2023年江苏省宿迁市中考数学一模试卷(含答案解析)

这是一份2023年江苏省宿迁市中考数学一模试卷(含答案解析)，共23页。试卷主要包含了 −2的倒数是， 下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

A. −2B. −12C. 12D. 2
2. 下列运算正确的是( )
A. a2+a=a3B. (a2)3=a5C. a8÷a2=a4D. a2⋅a3=a5
3. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠2=40∘，则∠1的度数是( )
A. 60∘B. 50∘C. 40∘D. 30∘
4. 如图，是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是( )
A. B. C. D.
5. 若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为( )
A. 12cm2B. 24cm2C. 12πcm2D. 24πcm2
6. 若关于x的不等式组2x+7>4x+1x−k<2的解集为x<3，则k的取值范围为( )
A. k>1B. k<1C. k≥1D. k≤1
7. 如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为( )
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
8. 如图，在矩形ABCD中，DC=3，AD= 3DC，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为( )
A. 34B. 32C. 3D. 3
9. 若代数式 x−1有意义，则实数x的取值范围是______ .
10. 因式分解2a2−4a+2=______ .
11. 若关于x的一元二次方程x2+ax−6=0的一个根是3，则a=______ .
12. 一只口袋中装有若干个形状，大小都相同的球，使得从袋中摸一个球是红球的概率为0.2，那么平均每摸100次能摸到______ 个红球.
13. 点P(a,b)在函数y=3x+2的图象上，则代数式6a−2b+1的值等于______ .
14. 一个多边形的每个外角都相等，且是它相邻内角的13，则此多边形是______ 边形.
15. 关于x的分式方程mx−1+31−x=1的解为正数，则m的取值范围是______.
16. 如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=50∘，AD=CD，则∠DAC=______ ∘.
17. 如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，若A，C，B′三点共线，则tan∠B′CB=______.
18. 如图，已知双曲线y=18x(x<0)和y=kx(x>0)，直线OA与双曲线y=18x交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y=18x交于点B，与y轴交于点P，与双曲线y=kx交于点C，S△ABC=9，BP：CP=2：1，则k的值为______ .
19. 计算：2sin60∘+(−12)−2−|2− 3|− 12.
20. 先化简，再求值：(a2−2a+4a−1−a+2)÷a2+4a+41−a，其中满足a满足a2−4a=−3.
21. 某学校组织“中秋诗词大会”，全体学生参与初赛，为了更好的了解学生成绩分布情况，随机抽取了部分学生的成绩(满分100分)，整理得到如下不完整的统计图表：
请根据图表中所提供的信息回答下列问题：
(1)统计表中a=______ ，b=______ ；
(2)补全条形统计图；
(3)本次调查结果的中位数在第______ 小组；
(4)根据调查结果，请估计该学校1500名学生中，成绩不低于80分的人数.
22. 2022年北京冬奥会成功举办，收到世界各国友人的一致赞扬，其中吉祥物“冰墩墩”以萌萌的形象深受人们的喜爱.某商场“五一节”搞抽奖活动，奖品为红、白、蓝、绿四种颜色的“冰墩墩”，每位顾客凭购物小票抽奖一次(决定奖品的颜色).
(1)若花花凭购物小票抽奖一次，她抽到的是红色“冰墩墩”的概率为______ ；
(2)若含含也抽奖一次，请列表或画树状图，求含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的概率.
23. 在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)证明四边形ADCF是菱形．
24. 图(1)为某大型商场的自动扶梯、图(2)中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37∘，此时他的眼睛D与地面的距离AD=1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL(BL//MN)向正前方走了2m，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m.(参考数据：sin37∘≈0.6，cs37∘≈0.8，tan37∘≈0.75)
(1)求图中B到一楼地面的高度．
(2)求日光灯C到一楼地面的高度．(结果精确到十分位)
25. 如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD=ED.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若tan∠DCE=2，BD=1，求⊙O的半径.
26. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如表：
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；
(3)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m>0)，物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．
27. “关联”是解决数学问题的重要思维方式.角平分线的有关联想就有很多……
【问题提出】
(1)如图①，PC是△PAB的角平分线，求证PAPB=ACBC.
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明.
【作图应用】
(2)如图②，AB是⊙O的弦，在⊙O上作出点P，使得PAPB=3.
要求：(1)用直尺和圆规作图；(2)保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.
【深度思考】
(3)如图③，PC是△PAB的角平分线，若AC=3，BC=1，则△PAB的面积最大值是______ .
