2022年江西中考数学模拟试卷3（含答案解析）

这是一份2022年江西中考数学模拟试卷3（含答案解析），共32页。试卷主要包含了因式分解，2+b的值为 　 　等内容，欢迎下载使用。
2022年江西中考数学模拟试卷3
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）（2022•武功县模拟）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（3分）（2021•安徽模拟）如图所示的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）（2021•商河县校级模拟）计算﹣a+1的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）（2021•江西模拟）如图所示的两个统计图，女生人数多的学校是（　　）

A．甲校
B．无法确定
C．甲、乙两校女生人数一样多
D．乙校
5．（3分）（2021秋•泰安期末）一次函数y＝cx﹣b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2022•巧家县模拟）按一定规律排列的单项式：﹣2a3，7a6，﹣12a9，17a12，﹣22a15，…．其中第n个单项式是（　　）
A．（﹣1）n（5n+3）a3n B．（﹣1）n（5n﹣3）a3n
C．（﹣1）n﹣1（5n﹣3）a3n D．（﹣1）n﹣1（5n+3）a3n
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）（2018•渝北区自主招生）在互联网上宣布对美国商品加征关税的对等报复措施后，收获了231万个点赞，231万可用科学记数法表示为：　 　．
8．（3分）（2021•柳州）因式分解：x2﹣1＝　 　．
9．（3分）（2022•南召县开学）设a、b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则（a+1）2+b的值为 　 　．
10．（3分）（2021•北海一模）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…，由此推算a2020+a2021＝　 　．
11．（3分）（2022春•杭州期中）如图所示，在平行四边形ABCD纸片中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC翻折得到△AB′C，若四边形ABCD的面积为12cm2，则翻折后纸片重叠部分的面积是　 　．

12．（3分）（2022•蓬安县校级开学）一般情况下，式子+＝+1不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝﹣1，b＝2．我们把使得＝+1成立的一对数a、b称之为“相伴数对”，记为（a，b）．若（3，x）是“相伴数对”，则代数式x3﹣（2x﹣1）（x+3）的值为 　 　．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）（2022•深圳二模）计算：．
14．（6分）（2021秋•双峰县期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
15．（6分）（2021•泰兴市二模）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的2个红球和1个白球，把它们充分搅匀后，从中一次抽出两个球．
（1）“从中任意抽取的2个球中有红球”是 　 　事件．（填“必然”、“不可能”、“随机”）
（2）求抽取的两个球是一红一白的概率．
16．（6分）（2018春•宛城区期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出将△ABC向下平移5个单位后的△A1B1C1．
（2）画出△ABC关于点B成中心对称的△A2BC2．
（3）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°的△A3BC3．
（4）在直线上找一点P，使△ABP的周长最小（说明：在网格中画出图形，标上字母即可）

17．（6分）（2021秋•柳州期末）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝﹣x的图象分别交于M，N两点，已知点M（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点P为y轴上的一点，当点P的坐标为（0，）时，求△MPN的面积．

18．（8分）（2022•江阴市校级一模）某商场以m元购进一批单价为a元/件的商品，很快销售完了，由于商品畅销，商场又用m元购进第二批这种商品，但第二批商品单价上涨到b元/件．
（1）第一批购进了 　 　件商品，第二批购进了 　 　件商品，购买这两批商品的平均价格为 　 　元/件；
（2）若m＝2400，购买第二批商品的单价比第一批商品的单价上涨了20%，结果比第一批少购进10件这种商品．
①求第一批商品的购进单价；
②若第一批商品的售价为60元/件，第二批商品按照同样的售价销售一定数量后发现销量不好，将剩余的商品按照售价的九折售完．要使两批商品销售的总利润不低于1680元，求第二批商品按原销售单价至少销售多少件？
19．（8分）（2020•沙坪坝区校级三模）每年都有很多人因火灾丧失生命，某校为提高学生的逃生知识，开展了“防火灾，爱生命”的防火灾安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：80≤x＜85，B：85≤x＜90，C.90≤x＜95，D：95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级抽取的10名学生的竞赛成绩是：100，81，84，83，90，89，89，98，97，99；
八年级抽取的I0名学生的竞赛成绩是：100，80，85，83，90，95，92，93，93，99；
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
91
89.5
b
45.2
八年级
91
a
93
39.2
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）直接写出表格中a，b的值并补全八年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防火安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共有3200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩非常优秀（x≥95）的学生人数是多少．

