第36讲 等比数列通项公式及性质-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

第36讲 等比数列通项公式及性质

通关一、等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示，即

要点诠释：

（1）由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为，因此不可能是，

（2）“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个.

（3）隐含条件，任一项且

（4）常数列都是等差数列，但不一定是等比数列，不为的常数，数列是公比为的等比数列.

（5）证明一个数列为等比数列，其依据是利用这种形式来判定就便于操作了。

通关二、等比中项

如果三个数成等比数列，那么称数为的等比中项，其中。

要点诠释：

（1）只有当与与同号即时，才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项，当与异号或有一个为零，即时，与与没有等比中项。

（2）任意两个实数，与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一

但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项是等比中项不唯一

（3）当时，成等比数列推不出成等比数列

通关三、等比数列的通项公式

首项为公比为的等比数列的通项公式为：

推导过程：

（1）归纳法

根据等比数列的定义：，可得，所以

当时，上式也成立，所以归纳得出：

（2）叠乘法

根据等比数列的定义可得：,把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得，即，又也符合上式，所以

迭代法

，所以

要点诠释：

（1）通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列得首项和公比确定，改等比数列就唯一确定了.

（2）通项公式中共涉及四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量.

通关四、等比数列中的函数关系

等比数列中，，若设，则.

（1）当时，，等比数列是非零常数列，它的图像是在直线上均匀排列的一群孤立的点.

（2）当且时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图像是分布在曲线，且上的一些孤立的点.

结论一、通项公式及其变形

等比数列通项（变形公式），即可以用数列中的任意一项来表示

【例1】等比数列满足，则（ ）

 A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】 把代入得，得或（舍去），

.故选B

【变式】 已知是等比数列，，则（ ）

 A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】设公比为，因为 ，所以，所以

，故选C

结论二、公比的表示

等比数列中，注意的奇偶性，如为偶数，则公比为两个.

【例2】在等比数列中，，则公比的值为（ ）

 A. B.  C.  D.

【答案】A

【解析】由可得，所以，故选A

【变式】等比数列中，，则公比的值为（ ）

 A. B.  C.  D.

【答案】C

【解析】设公比为两式相除，得，则，所以，故选C

结论三、下标和相等，项之积相等

等比数列中，若，则.特别地，若，则.

要点诠释：左面几项对应右面几项，即左、右项数必须相等，如.

【例3】对任意等比数列，下列说法一定正确的是（ ）

A.成等比数列   B.成等比数列

C.成等比数列   D.成等比数列

【答案】D

【解析】A选项中,，故A选项说法错误；B选项中，故B选项说法错误；C选项中，故C选项说法错误；D选项中，故D选项说法正确.故选D.

【变式】已知数列为等比数列，若，则的值为（ ）.

A.10    B.20   C.100   D.200

【答案】C

【解析】与条件联系，可将所求表达式向，靠拢，从而，即所求表达式的值为100.故选C.

结论四、等差数列与等比数列相互转化

1.       若为等差数列为等比数列；
2.       若为正项等比数列为等差数列.

【例4】等比数列的各项均为正数，且，则 .

【答案】5

【解析】.又等比数列中，，即.故.

【变式】在各项均为正数的等比数列中，若，则等于（ ）.

A.6     B.7     C.8     D.9

【答案】B

【解析】由等比数列性质可得，，所以.故选B.

结论五、等比数列的构造

1.       是等比数列，则，成等比数列；
2.       ，是等比数列，则，，成等比数列；
3.       是等比数列，则每隔相同的项抽项，抽出的项亦成等比数列，即，仍是等比数列，公比为.

【例5】等比数列中，，，则等于（ ）.

1.         B.    C.   D.

【答案】A

【解析】因为数列是等比数列，所以，，，，仍然为等比数列.所以此数列的公比为.是此数列的第10项，所以.故选A.

【变式】设是等比数列，且，，则（ ）.

A.12    B.24    C.30   D.32

【答案】D

【解析】设等比数列的公比为，则，，因此，

.故选D.

结论六、对称项设法

1.       当等比数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公比为向两边分别设项：；
2.       当等比数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，，再以公比为向两边分别设项：.

【例6】已知等比数列中，，则其前3项的和的取值范围是（ ）

1.        B.
2.        D.

【答案】D

【解析】因为，前三项可设为：.当时，；当时，.故选D.

【变式】已知-9，，，-1四个实数成等差数列，-9，，，-1五个实数成等比数列，则的值等于（ ）.

1.     -8    B.8     C.    D.

【答案】A

【解析】设等差数列的公差为，等比数列的共比为，则有，解得，，所以.故选A.

结论七、等比数列的单调性

1.       当，或，时，是递增数列；
2.       当，或，时，是递减数列；
3.       当时，是摆动数列；
4.       当时，是常数列；

【例7】设是等比数列，则“”是数列递增数列的（ ）.

A.充分而不必要条件     B.必要而不充分条件

C.充分必要条件      D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】当时，由得；当时，由得，所以是递增数列.故选C.

【变式】已知为等比数列，下面结论中正确的是（ ）.

1.           B.

C.若，则     D.若，则

【答案】B

【解析】设等比数列的公比为，则，当且仅当，同为正时，成立，故A选项不正确；，所以，故B选项正确；若，则，所以，所以或，故C选项不正确；若，则，所以，其正负由得符号确定，故D选项不正确.综上，故选B.

结论八、等比数列的判定与证明方法

1.       定义法：（为常数且）数列是等比数列.
2.       等比中项法：数列是等比数列.
3.       通项公式法：数列是等比数列.
4.       前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列.

注意：

（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.

（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.

【例8】设为等比数列，给出四个数列：①，②，③，④其中一定为等比数列的是（ ）.

1.     ①③   B.②④    C.②③    D.①②

【答案】D

【解析】设，则有①，所以数列是等比数列；②，所以数列是等比数列；③不是一个常数，所以数列不是等比数列；④不是一个常数，所以数列不是等比数.综上数列①②为等比数列.故选D.

【变式】已知数列的前项和.

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：对任意的，都存在，使得，，成等比数列.

【解析】（1）因为，所以当时，.当时，.因此当时，也成立.所以数列的通项公式为.

（3）（2）对任意的，假设都存在，使得，，成等比数列，则，所以，化为，因为，所以，因此对任意的，假设都存在，使得，，成等比数列.