第54讲 双曲线的定义和性质-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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第54讲 双曲线的定义和性质
【知识通关】
通关一、双曲线的标准方程
当焦点在轴上时，，其中；
当焦点在轴上时，，其中.
要点诠释：
1. 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程；
2. 在双曲线的两种标准方程中，都有，和；
3. 双曲线的焦点总在实轴上：当焦点在轴上时，双曲线的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，双曲线的焦点坐标为，；
4. 在两种标准方程中，可以根据系数的正负来判定焦点在哪一个坐标轴上.
通关二、双曲线的几何性质
标准方程


图形




标准方程


几何性质
范围
，
，
对称性
对称轴： 轴， 轴；对称中心：原点.
焦点
，
，
顶点
，
，
轴
线段 ， 分别是双曲线的实轴和虚轴；
实轴长为 ，虚轴长为
焦距

离心率

渐近线


，，的关系


通关三、求双曲线的方程的两种方法
1. 定义法
根据双曲线定义，确定，的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：
（1）；
（2）双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于.
注意：求轨迹方程时，满足条件：为双曲线的一支，应注意条件合理取舍.
2. 待定系数法
（1）一般步骤
①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；
②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程；
③列：根据题意，列出关于，，的方程或方程组；
④解：求解得到方程.
（2）常见设法
①与双曲线共渐近线的双曲线可设为；
②若双曲线的渐近线方程为，则可设为；
③若双曲线过两个已知点，则可设为；
④与双曲线共焦点的双曲线方程可设为；
⑤与椭圆有共同焦点的双曲线方程可设为
.
结论一、双曲线定义的理解
1. 设双曲线上的点M到两焦点，的距离之差的绝对值为，则有，这一条件不能忽略.
①若，则点M的轨迹是分别以为端点的两条射线；
②若，则点M的轨迹不存在；
③若，则点M的轨迹是线段的垂直平分线.
2. 若将双曲线的定义中“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支可借助图形来确定.
【例1】到两定点，的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线 D. 两条射线
【答案】D
【解析】到两个定点的距离之差的绝对值小于两个定点间距离的点的轨迹是双曲线，等于两个定点间距离时，双曲线退化成两条射线，分别以两个定点为射线的两个端点.时，这三点共线，且点A在 ， 之外.也可通过求轨迹方程的办法求出，此时要注意自变量的取值范围.
【变式】已知点 ， ，动点P满足条件 ，则动点P的轨迹方程为____.
【答案】
【解析】由，结合双曲线定义可知动点P的轨迹为以M，N为焦点的双曲线右支，双曲线中 ， ，所以 ， ，所以 ，轨迹方程为.
结论二、双曲线上点的性质
若P为双曲线上一点，，为双曲线的左、右焦点，则 .
【例2】 若双曲线E：的左右焦点分别为，，点P在双曲线E上，且，则等于（ ）
A. 11 B. 9C. 5D. 3
【答案】B
【解析】由双曲线定义得 ，即 ，解得 ，故选B.

【变式】P是双曲线的右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】由题意得双曲线的焦点分别为 ， ，且这两点刚好为两圆的圆心.由题意可得，当且仅当P与M， 三点共线，以及P与N， 三点共线时所求的值最大，此时 .故选D.
结论三、焦点三角形周长拓展
过双曲线上一个焦点作弦AB（交到同一支上），与另一个焦点F构造三角形FAB，则的周长等于.


【例3】 如图，已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与左支交于A，B两点，若，且实轴长为8，则 的周长为____.

