专题05 反比例函数-5年（2018-2022）中考1年模拟数学分项汇编（江西专用）

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专题05 反比例函数

1．（2019·江西·中考真题）已知正比例函数的图象与反比例函数图象相交于点，下列说法正确的是（       ）
A．反比例函数的解析式是
B．两个函数图象的另一交点坐标为
C．当或时，
D．正比例函数与反比例函数都随的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
【详解】
解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
正比例函数，反比例函数
两个函数图象的另一个角点为
，选项错误
正比例函数中，随的增大而增大，反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小，
选项错误
当或时，
选项正确
故选C．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．
2．（2018·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，分别过点,作轴的垂线和 ,探究直线和与双曲线 的关系，下列结论中错误的是
A．两直线中总有一条与双曲线相交
B．当=1时，两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等
C．当 时，两条直线与双曲线的交点在轴两侧
D．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2
【答案】D
【解析】
【详解】
【分析】根据题意给定m特定值、非特定值分别进行讨论即可得.
【详解】当=0时，与双曲线有交点，当=-2时，与双曲线有交点，
当时，和双曲线都有交点，所以正确，不符合题意；
当时，两交点分别是(1，3)，(3，1)，到原点的距离都是，所以正确，不符合题意；
当 时，在轴的左侧，在轴的右侧，所以正确，不符合题意；
两交点分别是)，两交点的距离是 ，当无限大时，两交点的距离趋近于2，所以不正确，符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了垂直于x轴的直线与反比例函数图象之间的关系，利用特定值，分情况进行讨论是解本题的关键，本题有一定的难度.
3．（2022·江西·中考真题）已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为__________．

【答案】5或或
【解析】
【分析】
因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．
【详解】
解：①当AO=AB时，AB=5；
②当AB=BO时，AB=5；
③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0），
设A（a，）（a>0），
∵OA=5，
∴，
解得：，，
∴A（3，4）或（4，3），
∴AB=或AB=；
综上所述，AB的长为5或或．
故答案为：5或或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键．
4．（2022·江西·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，点B在y轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且．

(1)点B的坐标为__________，点D的坐标为__________，点C的坐标为__________（用含m的式子表示）；
(2)求k的值和直线的表达式．
【答案】(1)（0，2），（1，0），（m＋1，2）
(2)1；y＝-2x＋6
【解析】
【分析】
（1）根据OB＝2可得点B的坐标，根据OD＝1可得点D的坐标为（1，0），由平移规律可得点C的坐标；
（2）根据点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值，再利用待定系数法可得直线AC的解析式．
(1)
∵点B在y轴上，，
∴B（0，2），
∵点D落在x轴正半轴上，且
∴D（1，0），
∴线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段CD，
∵点A（m，4），
∴C（m＋1，2），
故答案为：（0，2），（1，0），（m＋1，2）；
(2)
∵点A和点C在反比例函数的图象上，
∴k＝4m＝2（m＋1），
∴m＝1，
∴A（1，4），C（2，2），
∴k＝1×4＝4，
设直线AC的表达式为：，
∴ 解得，
∴直线AC的表达式为：y＝-2x＋6．
【点睛】
此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和OD的长得出平移的规律是解题关键．
5．（2021·江西·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在中，，，点坐标为．

（1）求的值；
（2）求所在直线的解析式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正比例函数求解的坐标，再代入反比例函数的解析式求解即可得到答案；
（2）如图，过作于 过作于 证明利用全等三角形的性质求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可．
【详解】
解：（1）

在上，
则
把代入中，则
（2）如图，过作于 过作于









设为

解得：
所以为
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质，一次函数与反比例函数的基本性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，熟练应用以上知识是解题的关键．
6．（2020·江西·中考真题）如图，中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连结，，并延长交于点，当时，点恰为的中点，若，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的度数．

【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理求得AD=OD=2，A(2，2)，代入函数关系式求解即可；
（2）先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CE=BE，∠AEC=2∠ECB，又由OA=AE可得∠AOE=∠AEO=2∠ECB，由平行线的性质可知∠ECB=∠EOD，所以∠EOD=∠AOD，代入求解即可．
【详解】
（1）∵AD⊥x轴，∠AOD=45°，OA=，
∴AD=OD=2，
∴A(2，2)，
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=2×2=4，
即反比例函数的解析式为．
(2)∵△ABC为直角三角形，点E为AB的中点，
∴AE=CE=EB，∠AEC=2∠ECB，
∵AB=2OA ，
∴AO=AE，
∴∠AOE=∠AEO=2∠ECB，
∵∠ACB=90°，AD⊥x轴，
∴BC//x轴，
∴∠ECB=∠EOD，
∴∠AOE=2∠EOD，
∵∠AOD=45°，
∴∠EOD=∠AOD=．
【点睛】
本题考查了反比例函数的解析式、含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质和等腰三角形的性质等知识点，根据题意找出角之间的关系是解题的关键．
7．（2018·江西·中考真题）如图，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于(1,),两点，点在第四象限，∥ 轴，.
       (1)求的值及点的坐标；
       (2)求的值.