28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0)，与y轴交于点C(0,−3).
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m.
①求PE+ 2EG的最大值；
②连接DF、DG，若∠FDG=45∘，求m的值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为−2×(−12)=1.
所以−2的倒数是−12，
故选：B.
根据倒数的定义，乘积是1的两个数互为倒数解答即可．
本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数互为倒数．
2.【答案】D
【解析】解：A.a2+a，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B.(a2)3=a6，故此选项不合题意；
C.a8÷a2=a6，故此选项不合题意；
D.a2⋅a3=a5，故此选项符合题意．
故选：D.
直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法、除法运算法则等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．
由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠1的度数．
【解答】
解：如图，
∵∠2=40∘，
∴∠3=∠2=40∘，
∴∠1=90∘−40∘=50∘.
故选：B.
4.【答案】D
【解析】解：根据图形可得主视图为：
故选：D.
根据几何体的三视图，即可解答．
本题考查了几何体的三视图，解决本题的关键是画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
5.【答案】D
【解析】解：根据侧面积公式可得：π×2×3×4=24πcm2，
故选D.
圆柱侧面积=底面周长×高．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
6.【答案】C
【解析】解：不等式整理得：x<3x由不等式组的解集为x<3，
得到k的范围是k≥1，
故选：C.
不等式整理后，由已知解集确定出k的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠DAG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠DAG，
∴∠BAG=∠AEB，
∴AB=BE=5，
由作图可知：AB=AF，
∠BAE=∠FAE，
∴BH=FH=3，BF⊥AE，
由勾股定理得：AH=EH=4，
∴AE=8，
故选：B.
先求AB=BE=5，利用勾股定理求AH=EH=4，得AE=8.
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、角平分线的作法和定义、等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握平行加角平分线可得等腰三角形，属于常考题型．
8.【答案】A
【解析】解：取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，设AP=m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90∘，AB=CD=3，
∴tan∠DAC=CDAD=CD 3CD= 33，
∴∠DAC=30∘，
∵PG⊥AC，
∴PG=12AP=12m，∠APT=90∘−∠DAC=60∘，
∴PH=PG⋅cs∠APG=12m⋅cs60∘=14m，GH=PG⋅sin∠APG=12m⋅sin60∘= 34m，
∵E是BP的中点，
∴EF=12AB=32，PF=12m，
∴GT=GH−HT=GH−EF= 34m−32，ET=FH=PF−PH=12m−14m=14m，
在Rt△EGT中，
EG2=GT2+ET2=( 34m−32)2+(14m)2=14(m−3 32)2+916，
∴当m=3 32时，EG的最小值为34，
故选：A.
取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，设AP=m，分别表示出PG，PH，PF，EF，进而表示出ET和GT，进而表示出EG，进一步得出结果．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
9.【答案】x≥1
【解析】解：要使代数式 x−1有意义，必须x−1≥0，
解得：x≥1.
故答案为：x≥1.
根据二次根式有意义的条件得出x−1≥0，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记代数式 a中a≥0是解此题的关键．
10.【答案】2(a−1)2
【解析】解：2a2−4a+2
=2(a2−2a+1)
=2(a−1)2，
故答案为：2(a−1)2.
先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法因式分解的方法是解题的关键．
11.【答案】−1
【解析】解：把x=3代入方程x2+ax−6=0得9+3a−6=0，解得a=−1.
故答案为−1.
直接把x=3代入方程x2+ax−6=0得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12.【答案】20
【解析】解：设平均每摸100次能摸到x个红球，
则x100=0.2，
解得x=20.
所以平均每摸100次能摸到20个红球．
故答案为：20.
设平均每摸100次能摸到x个红球，根据概率公式得x100=0.2，解得x的值即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】−3
【解析】解：∵点P(a,b)在函数y=3x+2的图象上，
∴b=3a+2，
则3a−b=−2.
∴6a−2b+1=2(3a−b)+1=−4+1=−3，
故答案为−3.
把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a−b=−2，代入2(3a−b)+1即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数关系式．
14.【答案】八
【解析】解：设这个多边形的一个外角的度数为x∘，则
x=13(180−x)，
解得：x=45，
360∘÷45∘=8，
故此多边形为八边形，
故答案为：八．
根据正多边形的一个内角与一个外角的和为180∘，一个外角等于与它相邻的内角的13，列出方程组，从而求得外角的度数，最后根据任意正多边形的外角和是360∘求解即可．
本题主要考查的是多边形的内角与外角，根据题意正确列出方程是解题的关键．
15.【答案】m>2且m≠3
【解析】
【分析】
本题考查了分式方程的解，要注意分式的分母不为0的条件.