【答案】26
【解析】由双曲线的定义知， ，，两式相加得.
又， ，故，故 的周长为 .
【变式】设，为双曲线的两个焦点，过的直线交双曲线的同支于A，B两点，如果，则的周长的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由双曲线的定义有 ，，于是的周长为 ，最大值当 时取得，最大值为.故选D.
结论四、双曲线的标准方程
对于方程，
（1）表示双曲线的充要条件为；
（2）表示焦点在轴上的双曲线的充要条件为，；
（3）表示焦点在轴上的双曲线的充要条件为，.
【例4】如果方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，，解得 ，故 的取值范围是.故选B.
【变式】 若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，求实数 的取值范围.
【答案】
【解析】由双曲线的焦点在轴上可知，需满足，解得.故实数的取值范围为.
结论五、求双曲线的渐近线
求双曲线或的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令得，或令得.
【例5】 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，得，所以渐近线方程为.故选B.
【变式】双曲线的渐近线方程是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】渐近线方程为，即.故选B.
结论六、双曲线方程的设法
1. 与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为
2. 渐近线为的双曲线方程为
3. 与双曲线有共同焦点的双曲线方程为
4. 与椭圆有共同焦点的双曲线方程为
【例6】 （1）与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线方程是____.
（2）与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程是____.
（3）与椭圆有公共焦点，且经过点 的双曲线的标准方程是____.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）与双曲线有相同的渐近线方程的双曲线方程为，将点代入，得：.所以所求双曲线的方程为，即.
（2）设所求双曲线方程为.因为双曲线过点，所以，解得或（舍去），所以所求双曲线的方程为.
（3）设所求双曲线方程为.因为双曲线过点，所以，解得或（舍去），所以所求双曲线的方程为.
【变式】已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为____.
【答案】
【解析】设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为.
结论七、点到线距离定值
双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长.
【例7】双曲线焦点到渐近线的距离为，则b等于（ ）.
A.1 B. C.2 D.
【答案】B
【解析】焦点到的距离为，故，故选B.
【变式】已知双曲线的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可设双曲线的右焦点为，渐近线的方程为，可得，可得，可得离心率.故选C.
结论八、比值为定值
双曲线的焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率.
【例8】已知双曲线的焦点到渐近线距离与顶点到渐近线距离之比为，则双曲线的渐近线方程为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，双曲线顶点为，焦点为，过作渐近线的垂线，垂足为，所以相似（为坐标原点）.又由题意知，所以，即，又因为，所以，即.所以渐近线方程为：，故选A.
【变式】设双曲线的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为，所以，因为顶点到一条渐近线的距离为1，所以，所以，所以双曲线的方程为，焦点坐标为，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离，故选B.
结论九、等轴双曲线
已知双曲线方程为，当时，称为等轴双曲线.
（1）方程形式为；
（2）渐近线方程为，它们互相垂直；
（3）离心率.
【例9】关于渐近线方程为的双曲线有下述四个结论：①实轴长与虚轴长相等，②离心率是，③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等，④顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离比值为.其中所有正确结论的编号是（ ）.
A.①② B.①③ C.①②③ D.②③④
【答案】C
【解析】①因为渐进线的斜率为，所以①正确；②离心率，所以②正确；③设双曲线的方程为，将代入双曲线方程可得，过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为，与实轴长相等，同理，当焦点在轴上时此结论也成立，所以③正确；④因为顶点到渐近线的距离小于焦点到渐近线的距离，所以④不正确.故选C.
【变式】已知双曲线的两条渐近线互相垂直，焦距为，则该双曲线的实轴长为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为两条渐进线互相垂直，故可得，又因为焦距为，故可得，结合，解得，，，故实轴长.故选B.
结论十、离心率与渐近线斜率关系
在双曲线方程为中，，所以双曲线的渐近线方程可以表示为.
【例10】设双曲线的一条渐近线方程为的离心率为__________.
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，所以，，.
【变式】在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是__________.
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，所以，，.
结论十一、过定点直线与双曲线相交问题
1.若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，当直线与双曲线只有一个交点时，该直线的斜率为；如图（a）所示，，分别与渐近线平行，显然此时与双曲线只有一个交点；
2.若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，当直线与双曲线的左右两支都有交点时，该直线的斜率满足；如图（b）所示，，分别与渐近线平行，如果直线与双曲线的左右两支都有交点，则动直线只需按箭头方向旋转即可；
3.若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，当直线与双曲线的单支有两个交点时，该直线的斜率满足.如图（c）所示，，分别与渐近线平行，如果直线与双曲线的单支有两个交点，则动直线只需按箭头方向旋转即可.

（a） （b） （c）
【例11】斜率为2的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左、右两支分别相交，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
【答案】
【解析】直线与双曲线的两支分别相交，满足（其中为双曲线的两条渐近线的斜率），即，解得.所以双曲线的离心率的取值范围是.
【变式】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，与分别为与双曲线的渐近线平行的两条直线，直线为过点且倾斜角为的直线，要使与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使，所以.故选C.
结论十二、双曲线的通径
过焦点做实轴的垂线与双曲线垂的交点为，，则即为双曲线的通径，.
【例12】已知已为双曲线：的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴.若的斜率为3，则的离心率为__________.
【答案】2
【解析】由题意可得，而，，即，变形得，化简可得，解得或(舍去).
【变式】已知双曲线的离心率为2，过双曲线的右焦点垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为，则__________.
【答案】6
【解析】双曲线的焦距为，则，即，则，由题意知，故，所以.
结论十三、焦点三角形的面积
若点在在上，设，则的面积
.

