通用版2023届高考数学二轮复习定点、定值问题作业含答案

这是一份通用版2023届高考数学二轮复习定点、定值问题作业含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
定点、定值问题一、单选题1.  有如下个命题；
双曲线上任意一点到两条渐近线的距离乘积是定值
双曲线与的离心率分别是，，则是定值
过抛物线的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是，，则直线过定点
其中正确的命题有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个2.  已知动点，到直线的距离的平方比到坐标原点的距离的平方大，若动点满足，且存在定点，使得为定值，则A.  B.  C.  D. 3.  下列关于圆锥曲线的命题正确的个数为(    )双曲线与椭圆有相同的焦点；设定点、，若动点满足条件，则动点的轨迹是椭圆；设，为两个定点，若动点满足条件，则动点的轨迹为双曲线；设，为两个定点，为动点，若，且，则的最大值为；平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹为抛物线． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个4.  已知椭圆：，为椭圆的右顶点，直线交于、两点，且，则恒过除点以外的定点(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知双曲线和椭圆的右焦点分别为，，分别为上第一象限内不同于的点，若，，则四条直线的斜率之和为(    )A.  B.  C.  D. 不确定值二、多选题6.  圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”如图是抛物线的阿基米德三角形，弦经过焦点，又，均垂直于准线，且，为垂足，则下列说法正确的有(    )
 A. 以为直径的圆必与准线相切于点
B. 为定值
C. 为定值
D. 有最小值7.  已知椭圆的右顶点为，过右焦点的直线交椭圆于两点，设，，，的斜率分别记为，，以下各式为定值的是(    )A.  B.
C.  D. 三、填空题8.  椭圆：的左顶点为，点，是椭圆上的两个动点，若直线与的斜率乘积为定值，则动直线恒过定点的坐标为          ．9.  已知为坐标原点，，是抛物线上的两点，且满足，则          ；若垂直于点，且为定值，则点的坐标为          ．四、解答题10.  本小题分已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，圆心的轨迹为曲线．求的方程；已知点，，是上的一个动点，设直线，与的另一交点分别为，，若直线、、都不垂直与轴，求证：当点在上运动时，直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标． 11.  本小题分已知双曲线的虚轴长为，直线为双曲线的一条渐近线．  求双曲线的标准方程  记双曲线的左右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，点在第一象限，记直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值． 12.  本小题分已知椭圆的左焦点为，离心率为，点是椭圆上一点．求椭圆的标准方程；若，为椭圆上不同于的两点，且直线，关于直线对称，求证：直线的斜率为定值． 13.  本小题分设椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率，短轴长为．
求椭圆的方程
若直线与直线交于点，直线与轴交于点，求证：直线恒过某定点，并求出该定点． 14.  本小题分已知椭圆的离心率，且椭圆经过点
求椭圆的方程．
不过点的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值若是，求出该定值若不是，请说明理由． 15.  本小题分已知双曲线的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，点在双曲线上，且．求双曲线的方程过点作斜率为，的两条直线，分别与双曲线交于异于点的两点，，若，证明直线过定点． 16.  本小题分已知椭圆的右焦点为，直线与交于，两点，且，两点的横坐标之积为．求的离心率．设直线与相切于点，与直线相交与点，试问与满足的关系是还是
为定值请说明理由． 17.  本小题分已知两点，，动点在轴上的投影为，且，记动点的轨迹为曲线．求的方程；过点的直线与曲线在轴右侧相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 18.  本小题分已知抛物线：的焦点为，过点的动直线与抛物线相交于，两点．当经过点时，点恰好为线段中点．求的值；是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数；若不存在，说明理由． 19.  本小题分已知椭圆的离心率为，短轴长为．求的方程；过点且斜率不为的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 20.  本小题分
已知点在抛物线上．
求抛物线的方程
过点作斜率分别为、的两条直线、，若、与抛物线的另一个交点分别为，，且有，探究：直线是否恒过定点若是，求出该定点若否，说明理由．21.  本小题分
已知为圆：上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点．
求点的轨迹方程；
设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为，，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．22.  本小题分已知曲线：，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．证明：直线过定点：若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积． 23.  本小题分已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上．求的方程；设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，求证：过定点． 24.  本小题分已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点．
求双曲线的标准方程
已知，，是双曲线上不同于的两点，且，于，证明：存在定点，使为定值．
  25.  本小题分已知抛物线，过点的动直线与交于点，，且为定值．求的方程若抛物线在点，处的切线交于点，求证：点在定直线上若为的焦点，则． 26.  本小题分
已知双曲线，离心率为，，为其左右焦点，为其上任一点，且满足，．

