专题06 平行四边形中的几何综合问题-初中数学8年级下册同步压轴题（教师版含解析）

专题06 平行四边形中的几何综合问题

类型一、平行四边形的折叠问题

例．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点处，若，为(       )

A．36° B．144° C．108° D．126°

【答案】D

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠ACD=∠BAC，

由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，

∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=18°，

∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-36°-18°=126°；

故选D．

【变式训练1】如图，在平行四边形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝4，将纸片沿对角线AC对折，使得点B落在点B′的位置，连接DB'，则DB'的长为(　　)

A．2 B．2 C．4 D．15

【答案】A

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，

由折叠的性质可知：，，

∴，∴，

∴在直角三角形中，故选A．

【变式训练2】如图，在平行四边形ABCD中，，E为BC上一点，连接AE，将沿AE翻折得到，交AC于点G，若，，则AG的长度为______．

【答案】

【详解】如图，过点F作交于点H，

∵平行四边形ABCD，∴，

∵，∴设，∴，

∵，∴，∴，

∵沿AE翻折得到，∴，，

∴，∴是等腰直角三角形，

∴，即，解得：，∴，∴，

在中，，

∴，即．故答案为：．

【变式训练3】如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 ______．

【答案】40°

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝50°，

∵∠DAE＝20°，∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，∴∠AED＝180°﹣70°＝110°，

∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，∴∠AED＝∠AED′＝110°，

∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°，

故答案为：40°．

类型二、平行四边形中的最值问题

例．如图，平行四边形ABCD，∠BCD=120°，AB=2，BC=4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为(       )

A．1 B． C． D．

【答案】C

【详解】解：∵M为FA中点，N为FE中点，∴NM为△AEF的中位线，∴MN=

∴AE最小时，MN最小，

∵点E在直线BC上，根据点A到直线BC的距离最短，

∴AE⊥BC时AE最短，

∵在平行四边形ABCD中，∠BCD=120°，∴∠ABC+∠BCD=180°，

∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°，∴∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-60°-90°=30°，

在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=2，∴BE=，

根据勾股定理AE最小值=,∴MN=．

故选择C．

【变式训练1】如图，四边形ABCD中，∠A=60°，AD=2，AB=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为( )

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：∵ED=EM，MF=FN， ∴EF=DN，

∴DN最大时，EF最大，∴N与B重合时DN=DB最大，

在Rt△ADH中， ∵∠A=60° ，

∴AH=2×=1，DH=，∴BH=AB﹣AH=3﹣1=2，

∴DB=， ∴EFmax=DB=， ∴EF的最大值为．故选A

【变式训练2】如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AD＝8，AB＝4，点H、G分别是边DC、BC上的动点，其中点H不与点C重合．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为 _____________．

【答案】

【详解】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N，

∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，AB＝4，

∴∠D＝∠B＝60°，AB＝CD＝4，

∵AD＝8，

∴AM＝DM＝DC＝4，

∴△CDM是等边三角形，

∴∠DMC＝∠MCD＝60°，CM＝DM＝AM，

∴∠MAC＝∠MCA＝30°，

∴∠ACD＝90°，

∴AC＝4，

在Rt△ACN中，∵AC＝4，∠ACN＝∠DAC＝30°，

∴AN＝AC＝2，

∵AE＝EH，GF＝FH，

∴EF＝AG，

∵AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，

∴AG的最大值为4，最小值为2，

∴EF的最大值为2，最小值为，

∴EF的最大值与最小值的差为．

【变式训练3】如图，在中，，，，为上的两个动点，且，则的最小值是________．

【答案】

【详解】解：过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，

则四边形ADMN是平行四边形，∴MD＝AN，AD＝MN，

作点A关于BC的对称点A′，连接A A′交BC于点O，连接A′M，则AM＝A′M，

∴AM＋AN＝A′M＋DM，∴三点D、M、A′共线时，A′M＋DM最小为A′D的长，

∵AD//BC，AO⊥BC，∴∠DA＝90°，

∵，，∴BC＝，BO＝CO＝AO＝，∴，

在Rt△AD中，由勾股定理得：D＝

∴的最小是值为：，

故答案为：

【变式训练4】如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC＋AQ的最小值为________________．

【答案】

【详解】过点A作且，连接MP，

∴四边形是平行四边形，∴，

将的最小值转化为的最小值，当M、P、C三点共线时，的最小，

∵，，∴，

在中，；故答案是：．

类型三、动点问题

例．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM=4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为_____时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

【答案】4s或s

【详解】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

则有t＝4﹣2t，解得t＝，

②当F在线段CM上，即2≤t≤5，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

则有t＝2t﹣4，解得t＝4，

综上所述，t＝4或，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，故答案为：4s或s．

【变式训练1】如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，则_____秒后四边形成为一个平行四边形．

【答案】2

【详解】解：如图，设t秒后，四边形APQB为平行四边形，则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，

∵AD∥BC，∴AP∥BQ，

当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，∴t=6-2t，∴t=2，

当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．

综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．

故答案为：2．

【变式训练2】如图，在四边形中，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使和，分别需经过多少时间？为什么？

【答案】分别需经过；或．理由见解析．

【详解】解：①设经过，，

此时四边形成为平行四边形，

∵，∴，解得，∴当s时，且PQ=CD

②设经过，，

如图所示，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F，当CF=EQ时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或平行四边形，

