通用版2023届高考数学二轮复习计数原理作业含答案

计数原理

一、单选题

1.  现有三名学生与两名教师随机地排一排照相，则每名学生都至少与一名教师相邻的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  由，，，，，，，，，组成没有重复数字的五位数，且是奇数，其中恰有两个数字是偶数，则这样的五位数的个数为．(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某市抽调位医生分赴所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生．由于工作需要，甲、乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  党的二十大报告再次提出了“促进世界和平与发展，推动构建人类命运共同体”的全球合作倡议由我国倡导搭建的“一带一路”合作平台日益成为国际广泛参与的重要合作机制，某高校“一带一路”青年交流协会共名成员，其中人只会俄语，人只会阿拉伯语，人既会俄语又会阿拉伯语现要选派俄语翻译人、阿拉伯语翻译人共人去参加“一带一路”合作论坛志愿者服务，则不同的选派方法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

5.  某学校每天安排四项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：每位学生每天最多选择项；每位学生每项一周最多选择次．学校提供的安排表如下：

若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程项，则不同的选择方案共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

6.  的展开式中常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  据水利部消息，受降雨影响，嫩江尼尔基水库月日时入库流量立方米每秒，依据水利部全国主要江河洪水编号规定，编号为“嫩江年第号洪水”现有名消防员志愿者到，，三个社区参加抗洪救灾工作，根据工作实际需要，社区要分配名志愿者，，两个社区各名志愿者，则不同的分配方法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

8.  用五种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

9.  已知随机变量，且，则的展开式中的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题

10.  将四个不同的小球放入三个分别标有，，号的盒子中，不允许有空盒子，下列结果正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大，则下列结论正确的为(    )

A. 展开式中偶数项的二项式系数之和为 B. 展开式中二项式系数最大的项只有第三项
C. 展开式中没有常数项 D. 展开式有理项为第四项、第六项

12.  第五届世界智能大会于年月日至日在天津召开，小张小赵小李小罗小王五人为志愿者大会结束之后，五人合影留念，则下列说法正确的有(    )

A. 若五人站成一排，小张小赵排在一起，则不同的排法有种
B. 若五人站成一排，小张小赵不在一起，则不同的排法有种
C. 若五人站成一排，小张小赵不在两端，则不同的排法有种
D. 若安排五人站成两排，前排两人，后排三人，后排要求三人中身高最高的站中间， 已知五人身高各不相同，则有种不同的站法

13.  某工程队有辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分辆工程车，则下列结论正确的有(    )

A. 分给甲、乙、丙三地每地各辆，有种分配方式
B. 分给甲、乙两地每地各辆，分给丙、丁两地每地各辆，有种分配方式
C. 分给甲、乙、丙三地，其中一地分辆，另两地各分辆，有种分配方式
D. 分给甲、乙、丙、丁四地，其中两地各分辆，另两地各分辆，有种分配方式

三、填空题

14.  在的展开式中，则的系数是          ．

15.  已知展开式中所有偶数项的二项式系数和为，则展开式中不含的各项系数之和为          ．

16.  已知的展开式中的系数为，则实数的值为          ．

17.  的展开式中不含的各项系数之和          ．

18.  若二项式的展开式中，项的系数为，则的值为          ．

19.  图是一枚质地均匀的骰子，图是一个正六边形边长为个单位棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：先将一棋子放在正六边形的顶点处．如果掷出的点数为，则棋子就按顺时针方向行走个单位，一直循环下去．则某人抛掷两次骰子后棋子恰好有又回到点处的所有不同走法共有          种．
 

         图                                图

20.  已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为，，则的最小值为          ．

21.  六名考生坐在两侧各有一条通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完试卷后立即离开座位走出教室则其中至少有一人交卷时为到达通道而打扰其他尚在考试的同学的概率为          ．

22.  十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六组．甲、乙、丙三位同学依次选一组作为礼物，甲同学喜欢龙和马，乙同学喜欢牛、羊和猴，丙同学喜欢兔、马、狗．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数为          ．

23.  从名骨科、名脑外科和名内科医生中选派人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是          用数字作答．

24.  在的展开式中，含的系数是，          ；若对任意的，恒成立，则实数的最小值是          ．

25.  在的展开式中其中，，，叫做项式系数，当，，，，得到如图所示的展开式，下图所示的“广义杨辉三角”

若在的展开式中，的系数为，则实数的值为          
          可用组合数作答．

答案和解析

1. 

【解析】

【分析】

本题主要考查古典概型求概率，考查排列数的应用，属于基础题．
由题意每名学生都至少与一名教师相邻有三种的情况，结合排列数公式及古典概型求概率．

【解答】

解：分别用、表示老师、学生，
每名学生都至少与一名教师相邻的情况有，，三种，
则每名学生都至少与一名教师相邻的概率为．
故选D．

2. 

