2022-2023学年吉林省长春市农安县农安高级中学高一下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年吉林省长春市农安县农安高级中学高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为（    ）

A．16 B． C．110 D．

【答案】A

【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积公式计算答案.

【详解】由题意得：，

，

则合力对该质点所做的功为.

故选：A.

2．在中，内角所对应的边分别是，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用余弦定理直接构造方程求解即可.

【详解】由余弦定理得：，即，

解得：（舍）或，.

故选：D.

3．函数，则（    ）

A．－2 B．－1 C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据函数解析式，从里到外计算即可.

【详解】由，

得，

则.

故选：D.

4．已知向量，，若与方向相反，则（    ）

A．54 B．48 C． D．

【答案】D

【分析】首先根据题意得到，再求即可.

【详解】向量，，若与方向相反，

所以，解得.

所以，

.

故选：D

5．在中，，，，则边AC的长为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【分析】由正弦定理即可求出边AC的长.

【详解】由题意，

在中，，，，

由正弦定理，

，

解得：，

故选：C.

6．如图，在平行四边形中，是边的中点，是的一个三等分点（），若存在实数和，使得，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量的基本定理，利用向量的线性运算进行向量的基底表示，即可得的值.

【详解】因为是的一个三等分点（），所以.因为是边的中点，所以.又，所以.

故选：C.

7．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求导，根据单调性和奇偶性的定义逐项分析.

【详解】对于A， 为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，不符合题意；

对于，定义域为 ，所以为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意；

对于C，，

故函数不是奇函数，不符合题意；

对于D， ，是增函数， ，是奇函数，满足题意；

故选：D.

8．已知函数，若函数在上只有三个零点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】首先利用三角恒等变换化简函数，并得到函数，并求函数的零点，利用函数在上只有三个零点，列不等式求参数的取值范围.

【详解】因为，所以，

令得，

所以或，

即或，则或，

则非负根中较小的有：；

因为函数在上只有三个零点，

所以，解得.

故选:A

【点睛】方法点睛：求三角函数的值域，单调性，周期，零点等性质时，常常要通过三角恒等变换先求函数的解析式或的性质，首先将“”视为一个整体，然后结合或的图象和性质，去研究函数的性质，研究与三角函数相关零点问题时，函数图象的交点问题，方程根问题时，往往需要先画出三角函数的图象，在进行探索研究.

二、多选题

9．已知平面向量， 则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】应用向量数量积的坐标运算可得，由向量坐标的线性运算求、，即可得答案.

【详解】由题设，，故，A错误，B正确；

，C正确；

，D正确.

故选：BCD

10．下列结论正确的是（    ）

A．是第三象限角

B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为

C．

D．若角的终边过点，则

【答案】BD

【分析】A.利用终边相同的角判断；B.利用扇形面积公式求解判断；C.利用诱导公式求解判断；D.利用三角函数的定义求解判断.

【详解】解：A选项，是第二象限角，A错误；

B选项，扇形的半径为，面积为，B正确；

C选项，，，C错误．

D选项，，D正确；

故选：BD．

11．已知幂函数的图象过点，则（    ）

A． B．的值域是

C．是偶函数 D．在上是减函数

【答案】AB

【分析】求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质判断即可.

【详解】设，

∵的图象过点，∴，∴，

∴，从而可得，的定义域为，值域是，既不是奇函数也不是偶函数，在上是增函数，故A、B正确；C、D错误.

故选：AB.

12．在中，下列说法正确的有（    ）

A．若，则为锐角三角形 B．若，则为钝角三角形

C．若.则 D．

【答案】BCD

【分析】根据余弦定理可判断ABD的正误，根据正弦定理可判断C的正误.

【详解】对于A，，而为三角形内角，

故为锐角，但此时不能得到为锐角三角形，故A错误.

对于B，，而为三角形内角，

故为钝角，此时为钝角三角形，故B正确.

对于C，若，则，故即，故C正确.

对于D，，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．设、为实数，比较两式的值的大小：_______ （用符号或=填入划线部分）．

【答案】

【分析】利用作差比较法求得正确答案.

【详解】因为，时等号成立，

所以．

故答案为：

14．已知与是两个不共线向量，且向量与共线，则______．

【答案】

【分析】由与共线，可得，由此列方程组求解即可.

【详解】因为向量与共线，

所以，

又因为与不共线，

,解得，故答案为.

