接PE，
∴∠BPE=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵AP是⊙O的切线，
∴∠APB=∠OPE=∠PEA，
∵OC：CB=1：2，
∴设OC=x，则BC=2x，OP=OB=3x，
在Rt△OPC中，OP=3x，OC=x，由勾股定理得：
PC2=OP2﹣OC2=8x2，
在Rt△OPC中，PC⊥OA，由射影定理得：
PC2=OC•AC，即8x2=x（2x+6），6x2=6x，
解得x=0（舍去），x=1，
∴OP=OB=3，PC=2，CE=OC+OE=3+1=4，
∴tan∠APB=tan∠PEC=，
∴⊙O的半径为3，∠APB的正切值是．

【点睛】本题综合考查了垂径定理、圆周角定理、切线的性质以及锐角三角函数的定义．解答（2）中∠APB的正切值的关键是根据切线的性质、等腰三角形的性质及圆周角定理求得∠APB=∠OPE=∠PEA．
25.（本小题满分10分）
如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD；
（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．



【答案】（1）y=x2+4x﹣1（2）m=﹣，﹣2或（3）存在点P（﹣2，﹣5）或P（﹣1，﹣4）使△PAD是直角三角形
【分析】（1）根据直线解析式得出A、B两点坐标，代入抛物线解析式即可求出；（2）存在两种情形，设P点坐标为（m，m2+4m﹣1），列方程求解；（3）见详解．
【详解】解：（1）∵y=x﹣1，当x=0时，y=﹣1，∴B（0，﹣1）．
当x=﹣3时，y=﹣4，∴A（﹣3，﹣4）．
∵y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点，∴，∴，
∴抛物线的解析式为：y=x2+4x﹣1；

（2）∵P点横坐标是m（m＜0），∴P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）
如图1①，作BE⊥PC于E，∴BE=﹣m．
CD=1﹣m，OB=1，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2，
∴PD=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2，∴，
解得：m1=0（舍去），m2=﹣2，m3=﹣；
如图1②，作BE⊥PC于E，∴BE=﹣m．
PD=m2+4m﹣1+1﹣m=3m+m2，∴=2×，
解得：m=0（舍去）或m=（舍去）或m=，
∴m=﹣，﹣2或时，S四边形OBDC=2S△BPD；

（3）如图2，当∠APD=90°时，设P（m，m2+4m﹣1），则D（m，m﹣1），
∴AP=m+3，CD=1﹣m，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2，
∴DP=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2．
在y=x﹣1中，当y=0时，x=1，∴F（1，0），∴OF=1，∴CF=1﹣m．AF=4．
∵PC⊥x轴，∴∠PCF=90°，∴∠PCF=∠APD，∴CF∥AP，
∴△APD∽△FCD，，∴，
解得：m=﹣1或m=﹣3（舍去），
∴P（﹣1，﹣4）
如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，
∴∠AEF=90°，CE=m+3，EF=4，AF=4，PD=m﹣1﹣（﹣1+4m+m2）=﹣3m﹣m2．
∵PC⊥x轴，∴∠DCF=90°，∴∠DCF=∠AEF，
∴AE∥CD．∴，∴AD=（3+m）．
∵△PAD∽△FEA，∴，∴，∴m=﹣2或m=﹣3（舍去）
∴P（﹣2，﹣5）．
当∠APD=90°时
∴点A与点P关于对称轴对称
∵A（﹣3，﹣4）∴P（﹣1，﹣4）
综上，存在点P（﹣2，﹣5）或P（﹣1，﹣4）使△PAD是直角三角形．

　

【点睛】本题考查了抛物线内存在性问题，注意考虑多种情况，不要遗漏。

26.（本小题满分12分）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把ΔADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．

（1）求证：ΔA1DE∽ΔB1EH；
（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断ΔDEF的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G为ΔDEF内一点，且∠DGF=150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）ΔDEF是等边三角形，见解析；（3）DG2+GF2=GE2.
【分析】(1)由折叠图形的性质可得∠DA1E=∠EB1H=90°，∠DEA1+∠HEB1=90°°从而可得∠DEA1=∠EHB1，依据两个角对应相等的三角形相似可得ΔA1DE∽ΔB1EH；
(2)由A1恰好落在直线MN上可知A1在EF的中点，由SAS易证ΔA1DE≅∠A1DF，即可得∠ADE=∠EDA1=∠FDA1=30°，
(3)将ΔDGE逆时针旋转60°到ΔDG'F位置，由旋转的旋转将DG，EG，FG集中到ΔG'GF中结合∠DGF=150°，可得ΔG'GF为直角三角形，由勾股定理可得G'G2+GF2=G'F2，即可证明DG2+GE2=GE2，
【详解】(1)由折叠的性质可知：∠DAE=∠DA1E=90°，∠EBH=∠EB1H=90°，∠AED=∠A1ED，∠BEH=∠B1EH，
∴∠DEA1+∠HEB1=90°．
又∵∠HEB1+∠EHB1=90°，
∴∠DEA1=∠EHB1，
∴ΔA1DE∽ΔB1EH；
(2)结论：ΔDEF是等边三角形，理由如下：
∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，
∴点A1是EF的中点，即A1E=A1F，
在ΔA1DE和ΔA1DF中
DA1=DA1∠DA1E=∠DA1F=90°A1E=A1F，
∴ΔA1DE≅ΔA1DF(SAS)，
∴DE=DF，∠FDA1=∠EDA1，
又∵ΔADE≅ΔA1DE，∠ADF=90°．
∴∠ADE=∠EDA1=∠FDA1=30°，
∴∠EDF=60°，
∴ΔDEF是等边三角形；
(3)DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2=GE2，理由如下：
由(2)可知ΔDEF是等边三角形；将ΔDGE逆时针旋转60°到ΔDG'F位置，如解图(1)，
∴G'F=GE，DG'=DG，∠GDG'=60，
∴ΔDGG'是等边三角形，
∴GG'=DG，∠DGG'=60°，
∵∠DGF=150°，
∴∠G'GF=90°，
∴G'G2+GF2=G'F2，
∴DG2+GF2=GE2.

【点睛】本题考查翻折变换、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键.