初中数学沪科版八年级下册19.3 矩形 菱形 正方形图文课件ppt

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正方形的定义正方形的性质正方形的判定
1.正方形的定义  有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形 .
特别提醒1. 正方形必须具备的两个条件 :(1)四条边相等 .(2)四个角都是直角 .2. 正方形的四条边都相等，说明正方形既是平行四边形，又是菱形；正方形的四个角都是直角，说明正方形是矩形，即正方形不仅是平行四边形，也是矩形和菱形.
2. 特殊四边形定义间的关系
如图19.3－34，在△ ABC 中，∠ ABC=90°，BD 平分∠ ABC 交AC 于点D，DE ⊥ BC于 E，DF ⊥ AB于 F，求证：四边形BEDF 是正方形.
解题秘方：紧扣定义中“四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形”进行判定.
证明： ∵ DE ⊥ BC，DF ⊥ AB，∠ ABC=90°，∴∠ DEB=∠ EBF=∠ BFD=90°.∴四边形BEDF 是矩形.∴∠ DEB= ∠ EBF= ∠ BFD= ∠ FDE=90°，BE=FD，BF=ED.∵ BD 平分∠ ABC，DE ⊥ BC，DF ⊥ AB，∴ DE=DF. ∴ DE=DF=BF=BE. ∴四边形BEDF 是正方形.
解法提醒利用正方形定义判定正方形，它是建立在四边形的基础上，因此，既要有四条边相等，又要有四个角都是直角，两者缺一不可 .
1.正方形的性质  具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即：(1) 边： 四条边相等，邻边垂直，对边平行；(2) 角： 四个角都是直角；
(3) 对角线： 对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；(4) 是轴对称图形，有 4 条对称轴；(5) 面积为边长的平方或对角线长平方的一半 .
2. 特殊四边形的性质间的关系
特别提醒1. 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图19.3－35所示.
2.正方形的特殊性质：(1) 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；(2) 周长相等的四边形中，正方形的面积最大 .
解题秘方：从正方形中获取边、角相等的信息.
如图 19.3－36 所示，在正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，F为BC 延长线上一点，CE=CF.
解法提醒利用正方形的性质解题，由于正方形的性质较多，解题时不宜一一列出来，需要根据题中已知条件，结合要证明的结论，选择证明结论成立所需要的性质，使解题思路更简洁.
(1)求证：△ BCE ≌△ DCF；
证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴ BC=DC，∠ BCE= ∠ DCF=90° .又∵ CE=CF，∴△ BCE ≌△ DCF.
(2)若∠ BEC=60°，求∠ EFD 的度数.
解：∵△ BCE ≌△ DCF，∠ BEC=60°，∴∠ DFC= ∠ BEC=60° .∵ CE=CF，∠ ECF=90°，∴∠ CFE=45° .∴∠ EFD=∠ DFC－ ∠ CFE=60°－45°=15°.
1. 判定方法(1) 从四边形出发： ①四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形；(2)从平行四边形出发： ①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
(3)从矩形出发： ①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；(4)从菱形出发： ①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形 .
2. 四边形间的关系  四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如下所示 .
特别提醒常见的判定思路：从边上证明. 矩形 正方形；从角上证明.菱形 正方形；
从对角线上证明.(1)矩形 正方形；(2)菱形 正方形；(3)平行四边形 正方形；(4)四边形 正方形；
对角线相等且互相垂直平分
如图 19.3 － 37，已知在正方形 ABCD 中，对角线 AC与 BD 交于点 O，点 E， F， G， H 分别在 AB， AD， DC， BC上，若 EG，FH 均过点 O，且 EG ⊥ FH. 求证：四边形 EFGH是正方形 .
解题秘方：紧扣正方形的几种判定方法，找准切入点是解决问题的关键 .
证明： ∵四边形 ABCD 为正方形，∴ OB=OC，∠ ABO= ∠ BCO=45°，∠ BOC=90° = ∠ COH+∠ BOH.∵ EG ⊥ FH，∴∠ BOE+ ∠ BOH=90°，∴∠ COH= ∠ BOE，∴△ CHO ≌△ BEO， ∴ OH=OE.同理可得 OE=OF=OG=OH，∴ OE+OG=OF+OH，即 EG=HF.又 EG ⊥ FH，∴四边形 EFGH 为正方形 .
方法点拨判定四边形是正方形的方法1. 如果已知条件是平行四边形，需证它既是矩形又是菱形；2. 如果已知条件是四边形，若按边角关系证明，则需证它的四条边相等，四个角是直角；若按特殊四边形证明，则要先证它是平行四边形，再证它既是矩形又是菱形
3. 如果已知条件是矩形，再证它的邻边相等或对角线互相垂直即可；4. 如果已知条件是菱形，再证它有一个角是直角或对角线相等即可.