2022年江西省南昌市中考数学模拟冲刺试题

这是一份2022年江西省南昌市中考数学模拟冲刺试题，共22页。

2022年江西省南昌市中考模拟冲刺试题
数学
（本试题共24题，满分120分，考试时间120分钟）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣y＝1 B．x﹣5y＝6 C．1x=3 D．x2+2x﹣3＝0
2．（3分）对于抛物线y＝（x+1）2﹣3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标是（﹣1，﹣3）；④x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）已知点A（2，m）与点A′（n，﹣3）关于坐标原点对称，则实数m、n的值是（　　）
A．m＝﹣3，n＝2 B．m＝3，n＝2 C．m＝﹣3，n＝﹣2 D．m＝3，n＝﹣2
4．（3分）如图将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，两直角边与⊙O交于点B和点C，测得AC＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为（　　）

A．4cm B．3.5cm C．2.85cm D．3.4cm
5．（3分）点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数y=k2+1x图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，F为AB上一点，AF＝2，点E从点A出发，沿AC方向以2cm/s的速度匀速运动，同时点D由点B出发，沿BA方向以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），连接DE交CF于点G，若CG＝2FG，则t的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为　 　．
8．（3分）已知a，b是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根，则3a2﹣2b+2a2的值是 　 　．
9．（3分）如图，⊙O的弦AB＝8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的半径为 　 　．

10．（3分）如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AC，AB的中点，动点P在射线EF上，∠CBP的平分线交CF于点Q，当CQ＝3QF时，BP﹣FP＝　 　．

11．（3分）如图，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转，图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．若AB＝8，BC＝10，CM+CN=445，则DM的长为 　 　．

12．（3分）如图，已知点A（﹣6，0），B（2，0），点C在直线y=-34x+3上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为 　 　．

三．解答题（共6小题，满分30分）
13．（3分）解一元二次方程：x2﹣4x﹣5＝0．
14．（3分）如图，已知△ABC，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，将△ABC绕点C顺时针方向旋转，恰好能与△EDC重合．若∠A＝33°，则旋转角的度数．

15．（6分）如图，在△ABC中，D是BC上的点，且AB＝AC＝DC，∠B＝36°．求证：△ABC∽△DBA．

16．（6分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于横坐标为1的点A．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）如图，已知B是正比例函数图象在第一象限内的一点，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，BC与反比例函数图象交于点D，如果AB＝AC，求点D的坐标．

17．（6分）如图，请按照下列要求画图：

（1）如图1，△ABC为等边三角形，以边AB为直径的圆，与另两边AC，BC，分别交于点E，F，你仅用无刻度的直尺在图中做出边AB上的高；
（2）如图2，已知△ABC的顶点A，B，C，坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，3），C（﹣4，﹣1）．
①作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
②将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．
18．（6分）对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是 　 　；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
19．（8分）健身运动已成为一种时尚，各种健身俱乐部应运而生，某健身俱乐部2020年有会员200人，其中男、女会员人数之比为4：1．
（1）求该健身俱乐部2020年男、女会员各有多少名？
（2）预计今后两年该俱乐部男、女会员的人数每年分别按k人和（k+4）人递增，这样到2022年该俱乐部男、女人数之比将变为3：1．
①求k的值；
②2020年该俱乐部每个男、女会员的年会费分别为1000元和900元，若每个男会员的年会费每年增加300元，每个女会员的年会费每年以相同的百分数递增，这样2022年该俱乐部全体女会员年会费总量将达到2020年全体男会员年会费总量的56%．问2022年该俱乐部每个女会员的年会费是否与男会员的年会费相等？
20．（8分）如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC．
（1）证明BC与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为5，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．

21．（8分）如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹竿竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹竿的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.5m，竹竿顶端离地面2.4m，小明到竹竿的距离DF＝2m，竹竿到塔底的距离DB＝32m，求这座古塔的高度．

五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
22．（9分）如图，直线y1＝x+1与双曲线y2=kx（k为常数，k≠0）交于A，D两点，与x轴、y轴分别交于B，C两点，点A的坐标为（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．

23．（9分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，过A点的直线l：y＝﹣x﹣1与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过P点作PE∥y轴交直线l于点E，作PF∥x轴交直线l于点F，连接AP．
①当△APE为直角三角形时，求点P的坐标；
②求PE+PF的最大值，并求出当PE+PF最大时点P的坐标．