∵，∴四边形ABFD是矩形，∴AD=BF，

∵AD=24cm，BC=26cm，∴(cm)，

当四边形PQCD为梯形(腰相等)时，，

∴，解得，∴当s时，PQ=CD，

当四边形为平行四边形或梯形(腰相等)，为平行四边形时有s，PQ=CD，

综上所述，当s时，；当s或s时，PQ=CD．

课后训练

1．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点，，，的面积为9，则点F到BC的距离为(       )

A．1.4 B．2.4 C．3.6 D．4.8

【答案】B

【详解】如图，连接BE，交AD于点O．过点E作于点H，点F作于点G，

由翻折可知AB=AE，，BD=DE，

又∵AO=AO，∴，∴BO=EO，，∴．

∵点F是DE的中点，EF=2.5，∴DF=EF=2.5，BD=DE=5，∴和等底同高∴．

∵，∴，解得：．∴在中，，

∵．∴．

又∵，∴，解得：．

∵点F是DE的中点，，，∴FG为中位线，．

故选B．

2．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠BCA=60°，直线AD⊥BC于点D，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值是(       )

A．1 B．1.5 C．2 D．4

【答案】C

【详解】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．

∵AC=BC=8，∠BCA=60°，∴△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，

∴CD=CG=AB=4，∠ACD=60°，

∵∠ECF=60°，∴∠FCD=∠ECG，

在△FCD和△ECG中，，∴△FCD≌△ECG(SAS)，∴DF=GE．

当EG∥BC时，EG最小，

∵点G为AC的中点，∴此时EG=DF=CD=BC=2．故选：C．

3．如图，四边形是平行四边形，，，点在上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，点，点在同条直线上，则的值为______．

【答案】

【详解】解：在平行四边形中，，设，，

，，，由翻折可得，，，，

过点任于，

，，，

，，

设，过作于，则，，

在直角三角形中，，，

，，，

延长、交于点，，，

，，，

，．故答案为：．

4．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则的最小值为______．

【答案】

【详解】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=，

∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO=QO，CO=AO=，

∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，

当P与P'重合时，OP的值才是最小，∴则PQ的最小值为2OP′=2×OC=，

故答案为：．

5．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CEAB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．

(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；

(2)若∠B＝30°，∠CAB＝45°， ，求AB的长．

【答案】(1)见解析(2)

【解析】(1)证明：∵ABCE，

∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．

∵F是AC中点，∴AF＝CF．

在△AFD与△CFE中， ，∴△AFD≌△CFE(AAS)，∴DF＝EF，

∴四边形ADCE是平行四边形；

(2)解：过点C作CG⊥AB于点G，

∵∠CAB＝45°，∴，在△ACG中，∠AGC＝90°，∴，

∵，∴CG＝AG＝ ，

∵∠B＝30°,∴ ,∴ ,

在Rt△BCG中， ，∴ ．

6．已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．

(1)如图1，CDOB，CD＝OA，连接AD，BD．

①           ；

②若OA＝2，OB＝3，则BD＝           ；

(2)如图2，在射线OM上截取线段BE，使BE＝OA，连接CE，当点B在射线OM上运动时，求∠ABO和∠OCE的数量关系；

(3)如图3，当E为OB中点时，平面内一动点F满足FA=OA，作等腰直角三角形FQC，且FQ=FC，当线段AQ取得最大值时，直接写出的值．

【答案】(1)△DCA；；(2)∠ABO+∠OCE=45°，理由见解析；(3)

【解析】(1)解：①∵CD∥OB，∴∠ACD=∠BOA=90°，

又∵OB=CA，OA=CD，∴△AOB≌△DCA(SAS)；故答案为：△DCA；

②如图所示，过点D作DR⊥BO交BO延长线于R，

由①可知△AOB≌△DCA，∴CD=OA=2，AC=OB=3，

∵OC⊥OB，DR⊥OB，CD∥OB，∴DR=OC=OA+AC=5(平行线间距离相等)，

同理可得OR=CD=3，∴BR=OB+OR=5，∴；故答案为：；

(2)解：∠ABO+∠OCE=45°，理由如下：

如图所示，过点C作CW⊥AC，使得CW=OA，连接AW，BW，

在△AOB和△WCA中，，

∴△AOB≌△WCA(SAS)，∴AB=AW，∠ABO=∠WAC，

∵∠AOB=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAO+∠WAC=90°，∴∠BAW=90°，

又∵AB=AW，∴∠ABW=∠AWB=45°，

∵BE⊥OC，CW⊥OC，∴BE∥CW，

又∵BE=OA=CW，∴四边形BECW是平行四边形，

∴BW∥CE，∴∠WJC=∠BWA=45°，

∵∠WJC=∠WAC+∠JCA，∴∠ABO+∠OCE=45°；

(3)解：如图3-1所示，连接AF，∴，

∴如图3-2所示，当A、F、Q三点共线时，AQ有最大值，

∵E是OB的中点，BE=OA，∴BE=OE=OA，∴OB=AC=2OA，

∵△CFQ是等腰直角三角形，CF=QF，∴∠CFQ=∠CFA=90°，

∴，∴，∴．