20．（8分）（2020•碑林区校级模拟）某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图．其中，AB⊥BD．∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5m．车库坡道入口上方要张贴限高标志．以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．为标明限高，请你根据该图计算CE的长度（即点C到AD的距离）．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）（结果精确到0.1m）

21．（9分）（2021•红谷滩区校级模拟）如图①，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E在BC上，连接BD，DE，∠CDE＝∠ABD．

（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）如图②，当∠ABC＝90°时，线段DE与BC有什么数量关系？请说明理由．
（3）如图③，若AB＝AC＝10，sin∠CDE＝，求BC的长．
22．（9分）（2022•永州一模）已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）的对称轴为x＝1，且过点（1，）．点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为t，直线AB：y＝﹣x+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限内或x轴上，连接PA，PB，当△PAB面积最小时，求此时点P的坐标；
（3）对于函数y＝ax2+bx，当t≤x≤t+1时，此函数的最大值为m，最小值为n，是否存在t的值使．若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

23．（12分）（2021秋•和平区期末）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12．
（1）求菱形ABCD的面积及周长；
（2）点M是射线DA上一个动点，作射线BM，交射线CA于点E．将射线BM绕点B逆时针旋转后交射线CA于点N，旋转角为∠MBN，且∠MBN＝，连接MN．
①如图2，当点N与点O重合时，求△AMN的周长；
②当AE＝BE时，请直接写出AM的长为 　 　；
③BN＝时，请直接写出AM的长为 　 　．



2022年江西中考数学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）（2022•武功县模拟）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【考点】相反数．
【专题】实数；数感．
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：B．
【点评】本题考查相反数，理解相反数的定义是正确解答的关键．
2．（3分）（2021•安徽模拟）如图所示的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据简单组合体的三视图的画法得出从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看这个组合体，所看到的图形如下：

故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义和三视图的画法是正确判断的前提．
3．（3分）（2021•商河县校级模拟）计算﹣a+1的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝，
故选：A．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
4．（3分）（2021•江西模拟）如图所示的两个统计图，女生人数多的学校是（　　）

