通用版2023届高考数学二轮复习分离法作业含答案

分离法

一、单选题

1.  函数的值域是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  函数的最小值为，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  恰有一个实数使得成立，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知函数的图象在处的切线与直线垂直，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知当时，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知函数为自然对数的底数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数满足，，且与的图象交点为，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知函数，若对任意的，，都有，则实数的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  设函数，，，若对于任意的，都成立，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知函数有两个零点，则的最小整数值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题

12.  已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是          ．

13.  已知数列满足前项和，且对一切恒成立，则实数的取值范围是          ．

14.  已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为          ．

15.  已知函数的图象上存在点使得为自然对数的底数，则实数的取值范围为          ．

16.  数列的前项和为，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是          ．

17.  已知，若图象上存在关于原点对称的点，则的取值范围是          ．

18.  函数的最大值为，最小值为，则          ．

19.  在数列中，，为的前项和，且函数的导函数有唯一的零点，则          ；当不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为          ．

20.  若存在正数，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为          ．

三、解答题

21.  本小题分

已知函数．

若在区间上是单调函数，求实数的取值范围

函数，若使得成立，求实数的取值范围．

22.  本小题分

已知函数

  当时，讨论的单调性

  若有两个零点，求的取值范围．

23.  本小题分

已知函数，．

若，求 的极值；

若对于任意的，，都有 ，求实数的取值范围．

24.  本小题分
已知函数
讨论函数的单调性；
若，是否存在实数，都有恒成立，若存在求出实数的最小值，若不存在说明理由．

25.  本小题分

已知函数，．

若函数的值域为，求实数的取值范围；

若方程有且只有一解，求实数的取值范围．

26.  本小题分
已知函数，．
设，分别为，的导函数，试讨论根的个数
若，当时，恒成立，求的取值范围．

答案和解析

1. 

【解析】

【分析】

本题考查了函数值域的求法，属于中档题．
利用分离常数法求函数的值域．注意定义域范围．

【解答】

解：由题意：函数
，
又，．
则：，
所以得原函数的值域为，
故选C．

2. 

【解析】

【分析】

本题考查求函数的最小值，属于基础题目．
利用分离常数法变形后利用函数的单调性由函数的最小值为得出的取值范围即可．

【解答】

解：函数在区间上单调递减．
当时，．

根据题意时，．
所以的取值范围是．
故选D．

3. 

【解析】

【分析】

本题考查导数中的零点问题，考查利用导数研究函数的单调性与极值，属于中档题．
由题意可得方程只有一个实数解，设，利用导数求出的单调性与极值，数形结合，即可求解．

【解答】

解：由题意得，
，
则恰有一个实数满足等价于与的图象只有一个交点，
设，
令，得，
在上单调递减，在，上单调递增，
则，
的图象如图所示，

由图可得当时，与的图象只有一个交点．
即当  时，恰有一个实数使得成立．
故选B．

4. 

【解析】

【分析】

本题主要考查导数的几何意义的应用及利用分离参数法求解参数的最值，体现转化思想，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程可得，由题意可得在时恒成立，令，，求得的导数和单调性、最值，可得所求最大值．

【解答】

解：函数的导数为，
由题意可得的图象在处的切线的斜率为，
由切线与直线垂直，可得，解得，
对任意的，不等式恒成立，
即为在时恒成立，
故在时恒成立，
令，，
则，
易得，时，恒成立，
故时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
故时，取得最小值，
则，可得的最大值为．
故选：．

5. 

【解析】

【分析】

本题考查导数的应用，属于一般题．
令，利用导数求出单调性，得，即可求的范围．

【解答】

解：由题设，当时，，
令，则，
所以当时，，则单调递增当时，，单调递减．
又，，
所以当时，直线与的图象有两个交点，
即函数的图象与函数的图象有且只有两个交点．
故选A．

6. 

【解析】

【分析】

本题考查了导数的应用，考查转化思想，属于中档题．
由已知，得到方程在上有解，构造函数，求出它的值域，得到的范围即可．

【解答】

解：由已知，得到方程在上有解．
设，，
求导得：，
当时，
当时，
为的极大值点，
，，，且知，
故方程在上有解等价于．
从而的取值范围为．
故选：．

7. 

【解析】

【分析】

本题考查导数中的不等式恒成立问题，属于中档题．
根据在上恒成立，得到在上恒成立，分离出变量得到在上恒成立，构造函数，求得的最小值，进而得到的取值范围．

【解答】

解：在上恒成立，
即在上恒成立，
时，，
所以在上恒成立，
即，
令，
，
在上恒成立，
所以在上单调递增，
．
即．
故选A．

8. 