求双曲线的方程已知，是双曲线上关于轴对称的两点，点是上异于，的任意一点，直线、分别交轴于点、，试问：是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值其中是坐标原点．
 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.解：设圆心，圆的半径为，
则，得．
所以，动圆圆心的轨迹方程为．
证明：抛物线的方程为，设，，，
则直线的方程为，
得，
又，所以直线的方程为．
同理可得直线的方程为，
直线的方程为．
因为直线过点，所以
因为直线过点，所以．
消去，得．
代入的方程，得，
所以直线恒过一个定点 11.解：由题意知，，          因为一条渐近线为，所以，解得，              则双曲线的方程为           易知，设直线，，   联立 ，整理得 ，            得，                                     直线的斜率，直线的斜率，                      又，所以   ，为定值． 12.解：，，  ，
又在椭圆上，  ，解得，，
所以椭圆方程为：由知，，轴，设直线的斜率为，
因为，关于直线对称，所以直线的斜率为，又，所以直线的方程是．
设，，，，
将上式中的换成得，，． 13.解：由已知可得，解得，
故椭圆的方程为
设直线的方程为，
直线的方程为且，
则直线与轴的交点为，
直线的方程为，则直线与直线的交点为，
将代入方程，得，
则点的横坐标为，点的纵坐标为，
将点的坐标代入直线的方程，
整理得，
，，
由，点坐标可得直线的方程为：
，
即，
则直线过定点． 14.解：因为，所以，所以．
因为椭圆过，所以，
所以，，故椭圆的标准方程为．
因为直线不过，且直线，的斜率存在，所以且．
设，，联立方程组得，
则，．
由，得且．
因为
所以，
即为定值，且． 15.解：设，，
因为，，
所以，，
因为，所以，即，
又点在双曲线上，所以，
由消去，得，所以，，
所以双曲线的方程为；
因为直线的斜率存在，可设直线的方程为，，，
由消去，整理得，
所以，，
由，且，，
得，
所以，
整理得，即或，
当时，直线过点，舍去，所以，
所以的方程为，即直线过定点． 16.解：将代入，得，
因为与交于，两点，所以，则．
由韦达定理，得，解得，
则的离心率为
，不是定值．
理由如下：
由可知，，，
因为，所以依题意可知直线的斜率一定存在．
设
由得，
因为与相切于点，所以，则，
，，
所以
因为与交于点，所以，
所以，，，
所以
当，时．，，
当，时，，，
所以不是定值．
 17.解：设，则，，，，
因为，所以，
故C的方程为．
由题可知直线的斜率一定存在，且不为，
不妨设直线的方程为，，
联立方程组消去整理得，
则整理得．
，，
则线段的垂直平分线的方程为，
令，得，则，
，
则．

故是定值，该定值为． 18.解：抛物线的焦点．
因为，且为中点，所以．
因为在抛物线上，所以，解得．
由题意知直线的斜率存在．
设直线的方程为，，，
则，．
由消去得，，
则，．
假设存在定点，则，，
所以
．
要使得为常数，
则解得，，
所以存在定点，此时． 19.解：设椭圆的半焦距为，
由题意，，，，
解得，，
所以的方程为．
设直线的方程为，，，，
由得，
所以，，且，即．
所以，，即
又，所以．
解得，，
从而．
所以． 20.解：将代入抛物线得：，
化简得，解得或舍，
即抛物线的方程的方程为；
由得：，设，，
则，
同理，，
当直线斜率为时，直线的方程为与抛物线只有一个公共点，不合题意，舍去；
当直线斜率为不为时，设直线的方程为：，
把代入，整理得：，即，
得：，代入式，得：，
所以直线的方程为：，
综上可知直线恒过定点． 21.解：由题意可知圆：的圆心为，半径为，
因为线段的垂直平分线交线段于点，
所以，所以，
又因为，所以轨迹是以，为焦点的椭圆，
设，则，，，
所以点的轨迹方程为．
若两条直线斜率均存在，
设过点的弦所在直线的方程为，
代入椭圆方程联立得：，
设与椭圆两交点的坐标分别为，
所以，所以，
则；
同理，；
由对称性可知所过定点必在轴上，设为，
显然，所以，
化简得，即；
(ⅱ)若其中一条直线斜率不存在，则直线为轴；综上直线必过定点；
取点与点的中点为，则，因为，所以，
所以点在以为圆心，为半径的圆上运动，
所以存在定点，使得为定值． 22.解：证明：的导数为，
设切点，，即有，，
设切线的方程为，即为，
切线的方程为，
联立两切线方程可得，
可得，即，
直线的方程为，
即为，
可化为，
可得恒过定点；
设直线的方程为，
由可得，，
中点，
由为切点可得到直线的距离即为，
可得，
解得或，
即有直线的方程为或，
由可得，四边形的面积为；
联立直线，整理得
，
可得，
此时到直线的距离为；
到直线的距离为，
则四边形的面积为；
同理可得当：时，
此时到直线的距离为；
到直线的距离为，
则四边形的面积为；
综上，四边形的面积为或． 23.解：由于点，关于轴对称，由题设知必过，又由知，椭圆不经过点，所以点在椭圆上．因此解得
故椭圆的方程为．证明：设直线与直线的斜率分别为，．如果直线的斜率不存在，垂直于轴，设：，，，则，得，
此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．从而可设：．将代入，得．由题设可知．设，，则，，．由题设，故．．解得舍去，此时，
解得，此时，直线的方程为，即．
过定点． 24.解：因为双曲线与已知双曲线有相同的渐近线，
设双曲线的标准方程为，
代入点坐标，解得，
所以双曲线的标准方程为．
当直线斜率存在时，设，
设，联立与双曲线，
化简得，
，即，则有
又，
因为，
所以，
所以，
化简，得，即，所以，，
且均满足，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，过定点，
当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线，与双曲线方程联立解得，此时也过点
综上，直线过定点．
由于，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，所以存在定点，使为定值． 25.解：由题意知，的斜率存在，设直线的方程为，与联立得，设，，则，且，，所以，当且仅当时，为定值，所以抛物线的方程为．
证明：由得，，所以直线的斜率为，直线的方程为，即，同理直线的方程为，直线，的方程联立，得解得所以点在定直线上．由得，，所以，又，，，所以． 26.解：设，不妨设．
则．
而．
．
又且．
，，．
双曲线的方程：．
是定值，定值为．
设直线的方程为，，，
代入，得，
因为渐近线方程为，与渐近线不平行，
设点，，则，
由韦达定理可得：，，
由，，三点共线得，
．
，即为定值．