A．甲校
B．无法确定
C．甲、乙两校女生人数一样多
D．乙校
【考点】扇形统计图．
【专题】统计的应用；应用意识．
【分析】根据题意，结合扇形图的性质，扇形统计图只能得到每部分所占的比例，具体人数不能直接体现，易得答案．
【解答】解：根据题意，因不知道甲乙两校学生的总人数，只知道两校女生占的比例，
故无法比较两校女生的人数，
故选：B．
【点评】本题考查的是扇形统计图，熟知从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系是解答此题的关键．
5．（3分）（2021秋•泰安期末）一次函数y＝cx﹣b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝cx﹣b的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，由直线可知，c＜0，b＜0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，由直线可知，c＞0，b＜0，故本选项不合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，由直线可知，c＜0，b＞0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，由直线可知，c＞0，b＜0，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
6．（3分）（2022•巧家县模拟）按一定规律排列的单项式：﹣2a3，7a6，﹣12a9，17a12，﹣22a15，…．其中第n个单项式是（　　）
A．（﹣1）n（5n+3）a3n B．（﹣1）n（5n﹣3）a3n
C．（﹣1）n﹣1（5n﹣3）a3n D．（﹣1）n﹣1（5n+3）a3n
【考点】规律型：数字的变化类；单项式．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】对所给的单项式进行整理得：﹣2a3＝（﹣1）1×（5×1﹣3）a3×1，7a6＝（﹣1）2×（5×2﹣3）a3×2，﹣12a9＝（﹣1）3×（5×3﹣3）a3×3，...，据此即可得解．
【解答】解：∵﹣2a3＝（﹣1）1×（5×1﹣3）a3×1，
7a6＝（﹣1）2×（5×2﹣3）a3×2，
﹣12a9＝（﹣1）3×（5×3﹣3）a3×3，
...，
∴第n个单项式为：（﹣1）n（5n﹣3）a3n，
故选：B．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是分析出系数，指数与序号之间的关系．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）（2018•渝北区自主招生）在互联网上宣布对美国商品加征关税的对等报复措施后，收获了231万个点赞，231万可用科学记数法表示为：　2.31×106　．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；运算能力．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：231万＝231 0000＝2.31×106，
故答案为：2.31×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8．（3分）（2021•柳州）因式分解：x2﹣1＝　（x+1）（x﹣1）　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】因式分解．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
9．（3分）（2022•南召县开学）设a、b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则（a+1）2+b的值为 　2022　．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用根与系数的关系求出a+b的值，把x＝a代入求出a2+a的值，原式利用完全平方公式化简，结合整理后将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2022＝0，即a2+a＝2022，
则原式＝a2+2a+1+b
＝（a2+a）+（a+b）+1
＝2022﹣1+1
＝2022．
故答案为：2022．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
10．（3分）（2021•北海一模）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…，由此推算a2020+a2021＝　20212　．
【考点】规律型：数字的变化类；数学常识．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】分别计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值，找到规律，即可得出答案．
【解答】解：∵a1+a2＝1+3＝4＝22；
a2+a3＝3+6＝9＝32；
a3+a4＝6+10＝16＝42；
∴an+an+1＝（n+1）2；
∴a2020+a2021＝20212．
故答案为：20212．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，找准规律是解题的关键．
11．（3分）（2022春•杭州期中）如图所示，在平行四边形ABCD纸片中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC翻折得到△AB′C，若四边形ABCD的面积为12cm2，则翻折后纸片重叠部分的面积是　3cm2　．