【答案】（1），；（2）2.
【解析】
【详解】
【分析】（1）先根据点A在直线y=2x上，求得点A的坐标，再根据点A在反比例函数 的图象上，利用待定系数法求得k的值，再根据点A、B关于原点对称即可求得点B的坐标；
（2）作BH⊥AC于H，设AC交轴于点D，根据 ， ，可得，再由已知可得，从而得，求出即可.
【详解】（1）∵点(1，)在上，
∴=2，∴(1，)，
把(1，)代入 得，
∵反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于，两点，
∴ 两点关于原点中心对称，
∴ ；
（2）作BH⊥AC于H，设AC交轴于点D，
∵ ， ，∴，
∵∥ 轴，∴∥轴，∴，∴，
∴.

【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠C=∠AOD是关键.





1．（2022·江西上饶·二模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则这个反比例函数的解析式为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，根据图中给出的坐标即可求出该反比例函数解析式．
【详解】
根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，在该函数图象上有一点(6,8)，
故设反比例函数解析式为I=，
将(6,8)代入函数解析式中，
解得k=48，
故I=
故选C．
【点睛】
本题主要考查反比例函数解析式的求解方法，掌握求解反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．
2．（2022·江西南昌·一模）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（     ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可．
【详解】
解：∵反比例函数，
∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，
∵，
∴a＞a+1，
此不等式无解；
②若点A在第二象限，且点B在第四象限，
∵，
∴，
解得：；
③由y1＞y2，可知点A在第四象限，且点B在第二象限这种情况不可能，
综上，的取值范围是，
故选：B．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．
3．（2022·江西·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为（       ）

A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的性质确定点P位置，再求出CP的长即可．
【详解】
解：∵一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点，
∴A（0，2），B（2，0），
∴OA=OB=2，
∵为线段的中点，
∴C（1，1）,
∴一次函数与反比例函数的图象是关于直线y=x对称，
∵点C在直线y=x上，
∴当点P在直线y=x上时，线段CP最小，
∴点在反比例函数的图象上，
∴P（2，2），
∴，
∴的最小值为
故选：B
【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的图像与性质及线段最短问题，数形结合是解题的关键．
4．（2022·江西上饶·一模）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，将线段沿x轴方向向右平移5个单位长度得到线段，与双曲线交于点N，点M在线段上，连接，若四边形是菱形，则（       ）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
设点M的坐标为（m，-m+5），由MB2=m2+（-m+5-5）2=52，求出点M的坐标，进而求解．
【详解】
解：对于y=-x+5，令x=0，则y=5，故点B的坐标为（0，5），
由题意得：MN=5，
∵四边形MNB'B是菱形，则MB=MN=5，
设点M（m，-m+5），
则MB2=m2+（-m+5-5）2=52，
解得m=±3（舍去-3），
故点M的坐标为（3，1），
则点N（8，1），
将点N的坐标代入反比例函数表达式得：k=8×1=8，
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点和菱形的性质，平移的性质，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
5．（2022·江西·石城县教育局教研室二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分，反比例函数的图象经过AE上的两点A，F，且，的面积为18，则k的值为（       ）

A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【解析】
【分析】
先证明OB∥AE，得出S△ABE=S△OAE=18，设A的坐标为（a，），求出F点的坐标和E点的坐标，可得S△OAE=×3a×=18，求解即可．
【详解】
解：如图，连接BD，

∵四边形ABCD为矩形，O为对角线，
∴AO=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
又∵AD为∠DAE的平分线，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OB∥AE，
∵S△ABE=18，
∴S△OAE=18，
设A的坐标为（a，），
∵AF=EF，
∴F点的纵坐标为，
代入反比例函数解析式可得F点的坐标为（2a，），
∴E点的坐标为（3a，0），
S△OAE=×3a×=18，
解得k=12，
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，得出S△ABE=S△OAE=18是解题关键．
6．（2022·江西吉安·二模）如图，△ABO是等边三角形，其中点O与原点重合，点B的坐标为（6，0），点A在反比例函数的图象上，数学兴趣小组对等边△ABO进行变换操作，得到如下结论：