方程两边同乘x−1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．
【解答】
解：mx−1+31−x=1，
mx−1−3x−1=1，
方程两边同乘x−1，得m−3=x−1，
解得x=m−2.
∵分式方程mx−1+31−x=1的解为正数，
∴x>0且x−1≠0，
即m−2>0且m−2−1≠0，
∴m>2且m≠3.
故答案为：m>2且m≠3.
16.【答案】20
【解析】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠BAC=50∘，
∴∠B=90∘−50∘=40∘.
∴∠ADC=180∘−40∘=140∘.
∵AD=DC.
∴∠DAC=∠DCA=180∘−140∘2=20∘.
故答案为：20.
根据圆周角定理及已知可求得∠B的度数，从而可求得∠ADC的度数，再根据三角形内角和公式即可求得∠DAC的度数即可．
本题考查的是圆周角定理，等腰三角形的性质，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
17.【答案】2
【解析】解：如图，过点B作BE⊥AB′于点E，设小正方形的边长为a，
∵AB=4a，∠CAB=45∘，BE⊥AE，
∴AE=BE=2 2a，
∵AC= 2a，
∴CE=AE−AC= 2a，
∴tan∠B′CB=BECE=2 2a 2a=2，
故答案为：2
过点B作BE⊥AB′于点E，设小正方形的边长为a，由图可知AB=4a，∠CAB=45∘，BE⊥AE，可得AE=BE=2 2a，即可得CE= 2a，则可求tan∠B′CB的值．
本题考查了旋转的性质，解直角三角形，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．
18.【答案】−92
【解析】解：如图，连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥y轴于F.
∵OA//BC，
∴S△OBC=S△ABC=9，
∵PB：PC=2：1，
∴S△OPB=6，S△OPC=3，
∵S△OBE=12×18=9，
∴S△PBE=3，
∵△BEP∽△CFP，
∴S△CFP=3×14=34，
∴S△OCF=3−34=94，
∴k=−92.
故答案为：−92.
连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥OP于F.根据OA//BC，得到S△OBC=S△ABC=9，根据已知条件得到S△OPB=6，S△OPC=3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：原式=2× 32+4+2− 3−2 3
= 3+4+2− 3−2 3
=6−2 3.
【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．
本题主要考查了负整数指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值等知识，掌握运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：原式=(a2−2a+4a−1−a2−3a+2a−1)⋅1−a(a+2)2
=a+2a−1⋅1−a(a+2)2
=−1a+2，
解方程a2−4a=−3，得a1=1，a2=3，
∵a−1≠0，
∴a≠1，
当a=3时，原式=−13+2=−15.
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，解方程求出a，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：(1)0.12，8；
(2)补全条形统计图如图：
(3)3；
(4)1500×(2450+0.16)=1500×0.64=960(人).
答：该学校1500名学生中，成绩不低于80分的有960人．
【解析】
【分析】
本题考查条形统计图、用样本估计总体、频数(率)分布表，中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
(1)根据70≤x<80的频数和频率可以求得本次调查的学生数，从而可以得到a和b的值；
(2)根据(1)中的结果可以将统计图补充完整；
(3)根据中位数的定义即可求出中位数分布在哪一个分数段；
(4)利用1500乘以成绩不低于80分的频率即可求出答案．
【解答】
解：(1)本次调查的学生有：12÷0.24=50(人)，
a=6÷50=0.12，b=50×0.16=8，
故答案为：0.12，8；
(2)见答案；
(3)中位数在第25位和26位，
∴中位数在第3组80≤x<90，
故答案为：3；
(4)见答案.
22.【答案】14
【解析】解：(1)∵共有红、白、蓝、绿四种颜色，
∴花花凭购物小票抽奖一次，她抽到的是红色“冰墩墩”的概率为14.
故答案为：14.
(2)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的结果有4种，
∴含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的概率为416=14.
(1)直接利用概率公式计算即可．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中，
∠AFE=∠DBE∠FEA=∠BEDAE=DE，
∴△AFE≌△DBE(AAS)；
(2)由(1)知，△AFE≌△DBE，则AF=DB.
∵DB=DC，
∴AF=CD.