【考点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据平行四边形的性质以及已知条件求证出四边形ACDB′是平行四边形，进而求出四边形ACDB′是矩形；根据矩形的性质以及平行四边形的性质求出△ACD的面积，因为△AEC和△EDC可以看作是等底等高的三角形，得出S△AEC＝S△ACD＝3cm2．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AB平行且等于CD．
∵△AB′C是由△ABC翻折得到的，AB⊥AC，
∴AB＝AB′，点A、B、B′在同一条直线上．
∴AB′∥CD，
∴四边形ACDB′是平行四边形．
∵B′C＝BC＝AD．
∴四边形ACDB′是矩形．
∴AE＝DE．
∵S▱ABCD＝12cm2，
∴S△ACD＝6cm2，
∴S△AEC＝S△ACD＝3cm2．
故答案为：3cm2．
【点评】本题主要考查的是平行四边形的性质、矩形的判定、三角形面积公式，明确△AEC和△EDC可以看作是等底等高的三角形是解题的关键．
12．（3分）（2022•蓬安县校级开学）一般情况下，式子+＝+1不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝﹣1，b＝2．我们把使得＝+1成立的一对数a、b称之为“相伴数对”，记为（a，b）．若（3，x）是“相伴数对”，则代数式x3﹣（2x﹣1）（x+3）的值为 　5　．
【考点】因式分解的应用；解二元一次方程；解分式方程；多项式乘多项式．
【专题】新定义；整体思想；整式；运算能力．
【分析】把（3，x）代入式子+＝+1得＝+1，化简可得x²﹣3x﹣2＝0，得到x2＝3x+2，再化简代数式x3﹣（2x﹣1）（x+3），再把x2＝3x+2整体代入即可得出答案．
【解答】解：方法一：∵（3，x）是“相伴数对”，
∴＝+1，
化简可得x²﹣3x﹣2＝0，
∴x2＝3x+2，
∴原式＝x3﹣（2x2+6x﹣x﹣3）
＝x3﹣2x2﹣5x+3
＝x（3x+2）﹣2（3x+2）﹣5x+3
＝3x2+2x﹣6x﹣4﹣5x+3
＝3（3x+2）+2x﹣6x﹣4﹣5x+3
＝9x+6+2x﹣6x﹣4﹣5x+3
＝5．
方法二：∵（3，x）是“相伴数对”，
∴＝+1，
化简可得x²﹣3x﹣2＝0，
∴x2﹣3x＝2，
∵x≠0，
∴方程两边都乘x得：x3﹣3x2﹣2x＝0，
∴原式＝x3﹣（2x2+6x﹣x﹣3）
＝x3﹣2x2﹣5x+3
＝（x3﹣3x2﹣2x）+（x2﹣3x）+3
＝0+2+3
＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了新定义，多项式乘多项式，把x2＝3x+2整体代入，达到降次的目的是解题的关键．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）（2022•深圳二模）计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【分析】化简负整数指数幂，绝对值，零指数幂，二次根式，然后算除法，再算加减．
【解答】解：原式＝8+2﹣﹣1+
＝8+2﹣﹣1+
＝9．
【点评】本题考查实数的混合运算，理解a0＝1（a≠0），a﹣p＝（a≠0），熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
14．（6分）（2021秋•双峰县期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+5＞﹣1，得：x＞﹣3，
解不等式x﹣≥，得：x≤﹣1，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤﹣1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．（6分）（2021•泰兴市二模）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的2个红球和1个白球，把它们充分搅匀后，从中一次抽出两个球．
（1）“从中任意抽取的2个球中有红球”是 　必然　事件．（填“必然”、“不可能”、“随机”）
（2）求抽取的两个球是一红一白的概率．
【考点】列表法与树状图法；随机事件．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】（1）根据随机事件、必然事件和不可能事件的概念求解即可．
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个球是一红一白的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）“从中任意抽取的2个球中有红球”是必然事件，
故答案为：必然；

（2）画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，摸到的两个球是一红一白的有4种情况，
∴两个球是一红一白的概率是＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（6分）（2018春•宛城区期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出将△ABC向下平移5个单位后的△A1B1C1．
（2）画出△ABC关于点B成中心对称的△A2BC2．
（3）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°的△A3BC3．
（4）在直线上找一点P，使△ABP的周长最小（说明：在网格中画出图形，标上字母即可）

【考点】作图﹣旋转变换；勾股定理；正方形的性质；轴对称﹣最短路线问题；作图﹣平移变换．
【专题】平移、旋转与对称．
【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到△ABC向下平移5个单位后的图形△A1B1C1；
（2）依据旋转中心、旋转的方向以及角度，即可得到△ABC以B点为旋转中心，沿逆时针方向旋转90°后的图形△A2BC2．
（3）分别作出A，C的对应点A3，C3，连接即可；
（4）找出A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点P，此时PA＝PA′，则PA+PB＝A′B，使△ABP的周长最小．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2BC2即为所求；
（3如图所示，△A3BC3即为所求；

