2023年中考复习专题观察归纳型解题策略

     2023年中考专题复习一  观察归纳型解题策略

一、题型特点：

     观察、归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程.相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到.

    考查知识分为两类：①是数字或字母规律探索型问题；②是几何图形中规律探索型问题．

1．数式归纳

题型特点：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后观察猜想其中蕴含的规律，归纳出用某一字母表示的能揭示其规律的代数式或按某些规律写出后面某一项的数或式子．

解题策略：一般是先写出数或式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式．

2．图形变化归纳

题型特点：观察给定图形的摆放特点或变化规律，归纳出下一个图形的摆放特点或变化规律，或者能用某一字母的代数式揭示出图形变化的个数、面积、周长等规律特点．

解题策略：多方面、多角度进行观察比较得出图形个数、面积、周长等的通项，再分别取n＝1，2，3…代入验证，都符合时即为正确结论．

由于猜想归纳本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点.

二、典例剖析

类型一:数式规律探索

例1.据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.

⑴观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过.计算（9－1）、（9＋1）与（25－1）、（25＋1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；

⑵根据⑴的规律，用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；

⑶继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且m＞4）的代数式来表示他们的股和弦

解：⑴∵（9－1）＝4，（9＋1）＝5；（25－1）＝12，（25＋1）＝13；

∴7，24，25的股的算式为：（49－1）＝（72－1）

弦的算式为：（49＋1）＝（72＋1）；

⑵当n为奇数且n≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n，（n2－1），（n2＋1）.

例如关系式①：弦－股＝1；关系式②：勾2＋股2＝弦2；

证明关系式①：弦－股＝（n2＋1）－（n2－1）＝［（n2＋1）－（n2－1）］＝1；

或证明关系式②：勾2＋股2＝n2＋［（n2－1）］2＝n4＋n2＋＝（n2＋1）2＝弦2；

∴猜想得证.

⑶例如探索得，当m为偶数且m＞4时，

股、弦的代数式分别为：（）2－1，（）2＋1.

例2.“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：

令 S=1+2+3+…+98+99+100                         ①

S=100+99+98+…+3+2+1                            ②

①+②：有2S=（1+100）×100    解得：S=5050

请类比以上做法，回答下列问题：

若n为正整数，3+5+7+…+（2n+1）=168，则n=　    　．

解：设S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，

则S=（2n+1）+…+7+5+3=168②，

①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，

整理得，n2+2n-168=0，

解得n1=12，n2=-14（舍去）．

故答案为：12．

[变式训练]

1.观察下列等式：

……

请解答下列问题：

(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝______＝______；

(2)用含有n的代数式表示第n个等式：an＝______＝______(n为正整数)；

(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．

答案（1）a5==(-)

（2）an==(-)

（3）

 2.求1＋2＋22＋23＋…＋22 012的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22 012，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22 013，因此，2S－S＝22 013－1.仿照以上推理，计算出1＋5＋52＋53＋…＋52 012的值为(　　)

A．52 012－1     B．52 013－1       C.        D.

   答案   C

类型二、图形规律探索

例3.长为20，宽为a的矩形纸片（10＜a＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n=3时，a的值为　   　．

解：由题意，可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20-a，所以第二次操作时正方形的边长为20-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20-a，2a-20．[来源:学科网]

此时，分两种情况：

①如果20-a＞2a-20，即a＜40，那么第三次操作时正方形的边长为2a-20．

则2a-20=（20-a）-（2a-20），解得a=12；

②如果20-a＜2a-20，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为20-a．

则20-a=（2a-20）-（20-a），解得a=15．

∴当n=3时，a的值为12或15．

故答案为：12或15．

例4.用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为　   　．

解：两个正六边形结合，一个公共点处组成的角度为240°，

故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，

而正六边形的内角为120°，故答案为：6．

例5.如图，将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去．

（1）填表

（2）如果剪了n次，共剪出多少个小正方形？

（3）能否经过若干次分割后共得到2014片纸片？若能，请直接写出相应的次数，若不能，请说明理由．

（4）若将所给的正方形纸片剪成若干个小正方形（其大小可以不一样），那么你认为可以将它剪成六个小正方形吗？八个小正方形呢？如果可以，请在下图中画出剪割线的示意图；如果不可以，请简单说明理由.

解：(1)①4=3x1+1  ②7=3x2+1  ③10=3x3+1

. . . . . .

第n个3n+1

（1）10，  13， 16。 (2)3n+1

（3）3n+1=2014      解得n=671答第671次可得到2014个小正方形

【变式训练】

1.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第（是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是         ．

第n个图形需要黑色棋子的个数是n2+2n

2.如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2．第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3，已知A（1，2），A1（2，2），A2（4，2），A3（8，2），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．．

（1）观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律再将三角形将△OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是　        　，B4的坐标是　         　．

（2）若按第（1）题找到的规律将三角形OAB进行n次变换，得到三角形OAnBn，推测An的坐标是　    　，Bn的坐标是　        　.

答案(1)A4(16,2)   B(32,0)  (2)An(2n,2)  B(2n+1,0)

类型三、数值、数量结果探索

例6.如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn-Sn-1=　        ．

解：SΔAME=SΔABM+S四BCEM_SΔACE

AB=1   BC=n    SΔAME=+(1+n)n_(n+1)n=
AB=2   BC=n-1   SΔAME=2+(2+n-1)(n-1)-(n+1)(n-1)=2

AB=3   BC=n-2   SΔAM=+(3+n-2)(n-2)-(n+1)(n-2)=

. . . .

Sn=  Sn-1=

         Sn-Sn-1=

中考真题

1.观察下列等式:70=1,71=7,72=49,73=343,74=2 401,75=16 807,……,根据其中的规律
可得70+71+72+…+72022的结果的个位数字是 (　　)

A.0　    B.1　     C.7　     D.8

2.按照一定规律排列的n个数:-2,4,-8,16,-32,64,….若最后三个数的和为768,则n为
(　　)

A.9　    B.10　    C.11　    D.12

3.如图所示,下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律,根据此规律,最后
一个三角形中y与n之间的关系是 (　　)

A.y=2n+1　    B.y=2n+n       C.y=2n+1+n　    D.y=2n+n+1

4.如图所示,1条直线将平面分成2个部分,2条直线最多可将平面分成4个部分,3
条直线最多可将平面分成7个部分,4条直线最多可将平面分成11个部分.

现有n条直线最多可将平面分成56个部分,则n的值为___________　　　　    　　    .

5.如下表所示，是按一定规律排列的方程组和它的解的对应关系，若方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…、方程组n．

（1）将方程组1的解填入表中．

（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入表中；

6.定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.

探究：一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF（图乙）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）……依次规则操作下去.n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为Sn.

⑴若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2＜Sn＜3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）

⑵当n＞1时，请写出一个反映Sn－1，Sn，Sn＋1之间关系的等式（不必证明）.

7.在下图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：

（1）观察图形，请填写下列表格：

（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设蓝色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．

8.如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，

以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；

以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；

以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；

以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，[来源:Zxxk.Com]

…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的　  　倍，第n个半圆的面积为　    　（结果保留π）