①将等边△ABO沿AO方向平移6个单位长度，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；
②将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一个顶点在反比例函数的图象上；
③将等边△ABO以点O为位似中心，位似比为1，得到的位似图形恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；
④将等边△ABO以直线或直线为对称轴进行翻折，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上．
其中正确的是（       ）
A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象的对称性，通过画出相应图形，可得处结论．
【详解】
解：过点A作AH⊥OB于点H，
∵△ABC是等边三角形
∴AB=OA=OB=6，∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°
∴OH=3，
∴A的坐标为（ ， ）
∴反比例函数表达式为

①如图所示，△ABO沿AO方向平移6个单位长度，点A恰好与O重合，点O平移到E点，此时OE=OA=6，
∴A、E关于原点对称，
∴点E在反比例函数图象上，①正确．

②若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，点A恰好落在A轴上（0，6），此时，点B恰好落在（ ， ），
∵
∴B的对应点落在反比例函数图象上；
若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转60°，点B恰好落在（ ， ）处，在反比例函数图象上；
若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转180°，点A恰好落在为（- ，- ），
∵
∴A的对应点落在反比例函数图象上；
若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转210°，点A恰好落在A轴上（0，-6），此时，点B恰好落在（- ，- ），
∵
∴B的对应点落在反比例函数图象上；
若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转240°，点B恰好落在（- ，- ）处，在反比例函数图象上；
∴将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一个顶点在反比例函数的图象上，②正确．
③将等边△ABO以点O为位似中心，位似比为1，相当于将A绕点O旋转180°，点A的对应点恰好落在为（- ，- ），在反比例函数图象上，③正确．
④根据反比例函数图象的对称性，将等边△ABO以直线或直线为对称轴进行翻折，点A的对应点都在反比例函数的图象上，④正确．
故选：D
【点睛】
本题考查反比例函数图象的对称性质，轴对称、旋转、位似、翻折等，灵活运用反比例函数对称性是解题的关键．
7．（2022·江西萍乡·一模）已知是一元二次方程的两个实数根，且点在反比例函数的图象上，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得到ab=-3，再根据反比例函数图象上点的坐标特征2k-1=ab，则k=-1．
【详解】
∵a、b是一元二次方程的两个实数根，
∴ab=-3，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，即，
∴2k-1=-3，
∴k=-1．
故答案为：-1．
【点睛】
考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了根与系数的关系．
8．（2022·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点，若，则______．

【答案】
【解析】
【分析】
根据是等腰直角三角形，轴，得到是等腰直角三角形，再根据求出 A点，C点坐标，根据中点公式求出D点坐标，将D点坐标代入反比例函数解析式即可求得k．
【详解】
∵是等腰直角三角形，轴．
∴；．
∴是等腰直角三角形．
∴．
故：，．
．
将D点坐标代入反比例函数解析式．
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查平面几何与坐标系综合，反比例函数解析式；本体解题关键是得到是等腰直角三角形，用中点公式算出D点坐标．
9．（2022·江西·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，，与反比例函数的图象交于点，点在线段上，为的中点，且．求点的坐标和的值．

【答案】点的坐标为，
【解析】
【分析】
方法一：据点，且即可求得点的坐标，过点作轴的垂线，得，利用相似三角形的性质即可求得点的坐标，为的中点即可求得的值．
方法二：根据题意求得点的坐标，即可求得直线表达式，由点在直线即可求得点的坐标，利用为的中点即可求得的值．
【详解】
解：方法一：∵点的坐标为，
∴，
∵，点在轴上，
∴点的坐标为，
过点作轴的垂线，垂足为，
∵，点在直线上，
∴，
∴，
，
∴若设点坐标为，则有，解得，
∴点的坐标为，
∵为的中点，
∴点的横坐标为，纵坐标为，即得，
∴由点在反比例函数上，得，．