（4）找出A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点P，P点即为所求．
【点评】本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换进行作图，旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
17．（6分）（2021秋•柳州期末）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝﹣x的图象分别交于M，N两点，已知点M（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点P为y轴上的一点，当点P的坐标为（0，）时，求△MPN的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）把M（﹣2，m）代入函数式y＝﹣x中，求得m的值，从而求得M的坐标，代入y＝可求出函数解析式；
（2）根据反比例函数与正比例函数的中心对称性求得N的坐标，然后利用S△MPN＝S△MOP+S△NOP求得即可．
【解答】解：（1）∵点M（﹣2，m）在一次函数y＝﹣x的图象上，
∴m＝﹣×（﹣2）＝1．
∴M（﹣2，1）．
∵反比例函数y＝的图象经过点M（﹣2，1），
∴k＝﹣2×1＝﹣2．
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）∵反比例函数y＝的图象与一次函数y＝﹣x的图象分别交于M，N两点，M（﹣2，1），
∴N（2，﹣1），
∵点P为y轴上的一点，点P的坐标为（0，），
∴OP＝，
∴S△MPN＝S△MOP+S△NOP＝×2+×2＝2．
【点评】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本题利用了待定系数法求函数解析式以及利用中心对称求两个函数的交点，三角形的面积等知识．
18．（8分）（2022•江阴市校级一模）某商场以m元购进一批单价为a元/件的商品，很快销售完了，由于商品畅销，商场又用m元购进第二批这种商品，但第二批商品单价上涨到b元/件．
（1）第一批购进了 　　件商品，第二批购进了 　　件商品，购买这两批商品的平均价格为 　　元/件；
（2）若m＝2400，购买第二批商品的单价比第一批商品的单价上涨了20%，结果比第一批少购进10件这种商品．
①求第一批商品的购进单价；
②若第一批商品的售价为60元/件，第二批商品按照同样的售价销售一定数量后发现销量不好，将剩余的商品按照售价的九折售完．要使两批商品销售的总利润不低于1680元，求第二批商品按原销售单价至少销售多少件？
【考点】分式方程的应用．
【专题】应用题；分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）①由题意列出分式方程，解方程可得出答案；
②设第二批商品按原销售单价销售y件，由题意列出一元一次不等式，解不等式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得第一批购进了件商品，第二批购进了件商品，
∴购买这两批商品的平均价格为＝（元/件），
故答案为：；；；
（2）①由题意得，，
解得a＝40，
经检验a＝40是原方程的解，
答：第一批商品的购进单价为40元；
②设第二批商品按原销售单价销售y件，则有：
20×60+12y+6（50﹣y）≥1680，
∴y≥30，
答：第二批商品按原销售单价至少销售30件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到相等关系及不等关系是解题的关键．
19．（8分）（2020•沙坪坝区校级三模）每年都有很多人因火灾丧失生命，某校为提高学生的逃生知识，开展了“防火灾，爱生命”的防火灾安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：80≤x＜85，B：85≤x＜90，C.90≤x＜95，D：95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级抽取的10名学生的竞赛成绩是：100，81，84，83，90，89，89，98，97，99；
八年级抽取的I0名学生的竞赛成绩是：100，80，85，83，90，95，92，93，93，99；
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
91
89.5
b
45.2
八年级
91
a
93
39.2
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）直接写出表格中a，b的值并补全八年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防火安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共有3200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩非常优秀（x≥95）的学生人数是多少．

【考点】频数（率）分布直方图；中位数；众数；方差；用样本估计总体；频数（率）分布表．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）直接根据七年级抽取的10名学生的竞赛成绩可得其众数b的值，将八年级抽取的I0名学生的竞赛成绩重新排列，利用中位数的概念可得a的值，继而补全频数分布直方图可得答案；
（2）在平均成绩相等的前提下可比较中位数、众数或方差，合理即可得；
（3）用总人数乘以样本中成绩不低于95分人数占被调查人数的比例即可得．
【解答】解：（1）由题意知七年级抽取的10名学生的竞赛成绩的众数b＝89，
将八年级抽取的10名学生的竞赛成绩重新排列为80，83，85，90，92，93，93，95，99，100，
∴其中位数a＝＝92.5，
补全频数分布直方图如下：