【点睛】本题主要考查平面向量共线的性质与应用，考查了相等向量的性质，属于基础题. 非零向量、共线的充要条件是，存在实数，使得.

15．已知正数x，y满足，则的最小值是___________．

【答案】

【分析】根据条件可得，利用“1”的变形，由均值不等式求解.

【详解】，

，

，

当且仅当，即时等号成立，

故答案为：

16．若向量，则在方向上的投影向量坐标为________.

【答案】

【分析】直接根据投影向量的计算公式求解即可.

【详解】由已知得在方向上的投影向量坐标为

故答案为：.

四、解答题

17．在中，已知，，，求的值．

【答案】

【解析】直接利用正弦定理即可得到答案.

【详解】由已知，，由正弦定理，得

，即，

解得，.

【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.

18．在平行四边形中，，

（1）若为上一点，且，用基底表示；

（2）若，，且与平行，求实数的值.

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据三角形法则和共线定理即可求出结果；

（2）首先根据坐标运算求出与的坐标表示，再根据平面向量平行的坐标运算公式，列出关于方程，即可求出结果.

【详解】解：（1）

（2）因为，

所以

由于

则

所以.

【点睛】本题主要考查了平面向量的三角形法则、共线定理、以及平面向量坐标运算再向量平行中的应用，属于基础题.

19．已知函数.

(1)求的最小正周期和单调递增区间；

(2)求在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)最小正周期为，增区间为；

(2)最大值为，最小值为1.

【分析】(1)利用二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦型函数的性质计算作答.

(2)由(1)及已知求出函数的相位的范围，再结合正弦函数的性质计算作答.

【详解】（1）依题意，，

则有的最小正周期为，由得，，，

所以的最小正周期为，单调增区间为.

（2）由(1)知，当时，，因正弦函数在上递增，在上递减，

因此，当，即时，取最大值，当，即时，取最小值1，

所以在区间上的最大值为，最小值为1.

20．已知向量，.

（1）若向量与垂直，求的值；

（2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围；

（3）求和夹角的余弦值.

【答案】(1) ;(2)且;(3) .

【分析】(1)确定向量与的坐标,利用垂直的条件,即可求出的值;

(2)向量与的夹角为锐角,则数量积大于0且不共线,即可求的取值范围.

(3)确定和的坐标,根据向量的夹角公式即可求得结果.

【详解】(1)依题意得:,

向量与垂直,

,解得:.

(2)由(1) , ,

向量与的夹角为锐角,

且.

且.

(3)依题意得,

.

【点睛】本题考查向量知识的运用,考查向量垂直及夹角为锐角时求参数问题,考查向量的夹角公式,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

21．已知函数.

（1）求函数f（x）在区间上的最值；

（2）若关于x的方程（x+2）f（x）-ax=0在区间（0，3）内有两个不等实根，求实数a的取值范围.

【答案】（1）最大值为3，最小值为2；（2）

【分析】（1）整理可得，根据基本不等式及对勾函数的性质，即可求得答案.

（2）由题意整理可得在区间（0，3）内有两个不等实根，设，根据根据基本不等式及对勾函数的性质，数形结合，即可得答案.

【详解】（1），

因为，所以

所以，

当且仅当时，，即时等号成立，

所以的最小值为2，

根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且，

所以函数f（x）在区间上的最大值为3，最小值为2.

（2）因为关于x的方程（x+2）f（x）-ax=0在区间（0，3）内有两个不等实根，

所以在区间（0，3）内有两个不等实根，

整理得在区间（0，3）内有两个不等实根，

设

则，

当且仅当，即x=2时等号成立，

根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，

且时，，

所以a的取值范围为

【点睛】解题的关键是熟练掌握基本不等式、对勾函数的性质，并灵活应用，难点在于，需合理的变形，再根据“一正”、“二定”，“三相等”进行计算求值，属中档题.

22．已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中为常数，且．

(1)求函数的解析式；

(2)若将图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到的图象，且关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）

【详解】（1）；

图象关于对称，，，

又，，.

（2）将图象上各点的横坐标变为原来的，可得；

将向右平移个单位，纵坐标不变，可得；

令，当时，，

方程在区间上有且只有一个实数解等价于与在上有且仅有一个交点，

在平面直角坐标系中作出图象如下，

由图形可知：或，解得：或；

综上所述：实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数解析式的求解、根据与三角函数有关的方程的根的个数求解参数范围的问题；解题关键是能将方程根的个数转化为函数图象交点个数的问题，采用数形结合的方式可求得结果.