∵AF//BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90∘，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD=DC=12BC，
∴四边形ADCF是菱形．
【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定，主要考查学生的推理能力．
(1)根据AAS证△AFE≌△DBE；
(2)利用(1)中全等三角形的对应边相等得到AF=BD.结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论．
24.【答案】解：(1)过点B作BE⊥MN于E，如图(2)所示：
设AE=xm，
∵AB的坡度为1：2.4，
∴BEAE=12.4，
∴BE=512xm，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：x2+(512x)2=132，
解得：x=12，
∴AE=12m，BE=5m，
答：B到一楼地面的高度为5m；
(2)过点C作CF⊥MN于F交BL于G，过点D作DJ⊥CF于J交BE于H，
则BG=2m，四边形BEFG、四边形ADJF均是矩形，∠CDJ=37∘，
∴EF=BG=2m，AD=FJ=1.8m，AF=DJ，
由(1)可知，AF=AE+EF=12+2=14(m)，
∴DJ=14m，
在Rt△CDJ中，tan∠CDJ=CJDJ=tan37∘≈0.75，
∴CJ≈0.75DJ=0.75×14=10.5(m)，
∴CF=CJ+FJ=10.5+1.8=12.3(m)，
答：日光灯C到一楼地面的高度约为12.3m.
【解析】(1)过点B作BE⊥MN于E，由坡度的定义和勾股定理求解即可；
(2)过点C作CF⊥MN于F交BL于G，过点D作DJ⊥CF于J交BE于H，则四边形BEFG、四边形ADJF均是矩形，求出AF=DJ=14m，再由三角函数定义求出CJ=10.5m，即可得出结果．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：连接OC，如图：
∵CD=DE，OC=OA，
∴∠DCE=∠E，∠OCA=∠OAC，
∵ED⊥AD，
∴∠ADE=90∘，∠OAC+∠E=90∘，
∴∠OCA+∠DCE=90∘，
∴∠DCO=90∘，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：连接BC，如图：
∵CD=DE，
∴∠DCE=∠E，
∵tan∠DCE=2，
∴tanE=2，
∵ED⊥AD，
Rt△EDA中，ADED=2，
设⊙O的半径为x，则OA=OB=x，
∵BD=1，
∴AD=2x+1，
∴2x+1ED=2，
∴ED=x+12=CD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCB=90∘−∠OCB=∠OCA=∠OAC
∴△DCB∽△DAC
∴CD2=BD⋅AD，
∴(x+12)2=1×(2x+1)，解得x=32或x=−12(舍去)，
∴⊙O的半径为32.
【解析】(1)连接OC，由CD=DE，OC=OA，可得∠DCE=∠E，∠OCA=∠OAC，而ED⊥AD，可得∠OAC+∠E=90∘，故可证∠DCO=90∘，CD是⊙O的切线；
(2)连接BC，设⊙O的半径为x，由tan∠DCE=2，可得ADED=2，从而可用x的代数式表示DE和CD，再根据CD是⊙O的切线用相似三角形列方程，即可解得⊙O的半径．
本题考查圆综合知识，涉及切线判定、锐角三角函数、相似三角形的应用等，解题的关键是用相似三角形列方程．
26.【答案】解：(1)依题意设y=kx+b，
则有60k+b=10070k+b=80，
解得：k=−2b=220，
所以y关于x的函数解析式为y=−2x+220；
(2)该商品进价是60−2000÷100=40，
设每周获得利润为w元，
则有w=(x−40)(−2x+220)=−2x2+300x−8800=−2(x−75)2+1450，
∴当售价是75元/件时，周销售利润的最大利润是2450元；
(3)根据题意得，w=(x−40−m)(−2x+220)=−2x2+(300+2m)x−8800−220m，
∵−2<0，对称轴x>75，
∴抛物线的开口向下，
∵x≤70，∴w随x的增大而增大，
当x=70时，w最大=2000，
即−2×702+(300+2m)×70−8800−220m=2000，
解得：m=5.
【解析】(1)依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；
(2)该商品进价是50−1000÷100=40，设每周获得利润w=(x−40)(−2x+220)，再利用二次函数的性质可得到结论；
(2)根据题意得，w=(x−40−m)(−2x+220)=−2x2+(300+2m)x−8800−220m，把x=70，w=2000代入函数解析式，解方程即可得到结论．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
27.【答案】3
【解析】(1)证明：如图1，
作CD⊥PB于D，作CE⊥PA于E，
∵PA是APB的平分线，
∴CE=CD，
∵S△PACS△PBC=12AP⋅CE12PB⋅CD=12AC⋅PF12BC⋅PF，
∴PAPB=ACBC；
(2)解：如图2，
①作AB的垂直平分线CD，交AB于E，交⊙O于D，
②作BE的垂直平分线MN，交AB于N，作射线DN，交圆O于P，
则点P就是求作的图形；
(3)解：如图3，
作△APB的外角平分线PD，交AB的延长线于D，
∴PAPB=ADBD，
∵PC是△PAB的角平分线，
∴PAPB=ACBC=13，
∴ADBD=13，
∴AB+BDBD=13，
∴4+BDBD=13，
∴BD=2，
∴CD=3，即⊙O的半径为32，
当P运动到点P′，P′O⊥AD时，
△PAB的面积最大，最大值为12AB⋅P′O=12×4×32=3，
故答案为3.