方法二：∵点的坐标为，
∴，
∵，点在轴上，
∴点的坐标为，
设直线表达式为，
将，代入得解得，
∴直线表达式为，
∵，点在第一象限，
∴点横、绁坐标相等，
设，
∴，解得，
∴点的坐标为，
∵为的中点，
∴点的横坐标为，纵坐标为，即得，
∴由点在反比例函数上，得，．
【点睛】
本题考查了反比例函数及一次函数的综合，解题关键灵活运用三角形相似的性质及待定系数法求一次函数的解析式．
10．（2022·江西景德镇·三模）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=−的图象相交于A(−1，m)和B(n，−1)两点．

(1) m=______，n=______；
(2)求出一次函数的解析式，并结合图象直接写出不等式kx+b>−的解集．
【答案】(1)2，2
(2)一次函数的解析式为y=-x+1，不等式kx+b＞-的解集是x＜-1或0＜x＜2．
【解析】
【分析】
（1）先把A（-1，m），B（n，-1）分别代入反比例函数解析式可求出m、n，于是确定A点坐标为（-1，2），B点坐标为（2，-1），然后利用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）根据A、B的坐标，利用待定系数法求得一次函数的解析式，观察图象即可求得不等式的解集．
(1)
解：把A（-1，m），B（n，-1）分别代入y=-得m=2，-1=-，
解得m=2，n=2；
故答案为：2，2；
(2)
解：∵A（-1，2），B（2，-1），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为y=-x+1，
观察图象，不等式kx+b＞-的解集是x＜-1或0＜x＜2．
【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
11．（2022·江西赣州·一模）如图，已知点A，D是正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象的交点，AB⊥x轴于点B，AB＝4．在x轴的负半轴上有一点C（﹣6，0），且∠ACB＝∠OAB．

(1)求反比例函数关系式；
(2)求点D坐标．
【答案】(1)反比例函数关系式为y=；
(2)点D坐标为（-2，-4）．
【解析】
【分析】
（1）由∠ACB=∠OAB得到Rt△BAO∽Rt△BCA，利用三角形相似的性质得OB：BA=BA：BC，即OB：4=4：(6+OB)，求出OB，得到A点坐标，从而确定A点坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）根据函数的对称性质，即可求解；
(1)
解：∵C点坐标为（-6，0），
∴OC=6，
∵∠ACB=∠OAB，
∴Rt△BAO∽Rt△BCA，
∴OB：BA=BA：BC，即OB：4=4：(6+OB)，
解得OB=2(负值已舍)，
经检验，OB=2是方程的解，
∴A点坐标为（2，4）；
∵反比例函数y＝的图象经过A点，
∴k2=4×2=8，
∴反比例函数关系式为y=；
(2)
解：∵点A，D是正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象的交点，且A点坐标为（2，4），
∴点D坐标为（-2，-4）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，相似三角形的判定和性质，数形结合是解题的关键．
12．（2022·江西·南城县教育体育事业发展中心一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）6
【解析】
【分析】
（1）因为一次函数与反比例函数交于点，将代入到一次函数解析式中，可以求得点坐标，从而求得，得到反比例函数解析式；
（2）因为轴，所以，利用一次函数解析式可以求得它与轴交点的坐标，由，，三点坐标，可以求得和的长度，并且轴，所以，即可求解．
【详解】
解：（1）∵点是直线与反比例函数交点，
∴点坐标满足一次函数解析式，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵轴，
∴，轴，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为6
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．
13．（2022·江西·宜春市第八中学一模）如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．

（1）求k的值；
（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．
【答案】（1）k=-12； （2）x＜﹣2或0＜x＜2．
【解析】
【详解】
试题分析：(1)过点A作AD垂直于OC,由,得到,确定出△ADO与△ACO面积,即可求出k的值;  (2)根据函数图象,找出满足题意x的范围即可.
解：（1）如图，过点A作AD⊥OC，

∵AC=AO，
∴CD=DO，
∴S△ADO=S△ACD=6，
∴k=-12；
（2）根据图象得：当y1＞y2时，x的范围为x＜﹣2或0＜x＜2．
14．（2022·江西南昌·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．


(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)请你在反比例函数的图象上找一点，使得和的面积相等，并求出点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数为；
(2)点P的坐标为：
【解析】
【分析】
(1)根据A的坐标求出k的值，把A、B的坐标代入一次函数的解析式求出a，b；
(2) 设AB交x轴于点M，则M(4，0)，所以BO=2，OM=4，过点O作OP∥AB，交反比例函数于点P，则此时S∆AOP=S∆BOP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，可以求出P的坐标．
(1)
将A(6，1)代入y= 中，
得k=1×6=6
所以反比例函数为：
而 与y轴交于B，
将A，B两点代入中得到
；
解得
所以一次函数的解析式为 ；
(2)
设AB交x轴于点M，
令y=0，
则，得到x=4，
则M(4，0)，
∵B(0，-2)，
∴BO=2，OM=4，
过点O作OP∥AB，交反比例函数 于点P，则此时S∆AOP=S∆BOP，
过点P作PQ⊥x轴于点Q，

