第40讲 不等式的性质与解法-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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通关二、不等式的基本性质
结论一、不等式的性质
1.加法法则(同向不等式可加性):a＞ba＋c＞b＋c(c∈R).
2.乘法法则:若a＞b,则
3.除法法则:若a＞b且c≠0,则
【例1】若实数a,b满足a＞b,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
【变式】当a＞b＞c时，下列不等式恒成立的是( ).
A.ab＞acB.a|c|＞b|c|C.|ab|＜|bc|D.(a－b)|c－b|＞0
结论二、比较大小
1.作差法:
任意两个代数式a，b可以作差a－b后比较a－b与0的关系,进一步比较a与b的大小.
①a－b＞0⇔a＞b;
②a－b＜0⇔a＜b;
③a－b＝0⇔a＝b.
2.作商法:
任意两个值为正的代数式a，b可以作商a÷b后比较与1的关系,进一步比较a与b的大小.
①;②;③.
若代数式a，b都为负数,也可以用作商法.
3.中间量法:
若两个代数式a，b不容易直接判断大小,可引入第三个量c分别与a，b作比较,若满足a＞c且c＞b,则a＞b.第三个量就是中间量.这种方法就是中间量法,其实质是不等式的传递性.一般选择0或1为中间量.
【例2】若a＞b＞0,则下列不等式中一定成立的是( ).
A．B.C.D.
【变式】设实数a,b满足0＜a＜b,且a＋b＝1,则下列四数中最大的是( ).
A.B.C.2abD.a
结论三、一元二次不等式
【例3】不等式的解集为______________.
【变式】不等式的解集为( ).
A. B.或C.或D.
结论四、分式不等式
1.一般地,解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组,即
（1）;
（2）;
（3)
(4)
2.穿根法步骤
(1)将f(x)最高次项系数化为正数;
(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积,然后求出f(x)＝0
的解,并在数轴上标出;
(3)自数轴正方向起,用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴,奇穿偶不穿;
(4)记数轴上方为正,下方为负,根据不等号写出解集.
【例4】不等式的解集为( ).
A.{x|x＜－2或x＞3}B.{x|x＜–2或1＜x＜3}
C.{x|－2＜x＜1或x＞3}D.{x|－2＜x＜1或1＜x＜3|
【变式】不等式的解集是( ).
A.B.C.D.
结论五、绝对值不等式
1.|f(x)|＜a(a＞0)⇔－a＜f(x)＜a;
2.|f(x)|＞a(a＞0)⇔f(x)＜－a或f(x)＞a;
3.|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x);
4.|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＜－g(x)或f(x)＞g(x).
【例5】若不等式|x－a|＜1的解集为{x|1＜x＜3},则实数α的值为_______.
【变式】若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为____________.
文字语言
数学符号
文字语言
数学符号
大于
＞
至多
≤
小于
＜
至少
≥
大于等于
≥
不少于
≥
小于等于
≤
不多于
≤
性质
别名
内容
注意
性质1
对称性
a＞bb＜a;a＜bb＞a
可逆
性质2
传递性
a＞b,b＞ca＞c;a＜b,b＜ca＜c
同向
性质3
可加性
a＞ba＋c＞b＋c
可逆
性质4
可乘性
a＞b,c＞0ac＞bc;a＞b,c＜0ac＜bc
c的符号
性质3推论1
称项法则
a＋b＞ca＞c－b
可逆
性质3推论2
同向可加性
a＞b,c＞da＋c＞b＋d
同向
性质4推论1
同向同正可乘性
a＞b＞0,c＞b＞0ac＞bd
同向，同正
性质4推论2
可乘方性
同正
性质4推论3
可开方性
同正
性质4推论4
倒数法则
同号
的图象
一元二次方程的根
有两个相异的实根
有两个相等的实根
没有实数根
的解集
R
的解集

