几何图形变换综合题专题训练（二）图形的平移

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中考典型问题复习 几何图形变换专题训练（二）图形的平移    图形变换问题主要包括图形的轴对称、图形的平移及图形的旋转，在涉及图形变化的考 题中，解决问题的方法较多，关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据图 形变换的特点发现变化的规律很重要，近几年来各地中考试题中，有较多问题需要利用图形 变换进行思考和求解．这类问题考查学生的思维灵活性及深刻性，具有很好的选拔与区分功 能，成为近年来各地中考试题的热点问题． 解题策略：平移变换问题：分几何图形平移变换和函数图像平移变换。平移是将一个图形沿 某一方向移动一段距离，不会改变图形的大小和形状，只改变图形的位置．在图形的变化过 程中，解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再 根据具体图形变换的特点确定其变化。1.平移的条件：确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。2、平移的要点：（1）原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。（2）平移的方向。（东南西北，上下左右,东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）（3）平移的距离。（长度，如7厘米，8毫米等）3、平移的性质经过平移，对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化。（2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等。（3）多次连续平移相当于一次平移。（4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。（5）平移是由方向和距离决定的。（6）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行（或共线）且相等。典例剖析考向一 几何图形平移变换例1.（2022•淄博）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是 　（1，3）　．例2．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于（　　）A．2 B．3 C． D．对点练习：1.如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上．（1）求证：；（2）求证：．2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长．考向二 函数图像平移变换例3（2021秋•枣阳市期末）将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到的图象对应的函数解析式是（　　）A．y＝（x﹣3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x+3）2+5例4（2021秋•天山区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．抛物线与y轴交于C点，P为该抛物线上一动点．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）将该抛物线沿y轴向下平移3个单位，点P的对应点为P'，若OP＝OP'，求P的坐标。对点练习1.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），且过点C（0，﹣3），（1）求抛物线的表达式．（2）请写出一种平移的方法，使这条抛物线平移后的顶点落在直线y＝3上，并写出平移后的抛物线表达式．（2021秋•开化县期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为点A，交y轴于点B．BC∥x轴，与抛物线交于点C，若将该抛物线进行平移，使顶点落在点C处，则平移后的抛物线表达式为 　      　．        几何图形变换综合题专题训练（二）图形的平移（解析版）典例剖析考向一 几何图形平移变换例1.（2022•淄博）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是 　（1，3）　．思路引领：根据点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），可得点A向右平移5个单位，向上平移1个单位至A1，进而可以解决问题．解：∵点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），∴点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是（1，3）．故答案为：（1，3）．总结提升：本题考查了坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握平移的性质．例2．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于（　　）A．2 B．3 C． D．思路引领：由S△ABC=9、S△A′EF=4且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，根据△DA′E∽△DAB知，据此求解可得．【详解】解：如图，∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′EAB，∴△DA′E∽△DAB，则，即，解得A′D=2或A′D=-（舍），故选A．总结提升：本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．对点练习：1.如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上．（2）求证：；（2）求证：．  思路引领：（1）通过两角和等于，然后通过等量代换即可证明；（2）通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明． 证明：（1）在等腰直角三角形中，，∴．∵，∴，∴．（2）连接．由平移的性质得．∴，∴，∴．∵是等腰直角三角形，∴．由（1）得，∴，∴，∴．总结提升：本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质．2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长．思路引领：（1）由平移的性质可知△DCE≌△ABC．故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出结论．（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长． 解：（1）AC⊥BD．证明如下：∵△DCE由△ABC平移而成，∴△DCE≌△ABC．又∵△ABC是等边三角形，∴BC=CD=CE=DE，∠E=∠ACB=60°．∴∠DBC=∠BDC=30°．∴∠BDE=90°．∵BD⊥DE，∵∠E=∠ACB=60°，∴AC∥DE．∴BD⊥AC．（2）在Rt△BED中，∵BE=6，DE=3，∴．（1）由平移的性质可知△DCE≌△ABC．故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出结论．（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．总结提升：本小题考查平移的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握平移的性质和全等三角形的性质及勾股定理求解．考向二 函数图像平移变换例3（2021秋•枣阳市期末）将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到的图象对应的函数解析式是（　　）A．y＝（x﹣3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x+3）2+5思路引领：求出y＝x2﹣2x+3图象的顶点坐标，可得平移后抛物线的顶点坐标，即可得到平移后抛物线解析式．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴二次函数y＝x2﹣2x+3的图象的顶点为（1，2），∴向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到的抛物线顶点是（3，5），∴平移后的抛物线为：y＝（x﹣3）2+5，故选：A．总结提升：本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是掌握求抛物线顶点的方法及二次函数顶点式，本题也可根据“左加右减，上加下减”的平移规律解答．例4（2021秋•天山区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．抛物线与y轴交于C点，P为该抛物线上一动点．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）将该抛物线沿y轴向下平移3个单位，点P的对应点为P'，若OP＝OP'，求P的坐标。思路引领：（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）根据平移规律求得PP′＝3，结合已知条件OP＝OP'和OA⊥PP′，可得点P的纵坐标，由此可解答； 解：（1）由题意，得．解得．则该抛物线解析式为：；（2）∵抛物线是向下平移了3个单位，∴PP'＝3．∵OP＝OP'，OA⊥PP′，如图，∴点P的纵坐标为，∴当y时，．∴x1＝0，x2＝2；∴P的坐标为（0，）或（2，）；总结提升：本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，待定系数法求函数解析式，角度的存在性，图形的平移等，解题的关键利用分类讨论思想分情况讨论，并画出图形。对点练习已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），且过点C（0，﹣3），（1）求抛物线的表达式．（2）请写出一种平移的方法，使这条抛物线平移后的顶点落在直线y＝3上，并写出平移后的抛物线表达式．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），且过点C（0，﹣3），∴，解得，，即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，这条抛物线平移后的顶点落在直线y＝3上，∴抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1向上平移2个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，则抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点在直线y＝3上，即抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1向上平移2个单位长度后抛物线的顶点落在直线y＝3上，平移后的抛物线的表达式是y＝﹣（x﹣2）2+3．（2021秋•开化县期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为点A，交y轴于点B．BC∥x轴，与抛物线交于点C，若将该抛物线进行平移，使顶点落在点C处，则平移后的抛物线表达式为 　      　．答案：y＝﹣（x﹣2）2+3．解析：∵y＝﹣x2+2x+3，∴B（0，3），把y＝3代入y＝﹣x2+2x+3得3＝﹣x2+2x+3，解得x＝0或x＝2，∴C（2，3），∴平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x﹣2）2+3，故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+3．