【解析】

【分析】

本题考查排列、组合的综合应用，属于中档题．
以偶数数字取不取，分两类讨论，每类用先取后排的策略即可求解．

【解答】

第一类，偶数数字取，
先从，，，，中取个奇数，从，，，中取个偶数，
有中取法，然后将个位数排一个奇数，十位、百位、千位，
选一个出来排，剩下个数字全排列，即有种排法，
所以本类满足条件的五位数有个；
第二类，偶数数字不取，
先从，，，，中取个奇数，从，，，中取个偶数，
有中取法，然后将个位数排一个奇数，剩下个数字全排列，
即有种排法，
所以本类满足条件的五位数有个
综上，这样的五位数个数为．
故选：．

3. 

【解析】

【分析】

本题考查了有限制条件的排列组合问题，属于中档题．
解决该题可以从反面入手，先求解无限制条件的安排，然后求不满足条件的安排，作差即可．

【解答】

解：若甲乙医生无特殊要求，则共用种不同的安排方法，若甲、乙两位医生安排在同一家医院，则有种不同的安排方法，故甲、乙两位医生安排在不同的医院有种不同的安排方法．
故选B．

4. 

【解析】

【分析】

本题考查分类加法计数原理，根据题意，设只会翻译俄语的人，只会翻译阿拉伯语的人，既会翻译俄语又会翻译阿拉伯语的人，据此按集合中参与人数分种情况讨论，由加法原理计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，设只会翻译俄语的人，只会翻译阿拉伯语的人，既会翻译俄语又会翻译阿拉伯语的人，

据此分种情况讨论：

从中选人翻译俄语，翻译阿拉伯语的在中剩下的人中选取，有种选法，

从中选人翻译俄语，中选人翻译俄语，翻译阿拉伯语的在中剩下的人中选取，有种选法，

从中选人翻译俄语，中人翻译俄语，中人翻译阿拉伯语，有种选法，

则有种不同的选法；

故选：．

5. 

【解析】

【分析】

本题考查分类加法计数原理的应用，属基础题．
利用分类加法计数原理可得不同的选课方案数．

【解答】

解：由表可知周一至周四都可选阅读，周一、周三和周四可选体育，周一、周二和周四可选编程．
故可分类：当周一选阅读，若周三选体育，编程有种方法，若体育选周四，编程有种方法，共种选法
当周二选阅读，若编程选周一，体育有种方法，若编程选周四，体育有种方法，共种选法
当周三选阅读，若体育选周一，编程有种方法，若体育选周四，编程有种方法，共种选法
当周四选阅读，若体育选周一，编程有种方法，若体育选周三，编程有种方法，共种选法
再由分类加法计数原理可得不同的选课方案共有种．
故选D．

6. 

【解析】

【分析】

本题考查了二项式定理的应用，属于中档题．
由的通项公式，即可得解．

【解答】

解：由的通项公式，
当即时，，
当即时，，
的展开式中常数项．
故选：．

7. 

【解析】

【分析】

 本题考查分步乘法计数原理以及组合数的应用，属于基础题．
根据分步乘法计数原理以及组合数的计算即可求解．

【解答】

解：由题意可知，可以先从名消防员志愿者中选出人到社区，
再从剩下的名消防员志愿者中选出人到社区，剩下的名消防员志愿者去社区，
根据分步乘法计数原理可得不同的分配方法有种．
故选：．

8. 

【解析】

【分析】

本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题．
分两步进行，先对、、涂色，再对、、涂色．

【解答】

解：分两步进行，先对、、涂色，再对、、涂色．
若种颜色都用上，先涂、、，方法有种；
再涂、、中的两个点，方法有种，最后剩余的一个点只有种涂法，
故此时方法共有种．
若种颜色只用种，首先选出种颜色，方法有种；
先涂、、，方法有种；
再涂、、中的个点，方法有种，最后剩余的两个点只有种涂法，
故此时方法共有种．
若种颜色只用种，首先选出种颜色，方法有种；
先涂、、，方法有种；再涂、、，方法有种，
故此时方法共有种．
综上可得，不同涂色方案共有种，
故选D．

9. 

【解析】

【分析】

本题主要考查二项展开式的特定项与特定项的系数，以及正态曲线及其性质，属于拔高题，
根据正态曲线的性质可求得，再分别求出与的展开式的通项，令其通项之积的指数为即可求解．

【解答】

解：根据正态曲线的性质可知，，解得，
的展开式的通项公式为，，
的展开式的通项公式为，，
令两式展开式通项之积的指数，可得或
的展开式中的系数为
故选A．

10. 