【解析】

【分析】

本题考查函数的对称性的应用，属于中档题．
由题意知，的图象都关于点成中心对称，故每两个关于对称的交点的横坐标之和为，纵坐标之和为，故得到，，即可求出结果．

【解答】

解：对任意的，都有成立，即，
故的图象关于点中心对称，
函数的图象也关于点中心对称，
故两个函数图象有相同的对称中心，
故每两个关于对称的交点的横坐标之和为，纵坐标之和为，
故得到，，
故．
故选D．

9. 

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．
设，由题意得出在上单调递减，转化为在上恒成立，即在上恒成立，令，利用导数求出的最大值，即可求解．

【解答】

解：设，
不妨设，由，
得，
即，即，
所以在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
令，则；令，则．
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，即，即实数的最小值为
故选A．

10. 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的极值与最值，考查学生的逻辑思维能力和计算能力，属中档题．
分别证明，，对恒成立，先证明，变形为，利用导数求得新函数的最小值，从而求得参数取值范围．再证明，由函数及的图像易知，若使对于恒成立，只需处在图像上方，的最小值在处，两个图像相切处取得，求得参数取值范围．

【解答】

解：对于，先证明，，即，
令，则，易知单调递增，且，
则时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增；
函数在处取最小值，此时；
再证明，即，
由函数及的图像易知，若使对于恒成立，
只需处在图像上方，的最小值在处，两个图像相切处取得，
函数的导数为，当时，，即，
综上，实数的取值范围为，
故选：．

11. 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数求函数的单调区间以及零点，考查转化能力，属于中档题．
分离参数得到，换元，求解的范围，再研究函数的单调性和极值，利用有两个交点可得的范围，即可求得的最小整数值．

【解答】

解：根据函数有两个零点，所以，
设，当时不成立，则，
则，则，所以在上单调递增，
所以，
令， ，令，则，
当，时，单调递减，当时，单调递增，
 ，
由题意可知，当时，与的图象有两个交点．
的最小整数值为．
故答案为：．

12. 

【解析】

【分析】

本题考查函数的存在性与恒成立问题，考查导数的应用，函数的单调性问题．
由，都，使得，可先求在的最小值，再由在上有解，可得的范围．

【解答】

解：当时，由得，，
在单调递减，
是函数的最小值，
若，，使得，
则在上有解，
在上有解，
在上有解，
因为时，，
当时，取最大值，
故在上有解，则，
若，，使得，
则实数的取值范围是，
故答案为．

13. 

【解析】

【分析】

本题考查数列的通项公式，不等式恒成立问题．
根据题意，可得，只需大于等于的最大值即可，求出的最大值即可得解．

【解答】

解：由题意，数列满足前项和，
当时，，
当时上式也成立，故，
由对一切恒成立，又因为
可得对一切恒成立，
，
令，，
当时，，
即函数在上单调递减，，
综上所述，当时，取最大值，
故答案为．

14. 

【解析】

【分析】

考查函数单调性，不等式恒成立问题，是中档题．
构造新函数，求导根据导数大于等于零得到，构造，求导得到单调区间，计算函数最小值得到答案．

【解答】

解：当时，不等式恒成立，
所以，所以在上是增函数，
，则上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以，
所以．
故答案为：．

15. 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数、二次函数的性质，利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数研究存在性问题，考查运算求解能力，属于中档题．
利用三角函数和二次函数的性质求出的值域，令，则问题转化为：存在，使得成立，然后利用导数求出，的值域即可．

【解答】

解：，
，，
令，则问题转化为：存在，使得成立，即成立，
设，，则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
，，，
，，
实数的取值范围是．
故答案为．

16. 

【解析】

【分析】

本题主要考查了数列的递推关系，等差数列的判定及通项公式，以及不定式恒成立问题，属于中档题．
由题意，可推出数列是首项为公差为的等差数列，则可得，从而可推出恒成立，由此求出，可得实数的最小值．

【解答】

解：因为时，，
所以，而，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
故，从面，又因为恒成立，
即恒成立，所以，
由，得，
所以，
所以，即实数的最小值是．
故答案为．

17. 

【解析】

【分析】

函数的图象上存在关于原点对称的点，等价于在上有解，即在上有解，，利用导数得到，即可求得的取值范围．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，考查了函数与方程的关系，考查推理论证及运算求解能力，是中档题．

【解答】

解：令，，则，
函数的图象上存在关于原点对称的点，即的图象与函数，的图象有交点，
即在上有解，则在上有解，
设，，则，
令，则，，
当时，，为减函数，当时，，为增函数，
的最小值为．
若在上有解，则．
的取值范围是．
故答案为：．

18. 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题．
由题意，将解析式变形为，设，得到的定义域为，判断奇偶性，利用奇函数的性质得到，得到，即得到所求．

【解答】

解：由题意可知，，
设，则的定义域为，
所以，
所以为奇函数，所以，
所以．
故答案为：．

19.  