（2）八年级学生掌握防火安全知识较好，理由如下：
∵七、八年级参加竞赛的10名学生的平均成绩相等，但八年级10名学生成绩的方差小，
∴八年级参加竞赛的10名学生的成绩更加稳定，
∴八年级学生掌握防火安全知识较好．
（3）估计参加此次竞赛活动成绩非常优秀（x≥95）的学生人数是3200×＝1120（人）．
【点评】本题考查频数分布直方图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20．（8分）（2020•碑林区校级模拟）某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图．其中，AB⊥BD．∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5m．车库坡道入口上方要张贴限高标志．以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．为标明限高，请你根据该图计算CE的长度（即点C到AD的距离）．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）（结果精确到0.1m）

【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想；应用意识．
【分析】在Rt△ABD中，根据直角三角形的边角关系求出BD，进而求出CD，再在Rt△CDE中求出CE即可．
【解答】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠A＝18°，AB＝9，
∴BD＝tan18°×AB≈0.32×9＝2.88米，
在Rt△CDE中，∠CED＝90°，∠DCE＝18°，CD＝BD﹣BC＝2.88﹣0.5＝2.38（米），
∴CE＝cos18°×CD≈0.95×2.38≈2.3（米），
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
21．（9分）（2021•红谷滩区校级模拟）如图①，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E在BC上，连接BD，DE，∠CDE＝∠ABD．

（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）如图②，当∠ABC＝90°时，线段DE与BC有什么数量关系？请说明理由．
（3）如图③，若AB＝AC＝10，sin∠CDE＝，求BC的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】综合题；推理能力．
【分析】（1）先判断出∠BDC＝90°，再判断出∠ABD＝∠ODB，即可得出结论；
（2）先判断出BE＝DE，再判断出CE＝DE，即可得出结论；
（3）先利用三角函数求出AB＝10，AD＝6，再用勾股定理求出BD＝8，即可得出结论．
【解答】解：（1）证明：如图①，连接OD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDE+∠BDE＝∠BDC＝90°．
∵∠CDE＝∠ABD，
∴∠ABD+∠BDE＝90°．
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴∠ODB+∠BDE＝90°，
即∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．

（2）DE＝BC．
理由如下：由（1）知∠ODE＝90°，
∴∠ODB+∠BDE＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠OBD+∠DBE＝90°．
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE．
∵∠ABC＝90°，
∴∠C+∠A＝90°．
∵∠ABD+∠A＝90°，
∴∠C＝∠ABD．
∵∠CDE＝∠ABD，
∴∠C＝∠CDE，
∴DE＝CE，
∴BE＝DE＝CE．
∴DE＝BC．

（3）∵∠CDE＝∠ABD，
∴sin∠CDE＝sin∠ABD＝．
在Rt△ABD中，∵sin∠ABD＝＝，AB＝10，
∴AD＝AB＝×10＝6，
∴BD＝＝＝8．
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，CD＝10﹣6＝4，
∴BC＝＝＝4．