【解析】

【分析】

本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题．
根据题意，分析可得三个盒子中有个中放个球，有种解法：解法一：分步进行分析：、先将四个不同的小球分成组，、将分好的组全排列，对应放到个盒子中，由分步计数原理计算可得答案；解法二：分步进行分析：、在个小球中任选个，在个盒子中任选个，将选出的个小球放入选出的小盒中，、将剩下的个小球全排列，放入剩下的个小盒中，由分步计数原理计算可得答案，综合种解法即可得答案．

【解答】

解：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有，，号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有个盒子放个球，剩下的个盒子中各放个，
有种解法：
解法一：分步进行分析：
先将四个不同的小球分成组，有种分组方法；
将分好的组全排列，对应放到个盒子中，有种放法；
则没有空盒的放法有种；
解法二：分步进行分析：
在个小球中任选个，在个盒子中任选个，将选出的个小球放入选出的盒中，有种情况；
将剩下的个小球全排列，放入剩下的个小盒中，有种放法；
则没有空盒的放法有种．
经计算，中数值都是，
故选：．

11. 

【解析】

【分析】

本题考查二项式定理及二项式系数的性质，属于中档题．
先利用赋值法，求出指数，然后利用通项法、二项式系数的性质逐项判断．

【解答】

解：令可得展开式中各项系数的和为，二项式系数的和为，
故，解得，故原式，
展开式中二项式系数之和为，故偶数项的二项式系数之和为，故A正确；
展开式中二项式系数最大的项是第三、四项，故B错误；
通项，，，，，，，
显然无正整数解，故展开式无常数项，C正确；
通项中，当，时，指数为整数，故有理项为第三、六项，故D错误．
故选：．

12. 

【解析】

【分析】

本题考查排列的应用， 属于中档题．
根据排列的定义和计算公式逐项计算即可求解．

【解答】

解：，采用捆绑法，共有种，正确；
，采用插空法，共有种，正确；
，先考虑小张小赵的站位，再考虑剩下三人，共有种，错误；
，方法一：采用定序法，共有种，
方法二：假设身高从低到高的顺序为，，，，，
则当站后排中间时，剩下人全排列，
当站后排中间时，只能站第一排有两种可能，剩下人全排列，
当站后排中间时，和只能站在前排有种可能，剩下人全排列，
，无论怎样排列均无法站在后排中间位置，
即总数为，正确．
故选ABD．

13. 

【解析】

【分析】

本题考查了排列、组合的综合应用，属于难题．
对于，先从辆工程车中分给甲地辆，再从剩余的辆工程车中分给乙地辆，最后的辆分给丙地，故可运算；
对于，辆工程车先分给甲、乙两地每地各辆，剩余辆分给丙、丁两地每地各辆，故可运算；
对于，先把辆工程车分成组：辆、辆、辆，再分给甲、乙、丙三地，故可运算；
对于，先把辆工程车分成组：辆、辆、辆、辆，再分给甲、乙、丙、丁四地，故可运算．

【解答】

解：对于，先从辆工程车中分给甲地辆，有种方法，
再从剩余的辆工程车中分给乙地辆，有种方法，
最后的辆分给丙地，有种方法，
所以不同的分配方式有种，故A错误
对于，辆工程车先分给甲、乙两地每地各辆，有种方法，
剩余辆分给丙、丁两地每地各辆，有种方法，
所以不同的分配方式有种，故B正确
对于，先把辆工程车分成组：辆、辆、辆，有种方法，
再分给甲、乙、丙三地，所以不同的分配方式有种，故C错误
对于，先把辆工程车分成组：辆、辆、辆、辆，有种方法，
再分给甲、乙、丙、丁四地，
所以不同的分配方式有种，故D正确．
故选：．

14. 

【解析】

【分析】

本题主要考查二项展开式中指定项系数，属于基础题．
 

【解答】

解：二项展开式通项，
令，得，则的系数是．

15. 

【解析】

【分析】

本题考查二项式定理，属于基础题．

【解答】

解：展开式中所有偶数项的二项式系数和为，则，则，
则的展开式的通项为，所以，
在中令，得二项式各项系数之和为，
所以展开式中不含的各项系数之和为．

16. 

【解析】

【分析】

本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于中档题．
由，分别写出和的展开式通项，分别令的指数为，求出对应的参数值，代入通项可得出关于的等式，进而可求得实数的值．

【解答】

解：，

的展开式通项为，
的展开式通项为，
令，可得．
所以的展开式中的系数为：，解得．
故答案为：．

17. 

