2022-2023学年吉林省长春市第二中学高一下学期第一学程考试数学试题含解析

2022-2023学年吉林省长春市第二中学高一下学期第一学程考试数学试题

一、单选题

1．已知向量，，，且，则实数为（    ）

A．-4 B．-3 C．4 D．3

【答案】A

【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.

【详解】，

由于，

所以.

故选：A

2．已知向量满足，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：∵，

又∵

∴9，

∴

故选：C.

3．对于任意的平面向量，，，下列说法中正确的是（    ）

A．若且，则 B．若，且，则

C． D．

【答案】C

【分析】取判断A；取特殊值判断B；根据向量的运算律判断C；根据数量积的运算律判断D.

【详解】对于A：当时，满足且，但不一定平行，故A错误；

对于B：当，且时，，但，故B错误；

对于C：由分配律可知，，故C正确；

对于D：表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，故D错误；

故选：C

4．在中，若，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理进行求解.

【详解】在中，设角 所对的边分别为，

由题知，，又，，

所以，由余弦定理有：，解得，

所以由正弦定理有：，故A，C，D错误.

故选：B.

5．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意知由向量数量积的定义可得选项.

【详解】由题意知有即所以，

故选：B．

【点睛】本题考查向量的实际应用，关键在于理解向量的数量积的意义和熟练掌握向量数量积的定义，属于基础题.

6．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股 定理的证明， 后人称其为 “赵爽弦图”. 如图 1 ， 它由四个全等的直角三 角形与一个小正方形拼成的一个大正方形. 我们通过类比得到图 2， 它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形 拼成的一 个大等边三角形， 若， 则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】由同角关系求，由两角差正弦公式求，设，由正弦定理求，由余弦定理求.

【详解】因为，，

所以，

而 ，

在 中， 设，则，

由正弦定理得 ， 解得，

由余弦定理 ，

所以.

故选：C.

7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（    ）

A．12 B．24 C．27 D．36

【答案】A

【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得，再利用等面积法结合基本不等式即可得解.

【详解】因为，

所以，即，

所以，

又因，所以，

由，得，

所以，

则，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为.

故选：A.

8．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由，结合正余弦定理求得角，继而由结合正余弦定理求出，再表示出，，利用三角函数的性质求得的范围，即可求得答案.

【详解】由，由正弦定理得,

即有，而，则，

又，

由正弦定理､余弦定理得，，化简得：，

由正弦定理有：，即，，

是锐角三角形且，有，，

解得，

因此

，

由得：，，

所以.

故选：D

二、多选题

9．在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件判断三角形的情况，则正确的是（    ）

A．，，，有两解

B．，，，有两解

C．，，，只有一解

D．，，，只有一解

【答案】CD

【分析】利用正弦定理，逐项计算判断作答.

【详解】对于A，因为，，则，由正弦定理，

得，显然有唯一结果，即只有一解，A错误；

对于B，，，，由正弦定理得，无解，B错误；

对于C，，，，有，则，

由正弦定理得，有唯一解，C正确；

对于D，，，，有，则，此时，有唯一解，D正确.

故选：CD

10．在菱形中，，，点为线段的中点，和交于点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】以为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.

【详解】四边形为菱形，，

则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，

，，，，

，，，，，

对于A，，，A正确；

对于B，，，，B正确；

对于C，，，，C错误；

对于D，，，，D正确.

故选：ABD.

11．下列结论正确的是（    ）

A．若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是

B．点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心

C．点O在△ABC所在的平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则

D．点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心

【答案】BC

【分析】对于A，由∠ABC为锐角，可得且两向量不共线；对于B，设边上的中点为，证明在边的中线上即可；对于C，由，得，设的中点为，的中点为，可知三点共线，且，从而可判断；对于D，证明是的角平分线，是的角平分线，即可判断.

【详解】对于A，由，

得，

因为∠ABC为锐角，故且不共线，

所以，解得且，故A错误；

对于B，设边上的中点为，则，

因为，所以，

所以，又点为公共端点，所以三点共线，

即点在边的中线上，

同理可得点也在两边的中线上，

所以点O为△ABC的重心，故B正确；

对于C，因为，所以，

如图，设的中点为，的中点为，

则，所以，

又点为公共端点，所以三点共线，且，

所以，

又，

所以，即，故C正确；

对于D，由，

可得，即，

又因，所以，

所以是的角平分线，

由，

可得，即，

又，所以，

所以是的角平分线，

所以点O是且△ABC的内心，故D错误.

故选：BC.

12．记的内角，，的对边分别为，，，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，，的恰有一个，则的取值范围是

C．若，则

D．若，，则该三角形内切圆面积的最大值是

【答案】ACD

【分析】根据平方关系得到，即可得到，从而判断A，根据正弦定理判断B，由条件利用二倍角公式可得①，再把①平方求得的值，即可得到的值，即可判断C，利用正弦定理将边化角，即可得到为直角三角形，设内切圆的半径为，则，再将边化角，转化为角的三角函数，求出内切圆的半径的最大值，即可判断D．

【详解】对于A：因为，所以，

所以，又、，所以，所以由正弦定理可得，故A正确；

对于B：，，，高，

当，即时，只有一个．

当，即时，时，只有一个，

故，满足条件的的取值范围是或，故B错误；

对于C：因为，所以，

所以，又，所以，

即，即，又，所以，则，所以，所以，

所以，所以，即，所以，故C正确；

对于D：因为，所以，

所以，

所以，

所以，所以，

，，，是直角三角形．

设内切圆的半径为，

则，

，，，

所以，内切圆半径的取值范围是，

该三角形内切圆面积的最大值为，故D正确．

故选：ACD

三、填空题

13．已知向量，，若，则________．

【答案】

【分析】根据向量模的展开计算，得出，从而进一步利用向量的线性计算求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

解得，

故答案为：.

