第33讲 数列的概念和性质-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

第33讲 数列的概念和性质

通关一、数列的概念

一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列的一般形式可以写成:，简记为，其中数列的第1项，也称首项;数列的第项，也叫数列的通项.

要点诠释:

(1)与的含义完全不同:表示一个数列，表示数列的第项；

(2)数列的项与项数是两个不同的概念:数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号；

(3)数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同序排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

(4)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出.

通关二、数列的分类

通关三、数列的通项公式

如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个公式表示成，那么这个公式就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.

要点诠释:

(1)并不是所有数列都能写出其通项公式.

(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的.如数列:，通项公式可以是，也可以是.

(3)数列通项公式的作用：

①求数列中任意一项；

②检验某数是否是该数列中的一项.

(4)数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示.

通关四、数列的前项和

数列的前项和:指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即，.

结论一、数列通项公式

给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：

(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；

(2)若第项和第项正负交错，那么符号用或或来调控；

(3)熟悉一些常见数列的通项公式；

(4)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式进行变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.

【例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.

(1)；

(2)；

；

.

【变式】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式

(1)；

(2)；

(3)；

(4).

结论二、数列的周期性

对于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列.若，则称数列为纯周期数列，若，则称数列为混周期数列，的最小值称为最小正周期，简称周期.

【例2】设数列满足，记数列前项之积为，则的值为（ ）.

 A. B C. D.

【变式】数列满足，若，则的值为（ ）.

 A. B C. D.

结论三、已知求的一般步骤

任意数列的前项和.

要点诠释:

由前项和求数列通项时，要分三步进行：

(1)先利用求出；

(2)用替换中的得到一个新的关系，利用便求出当时的表达式；

(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写.

【例3】已知数列的前项和为，则其通项公式__________.

【变式】已知数列的前项和，则其通项公式__________.

结论四、与混合在一起的处理方法

数列的前项和与通项的关系为，通过纽带:，根据题目已知条件，消掉或，再通过构造成等差数列或者等比数列进行求解.

要点诠释：

(1) 若消掉,应利.用已知递推式,把换成得到另一个式子,两式相减即可求得通项.

(2) 若消掉,只需把代入递推式得到，的关系,求出后再利用与的关系求通项.

【例4】若数列的前项和为,则数列的通项公式__________. 

【变式】已知数列的前项和,若,则（ ）.

A.  B.    C.    D.  

结论五、数列单调性的判断方法

①作差法:

数列是递增数列;

数列是递减数列;

数列是常数列.

②作商法:

当时,数列是递增数列;

数列是递减数列;

数列是常数列.

当 时,数列是递减数列;

数列是递增数列;

数列是常数列.

【例5】已知是递增数列,且对于任意的恒成立,则实数的取值范围是__________.

【变式】已知数列的通项公式为,则数列 的最大项是（ ）.

A. B.   C.   D.