2023年湖南省株洲市茶陵县九年级下学期学业水平模拟测试数学试题（含答案）

数学模拟试卷

（满分150分，考试时间120分钟）

一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．的相反数是（    ）

A． B． C． D．

2．下列有理数的大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．实施青少年生涯规划教育，有助于加深青少年的自我认知，引导青少年设立人生目标，提高学习自主性，促进身心健康发展．近日，株洲市某学校开展了“国际未来商业菁英生涯规划模拟挑战赛”的预选赛，甲、乙、丙、丁四位候选人进行了现场模拟和即兴演讲，他们的成绩如下表：

若规定现场模拟成绩与即兴演讲成绩依次按和的比例确定最终成绩，（    ）将以第一名的成绩胜出．

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

4．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，那么这个不等式组可能是（　　）

A． B． C． D．

5．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．已知点在反比例函数的图象上，则点关于原点对称的点的坐标是（　　）

A． B． C． D．

7．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重斤（等于两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量：各为多少？”若假设每只雀、燕的体重相同，设每只雀的重量为x两，每只燕的重量为y两，则列方程组为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点，，分别对应刻度尺上的整数刻度，已知，，下列结论不正确的是（  ）

A． B． C． D．

9．如图，AB为的直径，点C在上，连接AC，BC，过点O作于点D，过点C作的切线交OD的延长线于点E．连接AD，若，，则AD的长为（    ）

A． B． C． D．

10．对于实数、，定义一种运算“”为：，有下列命题：

①；

②方程的根为：，；

③不等式组的解集为：；

④点在函数的图象上．

其中正确的是（ ）

A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．③④

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11．若二次根式有意义，则x的取值范围是________．

12．分解因式______．

13．统计某天经过某高速公路某测速点的汽车速度，得到如下所示的频数直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．若该路段汽车限速为（含），则超速行驶的汽车占全部汽车的________%．

14．已知，且，若，则________．

15．如图1，已知的半径为，弦的长为，P是延长线上一点，，则的值是________．

         图1                    图2                      图3

16．已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是______．

17．如图2，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图像交于点A，将直线沿y轴向上平移b个单位长度，交x轴于点C，交反比例函数图像于点B，若，则b的值为______．

18．如题3，在四边形中，，，，，点P在上运动，则取最小值时，BP=______，此时边AP上的高是________．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19．（6分）计算：+

20．（8分）先化简：，然后从0，2，2023中选择一个合适的数代入求值．

21．（8分）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，CE垂直于AB边的延长线于点E，CF垂直于AD边的延长线于点F，且CE=CF．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)当，时，求的正切值．

22．（10分）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，（在同一条直线上）．请解答下列问题：

(1)求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；

(2)求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：）．

23．（10分）党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求．某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来．在某次竞赛活动中，学校随机抽取部分学生进行知识竞赛，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，E：，并绘制出如下的统计图1和图2．

请根据相关信息，解答下列问题：

(1)图1中A组所在扇形的圆心角度数为 °，并将条形统计图补充完整．

(2)若“”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．求这组数据的众数和中位数．

(3)若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按，，的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由．

24．（10分）如图，在中，，的平分线交于点，点在边上，以为圆心的圆经过，两点，交于点，连接．

(1)求证：是的切线；

(2)若的半径为3，当时，求线段的长．

25．（13分）如图，一次函数与反比例函数第一象限交于、两点，点是轴负半轴上一动点，连接，．

(1)求一次函数的表达式；

(2)若的面积为，求点的坐标；

(3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（13分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=﹣x2+（k﹣1）x+k（k＞0）交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且B（3，0）．

（1）如图1，求k的值；

（2）如图2，点D在第一象限的抛物线上，点E在线段BC上，DE//y轴，若DE=BE，求点D的坐标；

（3）如图3，在（2）的条件下，F为抛物线顶点，点P在第四象限的抛物线上，FP交直线DE于点Q，点G与点D关于y轴对称，若GQ=DP，求点P的坐标．

九年级数学参考答案

1~5．ADDBD  6~10．ABADC 

11．x≥−2023     12．/    13．8      14．5    

15．    16．    17．    18．1，

19．解：+ - 2= 4 + 2 - 2× = 5．

20．解：

，

当，时，原式无意义，

当时，．

21．（1）证明：∵CE垂直于AB边的延长线于点E，CF垂直于AD边的延长线于点F

且CE=CF ∴AC是∠DAC的平分线 ∴∠FAC=∠EAC  在平行四边形中，CD//AB

∴∠DCA=∠EAC   ∴∠DCA=∠FAC   ∴AD=CD  ∴平行四边形是菱形；

（2）解：∵，∴设，

在菱形中，，

在中，由勾股定理得，

∴，解得（负值舍去），∴，

在中，= = =

22．（1）解：在中，，，

，∴灯管支架底部距地面高度的长为．

（2）解：如图所示，延长交于点，

，，∴，

，，

是等边三角形，，，，

，在中，， ，

∴灯管支架的长度约为．

23．（1）解：参加此次竞赛总人数：（人），

A组所占百分比：，A组所在扇形的圆心角度数，

B组人数：（人），条形统计图如图所示：

（2）解：排序为90，92，93，95，95，96， 96，96， 97，100，

∴中位数为：，∵96出现次数最多，∴众数为96，

（3）解：小敏最后得分：，

∴小敏能参加决赛．

24．（1）证明：连接，∵的平分线交于点，∴，

∵，∴，∴，∴，

∵，∴，∴是的切线．

（2）∵，设，则，

而，为的直径，∴，而，，∴，∴，

∴，∴，解得：（负根舍去）

∴，，，∵，

∴，解得：．经检验符合题意.

25．（1）解：∵点在反比例函数图像上，∴，

∴反比例函数的表达式为，当时，，∴，

∵，在一次函数图像上，∴，解得：，

∴一次函数的表达式为；

（2）设直线交轴于点，当时，，解得：

∴点，设点，∵的面积为，

∴，∴，解得：，

∴点的坐标为；

（3）存在，理由：设直线的解析式为，，，

∴，解得：，直线的解析式为，

设点，∵是平行四边形的边，且点向右平移个单位向下平移个单位得到点，点在轴上，∴点向右平移个单位向下平移个单位得到点，

∴∴，∴点的坐标为．

26．（1）∵抛物线交x轴于点B，∴将点B（3，0）代入y=﹣x2+（k﹣1）x+k中，

解得： ；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为：，B（3，0），

令，得，∴C（0，3），

设直线BC的解析式为（k≠0），则把B（3，0）代入得：，

解得，，∴直线BC的解析式为，

设D点的坐标为（，），则E（，），

∴DE==，BE=，

∵DE=BE，∴ ，解得，或（舍），∴D（2，3）；

（3）点G与点D关于y轴对称，则点G（-2，3），，

∴抛物线的顶点F的坐标为（1，4），设点P（，），

由点F、P的坐标，同理求得直线PF的表达式为，

当时，，故点Q（2，），

则=，=，

∵GQ=DP，∴，

解得（舍去负值），

故点P（，）．