∵OP∥AB
∴∠POQ=∠BMO，
∴tan∠POQ=tan∠BMO=
故可设PQ=a，OQ=2a，则
解得a1= ，a2=- (舍去)，
所以2a=2，
所以点P的坐标为：
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用以及三角形的面积，题目是一道比较典型的题目，难度适中．解题的关键是熟悉一次函数以及反比例函数的图像和性质．
15．（2022·江西南昌·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象同时经过点，两点．

(1)则______．
(2)若．
①求反比例函数的解析式；
②延长AB交x轴于C点，求C点坐标．
【答案】(1)
(2)①；②
【解析】
【分析】
（1）把，代入，求出m、n，再求比值；
（2）过A作y轴的垂线，垂足为D点，过B作y轴的平行线，并交DA延长线于E点，构造相似三角形，利用相似三角形的性质求出A、B的坐标，再求反比例函数和直线AB的解析式，就可以求出点C的坐标．
(1)
∵，在反比例函数的图象上，
∴，，
，
故答案为：.
(2)
①过A作y轴的垂线，垂足为D点，过B作y轴的平行线，并交DA延长线于E点，
∴．∴．
∵，∴．∴．∴．
∴．∴．
又，，∴．∴．
故反比例函数解析式为．

②法一：由①可知，，．
设直线AB解析式为，将A，B两点坐标代入，
得解得．
故．当时，．∴C点坐标为．
法二：延长EB交x轴于F点，
∵，，．∴．
∴．
故．

【点睛】
本题考查了反比例函数和一次函数的综合，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，构造相似三角形是解题的关键．
16．（2022·江西九江·三模）如图，Rt△AOD的边OD在x轴上，，，将△AOD先向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到△BCE，点C、B恰好落在反比例函数的图象上，若．

(1)求点A的坐标；
(2)求反比例函数的解析式．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据，，解Rt△AOD求得的坐标；
（2）由（1）得到的坐标，通过平移求得的坐标，待定系数法求解析式即可求解；
(1)
解：∵Rt△AOD的边OD在x轴上，，，
∴，
；
(2)
将△AOD先向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到△BCE，，
，，
，在反比例数的图象上，
，
解得，
，
，
即       ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，平移的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．
17．（2022·江西九江·一模）如图，AB和与x轴垂直，A点坐标是，和是位似三角形，且位似比是，点C是的中点，反比例函数的图象经过点C，与交于点D．

(1)求点D坐标；
(2)连接BD、CD，求四边形ABDC的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用位似三角形的性质先求解 再求解的坐标，可得反比例函数的解析式，从而可得答案；
（2）先确定，再分别计算各三角形的面积即可．
(1)
解：和是位似三角形，且位似比是，

A点坐标是，



点C是的中点，

即反比例函数为：
轴，

即
(2)
如图，






【点睛】
本题考查的是位似三角形的性质，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，图形与坐标，熟练的运运位似图形的性质求解点的坐标是解本题的关键．
18．（2022·江西省临川第二中学三模）如图，点在反比例函数的图象上，⊥轴于点，的垂直平分线交双曲线与点．

(1)若点的坐标为，则点的坐标为 ．
(2)若⊥，点的横坐标为．
①求与之间的关系式；
②连接，，若的面积为6，求的值．
【答案】(1)；
(2)①；②．
【解析】
【分析】
（1）由点A坐标可求得反比例函数解析式，根据PD垂直平分AB可得P点纵坐标，进而可求P点横坐标；
（2）①首先证明△PAB，△DAP和△DBP是等腰直角三角形，可得DA＝DB＝DP＝，表示出P点坐标，代入反比例函数解析式，整理即可得出结果；
②过点P作PC⊥x轴于点C，求出S△AOP＝S梯形PABC＝6，根据梯形的面积公式列式计算即可．
(1)
解：将A代入得：，即，
∵PD垂直平分AB，AB＝8，
∴P点纵坐标为4，
∴P点横坐标为，
∴点的坐标为，
故答案为：；
(2)
①由题意得，点A的纵坐标为，即AB＝，
∵PD垂直平分AB，
∴PA＝PB，
∵⊥，
∴△PAB是等腰直角三角形，
∴∠PAB＝∠PBA＝45°，
∵PD⊥AB，
∴△DAP和△DBP是等腰直角三角形，
∴DA＝DB＝DP＝，
∴P（），
将P（）代入可得：，
整理得：；
②过点P作PC⊥x轴于点C，则四边形PABC是梯形，
∵S△AOB＝S△POC＝，
∴S△AOE＝S四边形PEBC，
∴S△AOP＝S梯形PABC＝6，
∴，整理得：，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴．