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，同角的余角相等，勾股定理，锐角三角函数，判断出∠C＝∠ABD是解本题的关键．
22．（9分）（2022•永州一模）已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）的对称轴为x＝1，且过点（1，）．点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为t，直线AB：y＝﹣x+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限内或x轴上，连接PA，PB，当△PAB面积最小时，求此时点P的坐标；
（3）对于函数y＝ax2+bx，当t≤x≤t+1时，此函数的最大值为m，最小值为n，是否存在t的值使．若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【分析】（1）由对称轴可知，则y＝ax2﹣2ax，再将点（1，）代入y＝ax2﹣2ax，即可求解；
（2）过点P作PH∥y轴交BA于点H，设点，则点H（t，﹣t+4），则，当t＝2时，S△PAB的最小值为4；
（3）分四种情况讨论：①当t+1＜1时，m＝﹣t2+，n＝﹣t2+t，求得t＝﹣；②当t＞1时，m＝﹣t2+t，n＝﹣t2+，求得t＝；③当0≤t≤时，m＝，n＝﹣t2+t，得t＝1±（舍）；④当＜t≤1时，m＝，n＝﹣t2+，得t＝±（舍）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx的对称轴为x＝1，
∴，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax，
∵将点（1，）代入y＝ax2﹣2ax，
∴a﹣2a＝，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）在y＝﹣x+4中，令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
令y＝0，则x＝4，
∴A（4，0），
过点P作PH∥y轴交BA于点H，
设点，则点H（t，﹣t+4），
∴，
∴当t＝2时，S△PAB的最小值为4；
（3）存在t的值使，理由如下：
∵＝﹣（x﹣1）2+，
∴抛物线的顶点为（1，），
当x＝t时，y＝﹣t2+t，
当x＝t+1时，y＝﹣t2+，
①当t+1＜1，即t＜0时，
m＝﹣t2+，n＝﹣t2+t，
∵，
∴﹣t2++t2﹣t＝，
解得t＝﹣；
②当t＞1时，m＝﹣t2+t，n＝﹣t2+，
∴﹣t2+t﹣t2﹣＝，
解得t＝；
③当0≤t≤时，m＝，n＝﹣t2+t，
∴+t2﹣t＝，
解得t＝1±（舍）；
④当＜t≤1时，m＝，n＝﹣t2+，
∴+t2﹣＝，
解得t＝±（舍）；
综上所述：t的值为或﹣．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用铅锤法求三角形的面积，分类讨论是解题的关键．
23．（12分）（2021秋•和平区期末）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12．
（1）求菱形ABCD的面积及周长；
（2）点M是射线DA上一个动点，作射线BM，交射线CA于点E．将射线BM绕点B逆时针旋转后交射线CA于点N，旋转角为∠MBN，且∠MBN＝，连接MN．
①如图2，当点N与点O重合时，求△AMN的周长；
②当AE＝BE时，请直接写出AM的长为 　　；
③BN＝时，请直接写出AM的长为 　或2　．


【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可；
（2）①如图2中，证明△BOE∽△AOB，利用相似三角形的性质求出OE，再利用平行线分线段成比例定理求出AM可得结论；
②如图3中，设AE＝BE＝x．利用勾股定理求出x，再利用平行线分线段成比例定理求出AM即可；
③分两种情形：如图3﹣1中，当点N在点O的右侧时．如图3﹣2中，当点N在点O的左侧时，分别利用相似三角形的性质求出AE，EC，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴菱形的周长为40，菱形的面积＝×16×12＝96；

（2）①如图2中．过点O作OH⊥AD于点H．

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠MBD＝∠BAD，
∴∠OBE＝∠OAB，
∵∠BOE＝∠AOB，
∴△BOE∽△AOB，
∴＝，
∴＝，
∴OE＝，
∴AE＝OA﹣OE＝8﹣＝，EC＝OE+OC＝8+＝，
∵AM∥CB，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝，
•AD•OH＝•OA•OD，
∴OH＝，
∴AH＝＝＝，
∴MH＝AH﹣AM＝﹣＝，
∴OM＝＝＝6，
∴△ANM的周长＝8+6+＝．

②如图3中，设AE＝BE＝x．

∵∠EOB＝90°，
∴OE2+OB2＝BE2，
∴（8﹣x）2+62＝x2，
∴x＝，
∴AE＝
∴EC＝AC﹣AE＝16﹣＝，
∵AM∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝．
故答案为：；

③如图3﹣1中，当点N在点O的右侧时，

在Rt△BON中，ON＝＝＝3，
∵∠NBE＝∠NAB，∠BNE＝∠ANB，
∴△BNE∽△ANB，
∴＝，
∴＝，
∴EN＝，
∴AE＝11﹣＝，EC＝16﹣＝，
∵AM∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝．

如图3﹣2中，当点N在点O的左侧时，

∵∠NBE＝∠NAB，∠BNE＝∠ANB，
∴△BNE∽△ANB，
∴＝，
∴＝，
∴EN＝9
∴AE＝9﹣5＝4，EC＝4+16＝20，
∵AM∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝2．
综上所述，AM的长为或2．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．