第18讲 导数的定义和运算-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

第18讲 导数的定义和运算

通关一、导数的概念

设函数，当自变量从变到时，函数值从变到，函数值关于的平均变化率为.当趋于，即趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数在点的导数，通常用符号表示，记作

要点诠释：

1.       导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在某一时刻的瞬间变化率.
2.       对于不同的实际问题，平均变化率有不同的实际意义.如位移运动中，位移从时间到的平均变化率即为到这段时间的平均速度
3.       增量可以是正数，也可以是负数，但是不可以等于0.的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数.
4.       时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近.
5.       函数在处的导数还可以用符号表示.

通关二、基本初等函数的导数

要点诠释：

1.       常数函数的导数为0，即（为常数） ，其几何意义是曲线（为常数）在任意点处的切线平行于x轴.
2.       有理数幂函数的导数等于幂指数与自变量的（－1）次幂的乘积，即.
3.       在数学中，“”表示以（=2.71828）为底数的对数；“”表示以10为底数的常用对数.

通关三、和、差、积、商的导数

通关四、复合函数的导数

1.   复合函数的概念

对于函数，令，则是中间变量的函数，是自变量的函数，则函数是自变量的复合函数.【例】如，函数是由和复合而成的.

2.   复合函数的导数

设函数在点处可导，，函数在点处的对应点处也可导，，则复合函数在点处可导，并且，或写作

3.   复合函数求导一般步骤

（1）分层：将复合函数分出内层、外层.

（2）各层求导：对内层，外层分别求导，得到，.

（3）求积并回代：求出两导数的积，然后将用替换，即可得到的导数.

结论一、平均变化率和瞬时变化率

1.       函数的增量:;
2.       平均变化率：；
3.       瞬时变化率：.

【例1】函数在闭区间内的平均变化率为（ ）

 A. B. C.  D.

【答案】D

【解析】.故选D.

【变式】若函数，则当时，函数的瞬时变化率为（ ）

 A.1 B.－1 C.2 D.－2

【答案】D

【解析】，.故选D.

结论二、导数的定义

【例】2设在处可导，则等于（ ）

 A. B. C. D.

【答案】D

【解析】.故选D.

【变式】已知函数在处可导，则（ ）

 A. B. C. D.

【答案】D

【解析】.故选D.

结论三、复合函数求导

设函数在点处有导数，函数在点处对应点处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或些写作.

①； ②；

③； ④；

⑤.

【例3】已知，则=__________.

【答案】

【解析】解法一：设，，，则

.

解法二：==

【变式】已知，则=_____________.

【答案】

【解析】，.

结论四、导数的运算

1.       ，
2.       ，
3.       .

【例4】已知，则=______________.

【答案】

【解析】

.

【变式】已知，则=______________.

【答案】

【解析】

结论五、实际是一个数

代表函数在处的导数值；是函数值的导数，且.

【例5】已知函数，则的值为_______________.

【答案】1

【解析】,，解得.所以

【变式】设函数，若，则=___________.

【答案】1

【解析】由函数的解析式可得，则，据此可得，整理可得，解得=1.

结论六、多用乘法求导运算

【例6】等比数列中，，函数，则（ ）

A. B.  

【答案】C

【解析】

令，则，且有意义，于是.故选.

【变式】设函数是两两不等的常数)，则_________.

【答案】0

【解析】因为，所以，

同理：，所以原式

.

结论七、特殊函数的导函数

1..

2..

【例7】设，则等于（ ）

 A. B. C. D.

【答案】A

【解析】因为，所以

所以故选.

【变式】设，则“”是“”的（ ）

 A.充分不必要条件  B.必要不充分条件 

 C.充要条件  D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【解析】 设函数.当时，；又

，所以（当且仅当时），所以是上的增函数.故选.