14．需要测量某塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为__________米

【答案】

【分析】根据正弦定理可得，然后利用解直角三角形即得.

【详解】因为在中，，，米，

所以，

由正弦定理得，即，解得(米)，

在中，，所以，即塔高(米).

故答案为：.

15．在中，角所对的边分别为，且，则的形状为__________.

【答案】直角三角形或等腰三角形

【详解】用正弦定理对条件进行边角转化，结合诱导公式，两角和的正弦公式化简后进行求解.

【点睛】根据，由正弦定理可得，，又为三角形内角，即，于是，，上述等式变为：，等式左边展开可得，于是，故当得到，此时为直角三角形，或当得到，此时三角形为等腰三角形.

故答案为：直角三角形或等腰三角形

16．如图，在中，，点D在线段上，且，则面积的最大值为___________．

【答案】

【分析】根据，求出的最大值即可.

【详解】在中，设，

，整理得：．

又，整理得：，

，即，

，，，

，当且仅当时取等号．

所以面积的最大值为．

故答案为：．

【点睛】关键点点睛：根据面积公式结构选择用基本不等值求最大值，要注意不等式取等的条件，同时计算量也较大．

四、解答题

17．设向量，满足及.

（Ⅰ）求，夹角的大小；

（Ⅱ）求的值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（1）设，夹角为，将两边同时展开结合向量数量积的定义即可求解；

（2）先计算，再开方即可求解.

【详解】（1）设，夹角为，因为，＝，

所以，

解得：，

因为，所以，

即夹角的大小为；

（2）因为，，夹角为，

，

所以.

18．已知挂在弹簧下方的小球上下振动，小球在时间t（单位：s）时相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离h（单位：cm）由函数解析式决定，其部分图像如图所示

(1)求小球在振动过程中的振幅、最小正周期和初相；

(2)若时，小球至少有101次速度为0cm/s，则的最小值是多少？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由图易得，，利用周期公式可得，将代入函数并结合即可求解；

（2）由题意可得小球在振动过程中位于最高、最低位置时的速度为0cm/s，即取最值的时候，所以101次速度为0cm/s至少经过50个周期，再通过即可求解

【详解】（1）由图易知小球的振幅，

最小正周期，所以，∴，

∴代入可得，∴，即，

又，∴初相

（2）∵小球在振动过程中位于最高、最低位置时的速度为0cm/s，

∴小球有100次速度为0cm/s等价于函数有100次取得最值，

∵函数在一个周期内取得一次最大值、一次最小值，，

∴函数经过50个周期时小球有100次速度为0cm/s，

∴时，小球有100次速度为0cm/s，

又∵当时，小球速度为0cm/s，

∴的最小值为

19．在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.

(1)若，求的面积；

(2)求的取值范围.

条件①；条件②.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件求出角B，再运用正弦定理和余弦定理求出c，用面积公式计算即可；

（2）运用正弦定理，再做恒等变换，根据三角函数的性质求解.

【详解】（1）选条件①，，，又，

，而，故；

选条件②，，，

即，，又，故，

在中，当，，时，

由余弦定理得：，

即，（负值舍去），

所以；

（2）由题设及（1）可知：，，

故由正弦定理得：，

，，故（当且仅当时等号成立），

即；

综上，的面积为，的取值范围是.

20．在某片海域上，一艘海上护卫舰位于点A处，一艘货轮在点A东偏北15°方向的点处行驶着，通过雷达监测，发现在点A北偏东30°方向且距离点A24海里处的点处出现一艘海盗船，此时海盗船与货轮相距海里，且护卫舰距离货轮比距离海盗船更近.

(1)求发现海盗船时护卫舰与货轮的距离；

(2)护卫舰为确保货轮的安全，护卫舰开始以海里/小时的速度追击海盗船，与此同时，海盗船开始以20海里/小时的速度沿着北偏西30°方向逃窜，求护卫舰能追捕到海盗船的最短时长以及最佳追击方向.

【答案】(1)海里

(2)护卫舰的最佳追击方向为正北方向，能迫击到海盗船的最短时长为1.2小时

【分析】（1）中，由正弦定理计算可得.

（2）设护卫舰能追捕到海盗船的最短时长为小时，在中由余弦定理计算可得.

【详解】（1）由题意可知，

由正弦定理可得，则，

所以或120°.若，则，，不符合题意，所以，，，

海里，故发现海盗船时护卫舰与货轮的距离为海里.

（2）如图，设护卫舰能追捕到海盗船的最短时长为小时，且追到时位于点.

则.由余弦定理可得，，整理可得，解得或-0.6（舍去），此时（海里），（海里），

则，，

故护卫舰的最佳追击方向为正北方向，能迫击到海盗船的最短时长为1.2小时.

21．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．

(1)求的取值范围；

(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）由题意得，结合即可得解；

（2）由，求解即可.

【详解】（1）在直角三角形中，．

∴，，

，

∵，∴．

（2）

令，得或（舍）.

∴存在实数，使得．

22．如图，在平面四边形ABCD中，.

(1)若，求线段AC的长：

(2)求线段AC长的最大值．

【答案】(1)；

(2)6.

【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出BD，再利用余弦定理计算作答.

（2）设，在中用余弦定理求出BD，用正弦定理表示出，再在中，利用余弦定理列式求解作答.

【详解】（1）在中，，，由余弦定理得：

，即，解得，

在中，，由余弦定理得：，

所以.

（2）设，

在中，由余弦定理得：，

由正弦定理得：，，

在中，由余弦定理得：

，

当且仅当，即时取“=”，此时，

所以当时，线段AC长取最大值6.

【点睛】方法点睛：三角形中已知两边及一边对角求第三边，可以利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解.