几何图形变换综合题专题训练（一）图形的折叠

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几何图形变换综合题专题训练（一）图形的折叠     折叠问题是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。此类题有一定的趣味性和挑战性，需要学生有折叠图形之间联系的空间概念，考查观察、分析能力与直觉思维能力，通过实际演示与操作给不同思维层次的学生都提供了机会．学生在解题时也可“就地取材”，剪下草稿纸的一角，动手操作即可解决．解题策略    1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．    2、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．    3、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形    4、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．勾股定理在有关图形折叠（翻折）计算的问题中的方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。典例剖析例1.如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.   解：∵E点在A上，F在CD上，因为A、C点重合，EF是折痕，设他们交与O点，∴AO=CO，EF⊥AC，∵AB=8，BC=4，∴AC=，∵AE=CE，∴∠EAO=∠ECO，∴△OEC∽△BCA，∴OE：AB=OC：BC，∴OE=， ∴EF=2OE=．故答案为：．  总结提升：本题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，利用直角三角形相似建立方程求解是关键． 对点练习;1.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ D  ）． A、     B、2     C、3     D、 例2.如图，在矩形ABCD中，AD＝12，将∠A向内翻折，使点A在BC上，记为A'，折痕为DE．（1）若点A'恰好是边BC的中点，请直接写出AB的长；（2）在（1）的条件下，若将∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B'，求出此时AE的长；（3）连结CB'，试判断CB'与A'B'的数量关系．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝12，∵将∠A向内翻折，使点A在BC上，∴AE＝A'E，AD＝A'D＝12，∵点A'是BC的中点，∴A'B＝A'C＝6，∴CD6，∴AB＝CD＝6；（2）∵A'E2＝BE2+A'B2，∴AE2＝（6AE）2+36，∴AE＝4；（3）如图，连接CB'，交A'D于H，∵∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，∴∠B＝∠A'B'E＝90°，A'B＝A'B'＝6，∴∠DCB'＝∠DB'A'＝90°，在Rt△A'B'D和Rt△A'CD中，，∴Rt△A'B'D≌Rt△A'CD（HL），∴CD＝DB'＝6，又∵A'C＝A'B'，∴A'D是B'C的垂直平分线，∴B'C'＝2CH，∵S△A'CDA'C×CDA'D×CH，∴6×612×CH，∴CH＝3，∴B'C＝6，∴CB'A'B'．【总结提升】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．对点练习：如图，Rt△ABC中，AB＝3，BC＝2，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　）A． B． C． D．【解答】解：设NB＝x，则AN＝3﹣x．由翻折的性质可知：ND＝AN＝3﹣x．∵点D是BC的中点，∴BDBC＝1．在Rt△NBD中，由勾股定理可知：ND2＝NB2+DB2，即（3﹣x）2＝x2+12，∴x，∴BN，故选：B．例3.如图，在矩形纸片ABCD中，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP＞AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长．．【解答】　(1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD.理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°.根据折叠可知：∠APM＝∠EPM，∠EPQ＝∠BPQ，∴∠APM＋∠BPQ＝∠EPM＋∠EPQ＝90°.∵∠APM＋∠AMP＝90°，∴∠BPQ＝∠AMP，∴△AMP∽△BPQ，同理：△BPQ∽△CQD.∴△AMP∽△BPQ∽△CQD.(2)设AP＝x，∴由折叠关系，BP＝AP＝EP＝x，AB＝DC＝2x.由△AMP∽△BPQ得，＝，即＝，得BQ＝x2.由△AMP∽△CQD得，＝，即＝，得CQ＝2.∴AD＝BC＝BQ＋CQ＝x2＋2.∴MD＝AD－1＝x2＋1.