六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
24．（12分）在四边形ABCD中，AC为对角线，∠ABC+∠ADC＝180°，CB＝CD．
（1）如图1，求证：AC平分∠BAD；
（2）如图2，点G在CD上，点F在BC上，连接BG、DF，BG交DF于点E，∠BFD＝∠BGC，且AD＝DE，求证：BA＝BE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD交AC于点K，S△BED＝3S△ADK，DE＝2，求AB的长．


参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．【解答】解：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
∴A选项含有两个未知数，不符合题意；
B选项含有两个未知数，不符合题意；
C选项不是整式方程，不符合题意；
D选项符合题意．
故选：D．
2．【解答】解：抛物线y＝（x+1）2﹣3中a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣3），
∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
故①②④错误，③正确．
故选：A．
3．【解答】解：∵点A（2，m）与点A′（n，﹣3）关于坐标原点对称，
∴n＝﹣2，m＝3，
故选：D．
4．【解答】解：延长CA与⊙O相交于点D，连接BD，BC，如图，
设⊙O半径为r，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵AC＝5，
∴AD＝2r﹣5，
∵△ABD∽△ACB，
∴ADAB=ABAC，
∴2r-53=35，
解得：r＝3.4．
∴⊙O的半径为3.4．
故选：D．

5．【解答】解：∵k2+1＞0，
∴反比例函数y=k2+1x图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵﹣1＜0，
∴A点在第三象限，
∴y1＜0，
∵2＞1＞0，
∴B、C两点在第一象限，
∴y2＞y3＞0，
∴y1＜y3＜y2．
故选：B．
6．【解答】解：过点C作CH∥AB交DE的延长线于点H，则BD＝t，AE＝2t，DF＝10﹣2﹣t＝8﹣t，

∵DF∥CH，
∴证明△DFG∽△HCG，
∴DFCH=FGCG=12，
∴CH＝2DF＝16﹣2t，
同理△ADE∽△CHE，
∴ADCH=AECE，
∴10-t16-2t=2t10-2t，
解得t＝2，t=253（舍去）．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．【解答】解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，
∴甲被选到的概率为13，
故答案为：13．
8．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根，
∴a+b＝﹣2，a2＝1﹣2a，
则原式＝3（1﹣2a）﹣2b+21-2a
＝3﹣6a﹣2b+21-2a
＝3﹣4a﹣2（a+b）+21-2a
＝3﹣4a+4+21-2a
＝7﹣4a+21-2a
＝7+-4a+8a2+21-2a
＝7+-4a+8(1-2a)+21-2a
＝7+2(1-2a)+8(1-2a)1-2a
＝7+2+8
＝17．
故答案为：17．
9．【解答】解：连接OA，
∵弦AB＝8，圆心O到AB的距离OC＝3，
∴OC⊥AB，
∴AC＝BC＝4，∠OCA＝90°，
由勾股定理得：AO=OC2+AC2=32+42=5，
即⊙O的半径为 5，
故答案为：5．

10．【解答】解：如图延长BQ交EF于M．

∵AF＝FB，AE＝EC，
∴EF∥BC，
∴△FMQ∽△CBQ，
∴FM：BC＝FQ：CQ＝1：3，
∵BC＝6，
∴FM＝2，
∵BM平分∠CBP，
∴∠CBM＝∠PBM，
∵EF∥BC，
∴∠PMB＝∠MBC，
∴∠PMB＝∠PBM，
∴PB＝PM，
∴PB﹣PF＝PM﹣PF＝FM＝2，
故答案为2．
11．【解答】解：延长NO交AD于点P，连接MN，MP，如图：