【例13】设双曲线：的左右焦点分别为，,离心率为.
是上的一点，且.若的面积为4，则（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】A
【解析】因为，所以，.因为
，所以，，即.故选A.
【变式】设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点是上且，则的面积为（ ）.
A. B.3 C. D.2
【答案】B
【解析】由已知，不妨设，，则，.因为，所以点在以为直径的圆上，即是以点为直角顶点的直角三角形，，故选B.
结论十四、焦半径最值
为双曲线的右焦点，若是双曲线右支上的动点，则；若是双曲线左支上的动点，则.
【例14】若椭圆或双曲线上存在一点到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线上存在“点”的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在椭圆中，，，，即，又，故，又，故.在双曲线中，，，，故，又，所以.A选项：，，错误；B选项：，，错误；C选项：，，错误；D选项：，，正确.综上，故选D.
【变式】已知双曲线：的左右焦点分别为，,若双曲线上存在一点使得，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
【答案】D
【解析】在中，由正弦定理可得，则由已知得，即，由双曲线的定义可知，则，即，由双曲线的几何性质可知，则，即，所以，解得，又，故双曲线的离心率.
结论十五、双曲线中的线段和差最值
设双曲线方程为，，分别为双曲线的左、右焦点，为平面上一定点，为双曲线右支上任意一点.
1.若定点与双曲线右焦点在双曲线右支的同侧，则的最小值是，最大值不存在；
2.若定点与双曲线右焦点在双曲线右支的异侧，则的最小值是，最大值不存在.
【例15】已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为__________.
【答案】9
【解析】设双曲线的右焦点为，，，则的最小值为9.
【变式】已知是双曲线的右顶点，动点在双曲线左支上，点为圆上的一点，则的最小值为（ ）
A.9 B.8 C. D.
【答案】A
【解析】设双曲线的左焦点为，则，所以
，故选A
结论十六、黄金双曲线
双曲线中，若a，b，c成等比数列，即,离心率.
【例16】已知双曲线.
（1）若实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则该双曲线的离心率为__________.
（2）若实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则该双曲线的离心率为__________.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题设可知，且，故，得，即，所以.
（2）由题设可知，且，故，即，由可得，解得或（舍去），所以.
【变式】设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设双曲线的方程为，不妨设一个焦点为，虚轴的一个端点为，则.又渐近线的斜率为，所以由题意得（不符合，舍去），则，又双曲线中，故，即，由可得，解得或（舍去），故选D.
结论十七、双曲线焦点弦弦长
已知双曲线中，经过其焦点的直线交双曲线于，两点，直线的倾斜角为，双曲线的离心率为，则焦点弦长.
【例17】过双曲线的右焦点为做一条斜率为的直线与双曲线交于，两点，则为__________.
【答案】32
【解析】由题知，所以，，由焦点弦长公式得，
【变式】过双曲线的右焦点作一条斜率为2的直线与双曲线交于，两点，渐为坐标原点，则的面积为__________.
【答案】
【解析】由题意知，所以，，由焦点弦长公式得，到的距离，.
结论十八、离心率的定义表示
双曲线中，.
【例18】如图，已知为正六边形，若以为焦点的双曲线恰好经过四点，则该双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】设正六边形边长为1，则以为轴，中垂线为轴建立直角坐标系，则，，故.因为，，所以，即，故.所以.
【变式】过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率是__________.
【答案】102
【解析】由 OP=2OE−OF得 OE=12(OF+OP),可知 E为 PF的中点,令右焦点为 F',
则O为FF'的中点,PF'=2OE=a.因为E为切点,所以OE⊥PF,PF'⊥PF,PF−PF'=2a,
PF=3a.又PF2+PF'2=FF'2,则10a2=4c2,e=102.
结论十九、离心率求值的正弦表示
F1,F2为双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左右焦点,P是双曲线上的动点,若∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,则双曲线的离心率为e=sinα+βsinα−sinβ.
【例19】双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30∘的直线交双曲线右支于P点,若PF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为（ ）
A.6 B.3 C.2 D.33
【答案】B
【解析】解法一设 PF2=t,PF1=2t,则 F1F2=3t,即 2a=t,2c=3t,e=2c2a=3.
故选B
解法二e=sin⁡90∘+30∘sin⁡90∘−sin⁡30∘=3故选B.
【变式】已知F1,F2是双曲线E:x2a2−y2b2=1的左、右焦点,点 M在 E上, MF1与 x轴垂直, sin⁡∠MF2F1=13,则E的离心率为（ ）
A2 B.32 C3 D.2
【答案】A
【解析】解法一设MF1=1,则 MF2=3,F1F2=2c=22,2a=MF2−MF1=2,e=2.故选A.