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的通项公式和求和公式，数列的函数特征，不等式恒成立问题，导数的运算，函数的奇偶性．
先求导，得到为偶函数，进一步得到，求出等差数列的通项，得到对任意的都成立，分离参数，分为奇数和偶数讨论，求解即可．

【解答】

 解： 由题意 ，则为偶函数，
由关于的方程 有唯一的解，
知是该方程的唯一解，则有，，
所以数列为首项为，公差为的等差数列，则，，
，，
由，可得，
则有，，
令，，
则，且，
易得，当时，；
当时，，
所以有，
当为偶数时，，从而得；
当为奇数时，，从而得；
综上可得得取值范围为．
故答案为；．

20. 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的最值，对数函数的运算以及换元法，属于中档题．
由，可得，令，，利用导数求出的最值，即可得到答案．

【解答】

解：由，，为正数，
，
令，，
则，则，
令，，
所以在上单调递减，
又因为，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，且，
所以的取值范围为
故答案为

21.解： ，
当导函数的零点落在区间内时，函数在区间上就不是单调函数，即，
所以实数的取值范围是

由题意知，不等式在区间上有解，即在区间上有解．

因为当时，不同时取等号，所以，所以 在区间上有解．

令，

则．

因为，所以，

所以，在上单调递增，

所以时，，所以，

所以实数的取值范围是， 

【解析】本题主要考查函数单调性和导数之间的应用，根据函数单调性和导数的关系转化为导数问题是解决本题的关键．

根据题意当导函数的零点落在区间内时，函数在区间上就不是单调函数，即，从而可得结论；
由题意 在区间上有解，构造函数，求得 在上单调递增，继而求得最大值，可得结论．

22.解：当时，，

则，

令，得；令，得，

从而在上单调递减；在上单调递增．

令，

显然，所以，

令，
问题转化为直线与函数的图象有两个交点，

所以，

当时，，单调递减；
当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以的极小值为，

当时，，当时，，

所以当时，与的图象有两个交点，

所以的取值范围为．

【解析】本题考查利用导数判断函数的单调性，利用导数研究函数的零点，属于中档题．

先求导，根据导函数的正负可得出函数的单调性；

先分离参数得，再构造函数，利用导数研究函数的单调性与极值，即可得出的取值范围．

23.解： 的定义域为，
当时， ．
，
，
当时，， 是增函数，
当时，， 是减函数．
 有极小值 ，没有极大值．
，
．
当时，，
在上是单调递增函数，．
对于任意的，， 恒成立，即对任意， 恒成立，
即恒成立．
令，则．
当时，，当时，，
在上是增函数，在上是减函数，
当时，的最大值为，
，
即的取值范围是． 

【解析】本题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究闭区间上函数的最值，恒成立问题等知识，属中档题．
求出导函数，然后求出导函数的零点，并判断导函数在零点左右两侧的符号，若异号，则有极值，若同号，则无极值；
先求出在区间上的最大值，将恒成立问题转化为，即对任意的恒成立，构造函数，通过导数求出最值即可解决．
 

24.解：，
当 时，，在单调递增，
当 时，，
令 ，得，得，
在单调递增，在单调递减，
综合得：当 时，在单调递增；
当 时，在单调递增，在单调递减；
，，
，，
令 ，，
令 ，
单调递减，
，
，
，使得，
即 ，
当 ，，，单调递增，
，，，单调递减，
，
，
，
的最小值为． 

【解析】本题考查导数研究函数的单调性、最值，分类讨论思想，考查恒成立问题，隐形零点问题，属中档题．
讨论导函数的符号即可求解；
先分离参数，再构造函数求导研究其最值，从而得的范围，从而得实数的最小值．
 

25.解：若函数的值域为，
则的值域包含，
令，
则，
得或，
所以；
，，
令，
则，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
所以当时，，
当时，，
当时，无解，此时没有解；
当时，只有一解，此时有且只有一解；
当时，
在上单调递减，在上有且只有一解
在上单调递增，在上有且只有一解，
综上时，有两解；
所以． 

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
根据题意可得，解不等式即可；
令，求导，判断出的最值，再分、、进行讨论即可求解．
 

26.解：因为，，
所以，，
即为，
所以，
考虑函数，
则，
显然是增函数，
且当时，，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，恒成立；当时，，
所以当时，无实数根；
当或时，有个实数根；
当时，有个实数根．
若，则，，
恒成立，
即恒成立；
当时，上式恒成立；
当时，；
当时，，
考虑函数，
则，
当时，，，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在上单调递减，
从而；
当时，，，，
所以在上单调递增，
此时，，
综上，的取值范围是． 

【解析】本题考查函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究恒成立问题，属于较难题．
对和分别求导，然后研究函数，对分类讨论可以得到其实数根的个数；
代入，问题转化为研究函数，对其求导，分类讨论研究其最值，可以得到的取值范围．