【解析】

【分析】

本题考查了二项式展开式各项系数的和，属于基础题．
分别讨论与中不含的各项系数，再求出的各项系数之和即可求解．

【解答】

解：在的展开式中，不含的系数只有，
在的展开式中，不含的系数只有，
在中，令，可得的各项系数之和，
所以的展开式中不含的各项系数之和．
故答案为：．

18. 

【解析】

【分析】

本题考查求二项展开式特定项的系数以及二倍角公式的应用．
先根据展开式通项，以及项的系数为，求出，再运用二倍角余弦公式求解即可．

【解答】

解：由二项展开式的通项，
又项的系数为，
可得，所以，
因此．
故答案为．

19. 

【解析】

【分析】

本题考查分类加法计数原理，属于中档题．
根据题意，分析可得若抛掷两次骰子后棋子恰好又回到点处，则抛掷两次骰子的点数之和是或，列举出所有可能的情况，可得答案．

【解答】

解：由题意，抛掷两次骰子后棋子恰好又回到点处，则抛掷两次骰子的点数之和为或，

点数之和为的情况有：；；；排列方法共有种；

点数之和为的情况有：；排列方法共有种；

所以，抛掷两次骰子后棋子恰好又回到起点处的所有不同走法共有种

故答案为．

20. 

【解析】

【分析】

本题考查了二项式定理的应用问题，考查利用基本不等式求最值的应用问题，属于基础题．
根据题意求出展开式中所有项的二项式系数之和与所有项的系数之和，再利用基本不等式求出最小值．

【解答】

解：的展开式中，
所有项的二项式系数之和为，
所有项的系数之和为，
则，
当且仅当，即时取“”，
所以的最小值为．
故答案为：．

21. 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是排列以及概率的求解，属于中档题．
先求出交卷次序的总数，再求不打扰其他学生的情况，最后即可求解．

【解答】

解：由题意可知，一共有交卷次序有种，
其中不打扰其他考生的交卷次序只能是从两边到中间的顺序，
也就是每次只能是两边的同学交卷共有
种，
故打扰其他考生为种，
则其中至少一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为．

22. 

【解析】

【分析】

本题考查分类加法计数原理，属于一般题．
分甲选，乙选、甲选，乙不选和甲选，则乙三种情况讨论，利用分类加法计数原理即可求解．

【解答】

解：鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对分别记为，，，，，，
则甲喜欢，，乙喜欢，，，丙喜欢，，．
若甲选，乙选，则丙有种选择，共种选法；
若甲选，乙不选，则乙有种选择，丙有种选择，共种选法；
若甲选，则乙、丙各有种选择，共种选法．
故共有种不同的选法．

23. 

【解析】

【分析】

本题考查组合问题，属于拔高题．
法一：从名医生中任选名，不同选法有种．再排除不满足情况的选法数即可
法二：设选骨科医生名，脑外科医生名，则需选内科医生人．分析和的各种取值情况，再求和即可

【解答】

方法一：从名医生中任选名，不同选法有种．不满足条件的有：只去骨科和脑外科两科医生的选法有种，只去骨科和内科两科医生的选法有种，只去脑外科和内科两科医生的选法有种，只去内科一科医生的选法有种，故符合条件的选法有：种．

方法二：设选骨科医生名，脑外科医生名，

则需选内科医生人．

当时，有种不同选法；

当，时，有种不同选法；

当，时，有种不同选法；

当，时，有种不同选法；

当，时，有种不同选法；

当，时，有种不同选法．

所以不同的选法共有种．

24.

【解析】

【分析】

本题考查二项式系数的性质，组合数性质的应用，不等式恒成立，数列的函数特征，属于难题．
通过求出各项二项式中项的系数，利用组合数的性质求出，对任意的，恒成立，等价于，构造数列，利用作差法判断数列的最值，即可求出实数的最小值．

【解答】

解：含的系数是
，
则
对任意的，，
则，即，
设，
则
，
当时，，
当时，，
当时，，
则当或时，有最大值，最大值为，
则，
故实数的最小值是．
故答案为：；．

25.

【解析】

【分析】

本题考查二项式定理，考查二项式定理与杨辉三角之间的关系，读懂题意是解决问题的关键．
利用广义杨辉三角得出第行的系数，并计算出第五行，再计算出的展开式中系数的表达式，即可求出；
利用二项式定理得出的展开式，将视为展开式中的系数，然后利用二项式展开式的通项即可求出答案．

【解答】

解：由题意可得广义杨辉三角形第行为：，，，，，，，，；
第行为：，，，，，，，，，，；
所以的展开式中，项的系数为，解得；
由题意可知，，根据二项式定理可得，
所以，可视为二项式展开式中的系数，
而二项式的展开式通项为，令，解得，所以，．
故答案为：；．