【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法的应用，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义等，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
19．（2022·江西萍乡·二模）如图，双曲线经过斜边的中点，交直角边于点，连接，点的坐标为．

(1)求直线的解析式；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求点的坐标为，将点P坐标代入到双曲线中，即可求出，得到，再求出，代入设直线的解析式为，即可求解．
（2）过点作于点，求出QD，OQ的长，即可求得．
(1)
解：∵的中点是，点的坐标为，
∴．
∵双曲线经过点；
∴，
∴．
∵为直角三角形，
∵轴，
∴，两点的纵坐标相等，均为4，
∴．
设直线的解析式为，
∴，解得．
∴直线的解析式为．
(2)
如图，过点作于点，
∵，
∴，解得，
∴在中，．

【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，以及构造直角三角形求三角比，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征．
20．（2022·江西吉安·一模）如图，直线分别与轴、轴交于点，，点，与反比例函数交于点，，点在直线上，且，为的中点．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）运用待定系数法求出AB的解析式，根据题意设E（a，a）代入直线AB的解析式，求出点E的坐标，再根据中点坐标公式求出点C的坐标，从而可解决问题；
（2）联立方程组求得点D坐标即可解决问题．
(1)
∵，
∴点的坐标为．
∵直线过点，，
∴，
解得，即．
∵点在直线上，且，
∴设且，得．
∴．
∵是的中点，
∴点C的横坐标为，纵坐标为，即．
∴，
∴反比例函数的解析式为．
(2)
连接OD，过点D作DF⊥x轴于点F，如图，

联立方程组，
解得或（舍去）．
∴点的坐标为．
∴
∴．
【点睛】
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．（2022·江西赣州·一模）如图，菱形ABCD在第一象限，点A、B分别在y轴、x轴上，对角线轴，点，反比例函数的图象交边AD于点P，且AP∶PD＝1∶2．

(1)求k的值；
(2)将菱形ABCD沿y轴向下平移m个单位，当点D落在反比例函数的图象时，求菱形ABCD平移所扫过的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接BD交AC于点E，根据菱形的性质可得，DE＝BE，AE＝EC．再由轴，，可得DE＝BE＝3，AE＝6．然后过点P作，垂足为G，可得．从而得到，进而得到，可得．即可求解；
（2）先求出点D的坐标为．可得点D的对应点点的坐标为，进而得到．再由菱形ABCD平移所扫过的面积：，即可求解．
(1)
解：连接BD交AC于点E，
在菱形ABCD中，，DE＝BE，AE＝EC．
又∵轴，，
∴DE＝BE＝3，AC=12，
∴AE＝6．
过点P作，垂足为G，
∴．
∴，
∴；
又AP∶PD＝1∶2，即AP∶AD＝1∶3，
∴，
∴PG＝1，AG＝2．
∴．
∴．


(2)
解∶由（1）知DE＝BE＝3，AE＝6．
∴点D的坐标为．
∵菱形ABCD沿y轴向下平移m个单位，
∴点D的对应点点的坐标为，
∵当点D落在反比例函数的图象上，
∴6×（6－m）＝8，解得．
菱形ABCD平移所扫过的面积：．


【点睛】
本题主要考查了反比例函数与几何的综合题，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
22．（2022·江西上饶·二模）图，在直角坐标系中，直线与双曲线分别相交于第二、四象限内的，两点，与x轴相交于C点，与y轴相交于D点．已知，．


(1)点C坐标是______，点D坐标是______；
(2)求，对应的函数表达式；
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)，
(3)9
【解析】
【分析】
(1)根据，即可分别求得；
(2) 首先把C、D点的坐标分别代入，利用待定系数法即可求得直线的表达式；再把A，B的坐标分别代入，即可求得，，据此即可求得反比例函数的表达式；
(3)由即可求得．
(1)
解：，
点C坐标是，

