第34讲 等差数列通项公式及性质-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

第34讲 等差数列通项公式及性质

【知识通关】

通关一、等差数列的定义

1.文字语言形式

一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这 个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用字母表示.

要点诠释：

(1)公差一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;

(2)共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）.

2.符号语言形式

对于数列,若 为常数)或为常数 ,则此数列是等差数列,其中常数叫作等差数列的公差.

要点诠释：定义中要求“同一个常数”,必须与无关.

通关二、等差中项

如果成等差数列,那么叫作与的等差中项,即.

要点：诠释

(1)两个数的等差中项就是两个数的算术平均数.任意两实数的等差中项存在且唯一.

(2) 三个数成等差数列的充要条件是.

通关三、等差数列的通项公式

首项为,公差为的等差数列的通项公式为:

推导过程：

(1) 归纳法 根据等差数列定义可得,所以,

,

,

.

当时,上式也成立.所以归纳得出等差数列的通项公式为:.

(2) 叠加法 根据等差数列定义,有:

,

,

,

.

把这个等式的左边与右边分别相加(叠加),并化简得,所以.

(3) 迭代法 .

所以 .

要点诠释：

(1) 通项公式由首项 和公差 完全确定,一日一个等差数列的首项和公差确定, 该等差数列就唯一确定了.

(2) 通项公式中共涉及 四个量,已知其中任意三个量,通过解方程,便可求出第四个量.

通关四、等差数列中的函数关系

等差数列中,,令, 则 :

（是常数且为公差）.

(1) 当时,为常数函数,为常数列;它的图像是在直线上均匀排列的一群孤立的点.

(2) 当 时, 是 的一次函数; 它的图像是在直线 上均

匀排列的一群孤立的点.

(1)当时,一次函数单调增, 为递增数列;

(2)当时,一次函数单调减, 为递减数列.

结论一、通项公式理解

由等差数列的通项公式 可知：

(1) 已知等差数列的首项和公差, 可以求得这个数列的任何一项;

(2) 已知 这四个量中的任意三个, 可以求得第四个量.

【例1】在等差数列 中,

(1)若 , 求 和 ;

(2) 若 , 求 .

【变式】在等差数列中,首项,公差,若,则的值为（ ）.

 A.37 B. 36 C. 20 D. 19

结论二、通项公式变形

等差数列满足:.

【例2】已知等差数列前9项的和为,则 （ ）.

A.100 B. 99 C. 98 D. 97 

【变式】是公差为的等差数列,如果,那么 等于（ ）.

A. B.  C.  D.

结论三、公差的几何意义

公差等于等差数列中任意两项之差与序号之差之比 (即斜率),表示为:.

【例3】在等差数列中,已知,求.

在等差数列中,已知,求.

【变式】已知等差数列中,,则____________.

结论四、下标和相等, 项之和相等

等差数列中,若 ,则;若,则有

【例4】已知等差数列中,,则的值是（ ）.

A.15 B. 30 C. 31 D. 64

【变式】已知等差数列的前项和为,若,则____________.

结论五、等差数列线性组合仍为等差数列

若和均为等差数列,则（为常数)也是等差数列.

【例5】已知数列满足,则“数列为等差数列”是“数列 为等差数列”的（ ）.

1. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 

【变式】设数列都是等差数列,若,则____________.

结论六、下标成等差, 项也成等差

若是等差数列,则 组成公差为的等差数列.

【例6】 若为等差数列,,则___________.

【变式】已知等差数列中,,则___________.

结论七、对称项设法

1.当等差数列的项数为奇数时,可设中间一项为,再以公差为向两边分别设项: ;

2.当等差数列的项数为偶数时,可设中间两项分别为,再以公差为向两边分别设项: .

【例7】设有四个数的数列前三个数构成一个等比数列,其和为,后三个数构成一个等差数列,其和为15,且公差非零.对于任意固定的实数,若满足条件的数列个数大于1,则的取值范围为__________.

【变式】一等差数列由3个数组成,3个数之和为9,3个数的平方和为 35 ,求这个数列.

结论八、等差数列的判定与证明

等差数列的判定与证明方法有以下四种：

1. 定义法:（常数) 或为等差数列.

2. 等差中项法: 为等差数列.

3. 通项公式法: （是常数,）为等差数列.

4. 前项和公式法:为常数为等差数列.

若判断一个数列不是等差数列,只需找出三项,使得这三项不满足即可.

【例8】已知数列满足.

求证:数列是等比数列;

求数列的通项公式;

(3)若数列满足,求证:数列是等差数列.

【变式】在数列 中, 且 .

(1) 设 , 求证:数列 是等比数列;

(2) 设 , 求证:数列 是等差数列.