∵在Rt△FDM中，sin∠DMF＝，∴＝.解得x1＝3，x2＝(不合题意，舍去)．即AB＝6.总结提升：本题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定，利用直角三角形相似建立方程求解是关键．对点练习  如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是______8___．【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF+PD化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF即可．    例4 如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图 ⑥）．（1）求图 ②中∠BCB′的大小；（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由． 解析：（1）由对称的性质可知：B’C=BC，然后在Rt△B′FC中，求得cos∠B’CF= ，利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’= 60°；（2）首先根据题意得：GC平分∠BCB’，即可求得∠GCC’= 60°，然后由对称的性质知：GH是线段CC’的对称轴，可得GC’= GC，即可得△GCC’是正三角形． 对点练习：1．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上　不与A、D重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？ (2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式；(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．         解析:(1)BB’ = MN过点N作NH∥BC交AB于点H），证△ABB’ ≌ △HNM(2)MB’ = MB = y，AM = 1 – y，AB’ = x在Rt△ABB’中BB’ = = 因为点B与点B’关于MN对称，所以BQ = B’Q，则BQ = 由△BMQ∽△BB’A得BM×BA = BQ×BB’∴ y = ×  = (3) 梯形MNC′B′的面积与梯形MNCB的面积相等由(1)可知，HM = AB’ = x，BH = BM – HM = y – x，则CN = y - x∴梯形MNCB的面积为：(y – x + y) ×1 = (2y - x)= (2×– x)= (x - )2 + 当x = 时，即B点落在AD的中点时，梯形MNC’B’的面积有最小值，且最小值是  2.已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8．（1）如图1，点P从点D开始沿D→A以每秒1个单位的速度移动，同时另一个点Q从点B开始在线段BC上以每秒3个单位的速度往返移动．设P，Q运动时间为t秒，当0＜t≤8时，是否存在这样的时刻，四边形DCQP为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，点A与点E重合，展平后折痕为MF．一动点N从点D出发，沿D→A→B→C→D，以每秒1个单位的速度移动一周，设N运动的时间为x秒．请直接写出当△MFN为直角三角形时x的值．【解答】解：（1）∵四边形DCQP为平行四边形，∴PD＝CQ，当0＜t时，则t＝8﹣3t，得t＝2；当，则t＝3t﹣8，得t＝4；当时，则t＝24﹣3t，得t＝6；综上，存在这样的时刻，使得四边形DCQP为平行四边形，t的值为：2或4或6；（2）根据折叠的性质得，BF＝DF，∠BFM＝∠DFM，∵矩形ABCD中AD∥BC，∴∠DMN＝∠BFM，∴∠DMF＝∠DFM，∴DM＝DF，∴AM＝CF，设BF＝DF＝DM＝x，则AM＝CF＝8﹣x，∵∠C＝90°，∴DF2﹣CF2＝CD2，即x2﹣（8﹣x）2＝42，解得，x＝5，∴BF＝DM＝5，AM＝CF＝3，①过F作FG⊥AD于点G，如图1，则DG＝CF＝3，当N点与G点重合时，△MFN中∠MNF＝90°，此三角形为直角三角形，此时x＝3；②过M点作MH⊥MF，MF与AB交于点H，如图2，∴∠AMH+∠GMF＝90°，∵∠A＝∠FGM＝90°，∴∠AMH+∠AHM＝90°，∴∠AHM＝∠GMF，∴△AMH∽△GMF，∴，∵AM＝3，MG＝MD﹣DG＝5﹣3＝2，GF＝CD＝4，∴，故当N点与H点重合时，△MFN中∠NMF＝90°，此三角形为直角三角形，此时x＝89.5；③过M作MK⊥BC于点K，如图3，则BK＝AM＝3，故当N点与K点重合时，△MFN中∠MNF＝90°，此三角形为直角三角形，此时x＝8+4+3＝15；④过点F作FL⊥MF，FL与CD交于点L，如图4，∴∠MFK+∠CFL＝90°，∵∠MKF＝∠C＝90°，∴∠CFL+∠CLF＝90°，∴∠KFM＝∠CLF，∴△KFM∽△CLF，∴，∵MK＝AB＝4，KF＝BF﹣BK＝5﹣3＝2，CF＝3，∴，故当N点与L点重合时，△MFN中∠MFN＝90°，此三角形为直角三角形，此时x＝8+4+821.5；综上，当△MFN为直角三角形时x的值为3或9.5或15或21.5