，
点D坐标是；
(2)
解：把C、D点的坐标分别代入，得
则，解得，
∴直线的表达式为，
把A，B的坐标分别代入，得，，
∴，，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
(3)
解：．
【点睛】
本题考查了正切函数的定义，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，求不规则图形的面积，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
23．（2022·江西九江·二模）图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．

(1)求，，的值．
(2)是轴上一点，若，求点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)
【解析】
【分析】
（1）先根据点在反比例函数上求出，然后将点和点代入一次函数解析式即可得出答案．
（2）如图，过点作轴交轴于点，交轴于点，设出点的坐标，根据代入即可得出答案．
(1)
解：将代入，得，
∴点的坐标为．
将和代入，
得，
解得．
(2)
：如图，过点作轴交轴于点，交轴于点．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设点坐标为，则，，，


∴，
解得，
∴点的坐标为．
【点睛】
本题属于反比例与一次函数综合题，解题的关键是读懂题意，设出坐标，应用相似三角形对应边成比例代入求解．
24．（2022·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数，）的图象与反比例函数（k为常数，，）的图象交于A，B两点（点B在点A右侧），一次函数的图象与x轴，y轴分别交于C，D两点．

(1)求的值．
(2)如图，若点B的坐标为，在x轴上是否存在点P，使与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2
(2)（1，0）或（-9，0）
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数分别求出C，D坐标，根据三角函数的定义即可求解；
（2）先求出A，C，D坐标，根据题意作图，分情况讨论，根据相似三角形得到对应线段成比例求解．
(1)
∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于C，D两点．
当x=0时，y=b，
当y=0时，x=，
∴C（，0），D（0，b），
∴OD=b，OC=，
在Rt△CDO中，=，
(2)
∵一次函数的图象经过点B，
∴2=-2×2+b，
解得b=6，
∴C（3，0），D（0，6），
∵反比例函数的图象经过点B，
∴k=2×2=4，
∴，
联立，
解得或，
∴A（1，4），
如图，过A点作AP1⊥x轴，P1（1，0），
∵∠AP1C=∠DOC=90°，∠ACP1=∠DCO，
∴△AP1C∽△DOC，符合题意，此时P1（1，0），
如图，过A点作AC⊥AP2，
故∠P2AP1+∠P1AC=90°=∠P1AC+∠ACP1，
∴∠P2AP1=∠ACP1，
故∠P2AC=∠DOC=90°，∠P2AP1=∠DCO，
∴△AP2C∽△ODC，符合题意，
∵△AP1C∽△DOC，
∴△AP2C∽△P1AC，
∴，
∵P1C=OC-OP1=2，AC=，
故，
∴P2C=10，
∴P2（-9，0），
综上，P点坐标为（1，0）或（-9，0）．

【点睛】
此题主要考查函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图象与性质、解三角形的方法及相似三角形的判定与性质．
25．（2022·江西萍乡·一模）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，其中，反比例函数的图象经过点．

(1)求的值；
(2)若点恰好落在反比例函数的图象上，求平行四边形的面积；
(3)当时，判断反比例函数的图象是否经过的中点，若经过，请说明理由，若不经过，求出与反比例函数图象的交点坐标．
【答案】(1)
(2)平行四边形的面积为144
(3)反比例函数的图象经过的中点；理由见解析
【解析】
【分析】
（1）把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值；
（2）由平行四边形的性质可用m表示出D点的坐标，从而可表示用m表示出E点的坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，则可求得C点坐标，再利用平行四边形的面积进行计算即可；
（3）由（2）可求得D点坐标，从而可求得CD的中点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．
(1)
解：将点代入，得．
(2)
过点作于，过点作于，如图所示：

∵，，，
∴，
∴，，
过点作于，
∵，，
∴，，
∴点的坐标为，代入，得：，
所以，平行四边形的面积为．
(3)
∵四边形平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
设的中点为，过点作轴于点，
∴，，
∴的中点，
∵当时，，
∴反比例函数的图象经过的中点．
【点睛】
本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、中点的求法及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用m表示出E点的坐标是解题的关键，在（3）中求得C、D两点的坐标是解题的关键．
26．（2022·江西吉安·二模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线翻折后，设点O的对应点为点C，已知双曲线经过点C．