∵O为矩形ABCD的对角线的交点，
∴由对称性可得BN＝DP，OP＝ON，
∴OM垂直平分PN，
∴MP＝MN，
在Rt△MDP中，MP2＝DP2+DM2，
在Rt△MCN中，MN2＝CN2+CM2，
∵MP＝MN，BN＝DP，
∴BN2+DM2＝CN2+CM2，
设DM＝x，CN＝y，
∴CM＝8﹣x，BN＝10﹣y，
∴（10﹣y）2+x2＝y2+（8﹣x）2，
∴y=45x+95，
∴CM+CN＝8﹣x+y＝8﹣x+45x+95=495-15x，
∵CM+CN=445，
∴495-15x=445，
∴x＝5，即DM＝5，
故答案为：5．
12．【解答】解：（方法一）设点C的坐标为（m，-34m+3），
则AC2＝（m+6）2+（-34m+3）2=2516m2+152m+45，BC2＝（m﹣2）2+（-34m+3）2=2516m2-172m+13，AB2＝（﹣6﹣2）2＝64．
①当∠BAC＝90°时，BC2＝AC2+AB2，
即2516m2-172m+13=2516m2+152m+45+64，
∴m＝﹣6；
②当∠ABC＝90°时，AC2＝BC2+AB2，
即2516m2+152m+45=2516m2-172m+13+64，
∴m＝2；
③当∠ACB＝90°时，AB2＝AC2+BC2，
即64=2516m2+152m+45+2516m2-172m+13，
整理，得：25m2﹣8m﹣48＝0．
∵△＝（﹣8）2﹣4×25×（﹣48）＝4864＞0，
∴关于m的方程25m2﹣8m﹣48＝0有两个不等实根，
∴此时点C有两个．
综上所述：使△ABC是直角三角形的点C的个数为4．
故答案为：4．
（方法二）过点A作AC1⊥x轴，交直线y=-34x+3于点C1，此时∠BAC1＝90°；
过点B作BC2⊥x轴，交直线y=-34x+3于点C2，此时∠ABC2＝90°；
以AB为直径作圆，交直线y=-34x+3于点C3，C4，此时∠AC3B＝∠AC4B＝90°（此处需验证线段AB的中点到直线y=-34x+3的距离小于4）；
综上所述：使△ABC是直角三角形的点C的个数为4．
故答案为：4．

三．解答题（共6小题，满分30分）
13．【解答】解：方程x2﹣4x﹣5＝0，
分解因式得：（x﹣5）（x+1）＝0，
所以x﹣5＝0或x+1＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
14．【解答】解：设∠B＝x，
∵△ABC绕点C顺时针方向旋转，恰好能与△EDC重合，
∴CB＝CD，∠CDE＝∠B＝x，∠A＝∠E＝33°，∠BCD的度数等于旋转角的度数，
∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝x+33°，
在△BCD中，∵CB＝CD，
∴∠CDB＝x，
∴x+x+33°+x＝180°，解得x＝49°，
∴旋转角的度数为49°+33°＝82°．
15．【解答】证明：∵AB＝AC，∠B＝36°，
∴∠C＝36°．
又∵AC＝DC，
∴∠DAC=180°-36°2=72°．
∴∠DAB＝180°﹣2×36°﹣72°＝36°，
∴∠DAB＝∠C．
又∵∠B是公共角，
∴△ABC∽△DBA．

16．【解答】解：（1）把x＝1代入y＝2x得：y＝2，
∴A的坐标为（1，2），
把A的坐标代入y=kx（k≠0）得：k＝1×2＝2，
即反比例函数的表达式为y=2x；

（2）过A作AE⊥BC于E，
∵BC⊥x轴，
∴AE∥x轴，
∵A（1，2），
∴CE＝2，
∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴CE＝BE＝2，
∴B点的纵坐标为4，
把y＝4代入y＝2x得：4＝2x，解得x＝2，
即B点的坐标为（2，4），
∵D点的横坐标为2，
把x＝2代入y=2x得，y＝1，
∴D（2，1）．

17．【解答】解：（1）如图1所示，CD即为所求；

（2）①如图2所示，△A1B1C1即为所求；
②如图2所示，△A2B2C2即为所求．

18．【解答】解：（1）∵共有A，B，C，D，4个小区，
∴甲组抽到A小区的概率是14，
故答案为：14．

（2）根据题意画树状图如下：

∵共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1，
∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为112．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
19．【解答】解：（1）设该健身俱乐部2020年有女会员x人，则有男会员4x人．
依据题意，得 4x+x＝200，
解得，x＝40，
∴4x＝160，
答：该健身俱乐部2020年有男会员160人，女会员40人．
（2）①依据题意得：160+2k40+2(k+4)=31，
解得：k＝4；
②设每个女会员的年会费每年增长的百分数为y，[40+2×（4+4）]×900（1+y）2＝160×1 000×56%，
整理得 （1+y）2=169，
解得 y1=13，y2=-73（不合题意，舍去），
2022年女会员每人年会费：900（1+13）2＝1 600（元），
2022年男会员每人年会费：1 000+300×2＝1 600（元）．
∴2022年该俱乐部每个女会员的年会费与男会员的年会费相等．
20．【解答】（1）证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．

∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠EBD+∠E＝90°，
∵∠DBC＝∠DAB，∠DAB＝∠E，
∴∠EBD+∠DBC＝90°，
即OB⊥BC，
又∵点B在⊙O上，且OB为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，OB，

∵∠BOD＝2∠A＝60°，OB＝OD，
∴△BOD是边长为5的等边三角形，
∴S△BOD=34×52=2534，
∵S扇形DOB=60π×52360=256π，
∴S阴影＝S扇形DOB﹣S△BOD=256π-2534．
21．【解答】解：∵小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB，
∴BH＝DG＝EF＝1.5m，EG＝DF，GH＝DB，
∵小明眼睛离地面1.5m，竹竿顶端离地面2.4m，
∴CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.5＝0.9m，
∵CD∥AB，
∴△EGC∽△EHA
∵DF＝2mDB＝32m，
∴EGEH=CGAH，
即232+2=0.9AH，
解得：AH＝15.3m，
∴AB＝AH+BH＝15.3+1.5＝16.8m，
答：古塔的高度是16.8m．
五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
22．【解答】解：（1）把A（m，2）代入直线y＝x+1，可得2＝m+1，
解得m＝1，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入双曲线y2=kx（k为常数，k≠0），可得k＝2，
∴双曲线的解析式为y=2x；
（2）解y=x+1y=2x得x=1y=2或x=-2y=-1，
∴D（﹣2，﹣1），
由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围x＜﹣2或0＜x＜1．
23．【解答】解：（1）令y＝0，则x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
当x＝4时，y＝﹣5，
∴D（4，﹣5），
∴-1-b-c=0-16a+4b+c=-5，
∴b=2c=3，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（m，﹣m2+2m+3），
当x＝0时，y＝﹣1，
∴C（0，﹣1），
∴OA＝OC＝1，
∵∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
①当PE∥y轴时，
∴∠PEA＝∠OCA＝45°，
∴当△APE为直角三角形时，∠PAE＝90°或∠APE＝90°，
当∠PAE＝90°时，∠PAB＝∠PAE﹣∠OAC＝45°，
设PE与x轴交于点M，则∠PAM＝∠APM＝45°，
∴AM＝PM，即﹣m2+2m+3＝m+1，
解得m＝2或m＝﹣1（舍），
∴P（2，3）；
当∠APE＝90°时，点P与点B重合，
∴﹣m2+2m+3＝0，
解得m＝3或m＝﹣1（舍），
∴P（3，0）；
综上所述：P点坐标为（3，0）或（2，3）；
②∵PF∥x轴，
∴∠PFE＝∠OAC＝45°，
∴∠PFE＝∠PEF，
∴PE＝PF，
∴PE+PF＝2PE＝2（﹣m2+2m+3+m+1）＝﹣2（m-32）2+252，
∴当m=32时，PE+PF取最大值252，
此时P（32，154）．

六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
24．【解答】解：（1）如图，作CE⊥AB于E，CF⊥AD延长线于F，

∴∠CEB＝∠CFD＝90°，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠ABC＝∠CDF，
在△CEB和△CFD中，
∠CEB=∠CFD∠ABC=∠CDFCB=CD，
∴△CEB≌△CFD（AAS），
∴CE＝CF，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴AC平分∠BAD；
（2）如图，连接AE，

∵∠BFD+∠CBG+∠BEF＝180°，∠BGC+∠CBG+∠BCD＝180°，
又∵∠BFD＝∠BGC，
∴∠BEF＝∠BCD，
∵∠BEF+∠BED＝180°，∠BCD+∠BAD＝180°，
∴∠BED＝∠BAD，
∵AD＝DE，
∴∠AED＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝BA；
（3）如图，过点K作KM⊥AB于M，KN⊥AD于N．

由（2）知BA＝BE，DE＝AD，
在△BED和△BAD中，
DE=AD∠BED=BADBE=BA，
∴△BED≌△BAD（SAS），
∴S△BED＝S△BAD，DE＝AD＝2，
∵S△BED＝3S△ADK，
∴BDDK=3，
∴BK＝2DK，
∵KA平分∠DAB，KM⊥AB，KN⊥AD，
∴KM＝KN，
∵S△ABKS△AKD=12⋅AB⋅KM12⋅AD⋅KN=BKKD=2，
∴AB＝2AD，
∴AB＝4．
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