(1)作CD⊥PB于D，作CE⊥PA于E，由S△PACS△PBC=12AP⋅CE12PB⋅CD=12AC⋅PF12BC⋅PF得出PAPB=ACBC；
(2)作AB的垂直平分线CD，交AB于E，交⊙O于D，作BE的垂直平分线MN，交AB于N，作射线DN，交圆O于P，则点P就是求作的图形；
(3)作△APB的外角平分线PD，交AB的延长线于D，可得PAPB=ADBD，PAPB=ACBC=13，从而求得CD=3，即⊙O的半径为32，进一步得出结果．
本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的作法确定的圆的条件等知识，解决问题的关键是掌握“阿氏圆”模型．
28.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点B(1,0)，C(0,−3)，
∴1+b+c=0c=−3，
解得：b=2c=−3，
∴抛物线的函数表达式为：y=x2+2x−3.
(2)①当x=0时，y=x2+2x−3=−3，
∴点C(0,−3).
当y=0时，x2+2x−3=0，
解得：x1=−3，x2=1，
∴A(−3,0)，
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A(−3,0)，C(0,−3)代入，
得：−3m+n=0n=−3，解得：m=−1n=−3，
∴直线AC的解析式为：y=−x−3.
∵OA=OC=3，
∴∠OAC=∠OCA=45∘.
过点E作EK⊥y轴于点K，
∵EG⊥AC，
∴∠KEG=∠KGE=45∘，
∴EG=EKsin45∘= 2EK= 2OD，
设P(m,m2+2m−3)，则E(m,−m−3)，
∴PE=−m−3−(m2+2m−3)=−m2−3m，
∴PE+ 2EG=PE+2OD=−m2−3m−2m=−m2−5m=−(m+52)2+254，
由题意有−3当m=−52时，PE+ 2EG取最大值，PE+ 2EG的最大值为254；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N.
∵EK⊥y轴，PD⊥x轴，∠KEG=45∘，
∴∠DEG=∠DNE=45∘，
∴DE=DN.
∵∠KGE=∠ONG=45∘，
∴OG=ON.
∵y=x2+2x−3的对称轴为直线x=−1，
∴MF=1，
∵∠KGF=45∘，
∴GF=MFsin45∘= 2MF= 2.
∵∠FDG=45∘，
∴∠FDN=∠DEG.
又∵∠DGF=∠EGD，
∴△DGF∽△EGD，
∴DGFG=EGDG，
∴DG2=FG⋅EG= 2× 2(−m)=−2m，
在Rt△ONG中，OG=ON=|OD−DN|=|OD−DE|=|−m−(m+3)|=|−2m−3|，OD=−m，
在Rt△ODG中，
∵DG2=OD2+OG2=m2+(2m+3)2=5m2+12m+9，
∴5m2+12m+9=−2m，
解得m1=−1，m2=−95.
【解析】(1)运用待定系数法将B(1,0)，C(0,−3)代入y=x2+bx+c，解方程组求出b、c即可；
(2)①利用待定系数法求出直线AC的解析式，过点E作EK⊥y轴于点K，设P(m,m2+2m−3)，则E(m,−m−3)，从而得出PE+ 2EG=−(m+52)2+254，运用二次函数求最值方法即可；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N.先证明△DGF∽△EGD，可得出DG2=FG⋅EG= 2× 2(−m)=−2m，再运用勾股定理建立方程求解即可．
本题主要考查了运用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一次函数、二次函数图象与几何图形结合，二次函数最值应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
组别
成绩x分
频数(人数)
频率
第1组
60≤x<70
6
a
第2组
70≤x<80
0.24
第3组
80≤x<90
24
第4组
90≤x≤100
b
0.16
售价x(元/件)
60
70
80
周销售量y(件)
100
80
60
周销售利润w(元)
2000
2400
2400
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”.
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”.