(1)求点A，B的坐标．
(2)求k的值．
(3)将直线绕着点A逆时针旋转得到直线，直线与y轴交于点，将沿直线翻折得到，当四边形为正方形时停止转动，求转动过程中点C运动到点的路径长．
【答案】(1)；
(2)
(3)7π
【解析】
【分析】
（1）令x=0和y=0可得点A，B的坐标；
（2）如图1，过点C作CM⊥x轴于M，计算∠ABO=30°，根据翻折的性质和含30°角的性质可得点C的坐标，代入反比例函数y=可得k的值；
（3）如图2，正确画图，发现：转动过程中点C运动到点C′的路径长是以A为圆心，AC为半径的210°的弧长，根据弧长公式可解答．
(1)
当时，，则，
当时，，解得，则．
(2)
如图1，过点C作CM⊥x轴于M，

Rt△ABO中，OA=6，OB=6，
∴，
∴∠ABO=30°，
∴∠BAO=60°．
由翻折得：∠BAC=∠BAO=60°，∠AOB=∠ACB=90°，AC=OA=6，
∴∠CAM=60°，
∴∠ACM=90°-60°=30°，
∴，
由勾股定理得：，
∵OM=OA+AM=6+3=9，
∴点C的坐标为，
∴；
(3)
如图2，

∵四边形OAC'B'是正方形，
∴OA=AC'=6，∠OAC'=90°，
∵∠OAC=2×60°=120°，
∴转动过程中点C运动到点C′的路径长是以A为圆心，AC为半径的210°的弧长，
则转动过程中点C运动到点C′的路径长= =7π．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，含30°角的直角三角形的性质，翻折的性质，弧长公式，动点运动轨迹，正方形的性质，三角形面积等；解题时要能够将这些知识点联系起来，灵活运用是解本题的关键．
27．（2022·江西·瑞金市教育体育事业发展中心一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，和点，连接，，其中．

(1)求直线l1的表达式；
(2)如图2，将直线沿着轴向下平移得到直线，且直线与双曲线在第三象限内的交点为，若的面积为20，求直线与轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先利用待定系数法求直线的解析式；
（2）设直线与轴交于，直线与轴交于，在中，令，则，得到，设，求得，设直线的解析式为，把代入得，求得直线的解析式为，于是得到结论．
(1)
解：，，
，
，
，把代入得，
解得，
双曲线的表达式为：；
点在双曲线上，
，
把，代入得，
，
解得：，
直线的表达式为；
(2)
解：如图2，设直线与轴交于，直线与轴交于，

在中，令，则，
，
设，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
把代入得，解得，
直线的解析式为，
当时，，
平移后的直线与轴的交点坐标为．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
28．（2022·江西·一模）如图，点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．

(1)求m的值；
(2)点M是函数y＝（x＞0）图象上一动点（不与P点重合），过点M作MD⊥AP于点D，若∠PMD＝45°，求点M的坐标．
【答案】(1)24
(2)（12,2）
【解析】
【分析】
（1）根据点P为函数y=x+1图象的点，点P的纵坐标为4，可以求得点P的坐标，进而求得m的值；
（2）设点D的坐标（a，a+1），根据∠PMD＝45°，构造一线三垂直模型，表示出M点坐标，最后根据M在y＝上列方程求解即可．注意分两种情况：点M在点P右侧，点M在点P左侧．
(1)
∵点P为函数y=x+1图象的点，点P的纵坐标为4，
∴4=x+1，解得：x=6，
∴点P（6，4），
∵点P为函数y=x+1与函数y=（x＞0）图象的交点，
∴4=，
∴m=24；
(2)
由（1）可得反比例函数解析式为
∵∠PMD＝45°，MD⊥AP
∴△PDM是等腰直角三角形
∴DP=DM
过D作EF平行x轴，过P作PE⊥EF于E，过M作MF⊥EF于F，交x轴于N
∴
∴(AAS)，
∴DE=FM，EP=DF
∵PB⊥x轴，
∴E、P、B三点共线
∴四边形EBNF是矩形

设点D的坐标（a，a+1）
当M在AP右边时，a>6，如图

∵点P（6，4）
∴
∴
∴
∴M的坐标为
∵M在上
∴，解得或（舍去）
此时M点坐标为（12,2）
当M在AP左边时，，如图

∵点P（6，4）
∴
∴
∴
∴M的坐标为
∵M在上
∴，解得（舍去）或（舍去）
综上所述，M点坐标为（12,2）
【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数图象和性质；熟练掌握用待定系数法求函数的表达式，利用45°构造辅助线解题是关键．