专题07 特殊平行四边形中的动点与最值问题-初中数学8年级下册同步压轴题（教师版含解析）

专题07 特殊平行四边形中的动点与最值问题

类型一、最值问题

例．如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为(　　)

A．2 B．3 C． D．

【变式训练1】如图，菱形ABCD的边长为9，面积为18，P、E分别为线段BD、BC上的动点，则PE+PC的最小值为___．

【变式训练2】如图，正方形ABCD是边长为2，点E、F是AD边上的两个动点，且AE=DF，连接BE、CF，BE与对角线AC交于点G，连接DG交CF于点H，连接BH，则BH的最小值为_______．

【变式训练3】如图，长方形ABCD中，，，E为BC上一点，且，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为______．

【变式训练4】如图，在边长为2的正方形中，点，分别在边，上，且，连接、交于点，连接，则线段的最小值为 __．

类型二、动点问题

例．如图，已知在正方形ABCD中，厘米，，点E在边AB上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动时间为t秒．若存在a与t的值，使与全等时，则t的值为(       )

A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2

【变式训练1】如图，在中，，，，点P从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动，同时点Q从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，过点P作于点D，连接PQ、QD，设点P运动的时间为ts．

(1)求证：四边形PCQD是平行四边形；

(2)当四边形PCQD成为菱形时，求出相应的t的值；

【变式训练2】如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是．连接，，，设点，运动的时间为．

(1)当为何值时，四边形是矩形？

(2)当为何值时，四边形是菱形？

(3)分别求出(2)中菱形的周长和面积.

课后训练

1．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为__．

2．如图1，在菱形中，，，点从开始，以每秒1个单位的速度向点运动；点从出发，沿方向，以每秒2个单位的速度向点运动，若、同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，过点作，交于点．

(1)当时，求线段的长；

(2)设的面积为，直接写出与的函数关系式及的取值范围；

(3)在点、运动过程中，是否存在值，使得为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

3．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点(点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合)，PQ＝2

(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；

(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；

(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点(M、N均不与顶点重合)，当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．

4．如图，在中，，，，点P从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动，同时点Q从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，过点P作于点D，连接PQ、QD，设点P运动的时间为ts．

(1)求证：四边形PCQD是平行四边形；

(2)当四边形PCQD成为菱形时，求出相应的t的值；