解法二e=sin⁡90∘+∠MF2F1sin⁡90∘−sin⁡∠MF2F1=cos⁡∠MF2F11−13=22323=2.故选A.
结论二十、离心率的焦半径比值表示
若在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上存在一点P,使PF1=λPF2(λ>1),则10,b>0)的两个焦点分别为F1,F2若P为其上一点,且
PF1=2PF2,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A.(1,3) B(1,3] C(3,+∞) D.[3,+∞)
【答案】B
【解析】解法一由双曲线的定义知,||PF1|−|PF2||=2aPF1=2PF2,即
PF1=4a,PF2=2a.又PF1+PF2⩾F1F2=2c,故6a⩾2c,即e⩽3.又e>1,故10),经过其焦点F的直线交双曲线于A,B两
点,直线AB的倾斜角为θ,AF=λFB,双曲线的离心率e满足:|esin⁡θ|=λ−1λ+1或
e=1+1k2λ−1λ+1(其中k=tan⁡θ)
【例21】已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于A,B两点,若AF=4FB,则C的离心率为（ ）
A.65 B.75 C.58 D.95
【答案】A
【解析】由题知λ=4,带入结论e=1+k2λ−1λ+1得e=1+(3)24−14+1=65故选A.
【变式】已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点.若AF=3FB,则k=（ ）
A.3 B10 C11 D23
【答案】C
【解析】由题知λ=3,带入结论e=1+k2λ−1λ+1得√3=√(1+k^2)|(3−1)/(3+1)|,解得k=±√11,因为k>0,所以k=√11,故选C.
结论二十二、斜率乘积定值模型(一)
直线l与双由线x2a2−y2b2=1a>0,b>0相交于A,B两点,若Mx0,y0为AB的中点,则
kAB⋅kOM=b2a2,kAB=b2x0a2y0.
【例22】已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(−12,−15),则E的方程为（ ）
A. x23−y26=1 B. x24−y25=1 C.x26−y23=1 D.x25−y24=1
【答案】B
【解析】解法一设双曲线方程为x2a2−y2b2=1,Ax1,y1,Bx2,y2,代人双曲线方程两式相减可得x1−x2x1+x2a2=y1−y2y1+y2b2,从而x1+x2a2=y1−y2x1−x2×y1+y2b2,即
2×xNa2=kAB×2yNb2,即−24a2=−30b2,整理可得5a2=4b2,又a2+b2=9,两式联立可得
a2=4,b2=5.双曲线方程为x24−y25=1.故选B.
解法二由kAB⋅kOM=b2a2可得−15−12×0−−153−−12=b2a2,即5a2=4b2,c=3.故选B
【变式】已知直线x−2y+1=0与双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0交于A,B两点,且线段AB的中点M的横坐标为1,则该双曲线的离心率为（ ）
A.2 B62 C.52 D.3
【答案】B
【解析】解法一因为直线x−2y+1=0与双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0交于A,B两点,且线段AB的中点M的横坐标为1,所以kOM=1.设Ax1,y1,Bx2,y2,则有x1+x2=2,y1+y2=2,y1−y2x1−x2=12,y1+y2x1+x2=kOM=1,x12a2−y12b2=1x22a2−y22b2=1,两式相减可化为1a2−1b2.
y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=0,可得b2a2=12,所以a=2b,c=3b,双曲线的离心率为ca=32=62.故选B.
解法二由题知M(1,1),由kAB⋅kOM=b2a2得11⋅12=b2a2,可得b2a2=12,所以a=2b,
c=3b,双曲线的离心率为ca=32=62.故选B
结论二十三、斜率乘积定值模型(二)
经过原点的直线l与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)相交于M,N两点,P是双曲线上的动点,直线PM,PN的斜率都存在,则kPM⋅kPN为定值b2a2=e2−1
【例23】过原点的直线与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于M,N两点,P是双曲线上异于M,N的一点,若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为54,则双曲线的离心率为________.
【答案】32
【解析】解法一由双曲线的对称性,可设Px0,y0,Mx1,y1,则N−x1,−y1,由kPM⋅kPN=54,得y0−y1x0−x1⋅y0+y1x0+x1=54,即y02−y12=54x02−x12,即54x02−y02=54x12−y12又
因为 Px0,y0,Mx1,y1均在双曲线上,所以 x02a2−y02b2=1,x12a2−y12b2=1,所以 b2a2=54.所以
双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=32.
解法二kPM⋅kPN=b2a2=e2−1=54,所以e=32
【变式】Px0,y0x0≠±a是双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左、右顶点,直线PM,PN的斜率之积为15,则双曲线的离心率为________.
【答案】305
【解析】解法一点Px0,y0x0≠±a在双曲线x2a2−y2b2=1上,有x02a2−y02b2=1.由题意
又有y0x0−a⋅y0x0+a=15,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则e=ca=305
解法二kPM⋅kPN=b2a2=e2−1=15,所以e=305.