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2023年江苏省宿迁市泗阳县中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2023年江苏省宿迁市泗阳县中考数学一模试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省宿迁市泗阳县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）既不是正数也不是负数的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
2．（3分）计算sin30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2
4．（3分）一次跳远比赛中，成绩在4.05米以上的有8人，频率为0.4，则参加比赛的共有（ ）
A．10人 B．20人 C．30人 D．40人
5．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
6．（3分）如图，AB∥CD，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（ ）
A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
9．（3分）如果点M（a+b，ab）在第二象限，那么点N（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（3分）如图1，在矩形ABCD中，BC＝6cm，连接BD，过点A作AE⊥BD，垂足为点E．现做如下操作：剪下图1中的△ABE和△ADE，按如图2方式拼接，其中△ADE拼接到△GFB处，其中BF＝DE，点F在线段BC上；△ABE拼接到△DKH处，其中DH＝AE，点K在线段BD上．若点K恰好也在线段GF上，则在图2中下列结论正确的是（ ）
A．CD＝3cm B．△BGK 和△DHK 面积相等
C．BG＝3cm D．DK＝4.5cm
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）两年多来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.0000011米．将0.0000011用科学记数法表示为 ．
12．（3分）因式分解：m2+mn＝ ．
13．（3分）一组数据：6，5，7，6，6的中位数是 ．
14．（3分）不等式2x﹣3＜7的解集是 ．
15．（3分）下列几何体中，①圆柱；②球；③三棱锥；④圆锥；⑤长方体．从正面看图形可能是长方形的是 （填序号）．
16．（3分）学习电学知识后，小婷同学用四个开关 A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率等于 ．
17．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+3绕着顶点旋转180°后，所得抛物线的解析式为 ．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AB上的动点，点F是边BC的中点，连接DE，点M、N在线段DE上，点M在点N的右侧．若△FMN是以FM为斜边的等腰直角三角形，记△FMN的面积为S，则S的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共计96分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）
19．（8分）（﹣2）0+6cos60°﹣．
20．（8分）解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）x2﹣6x+8＝0．
21．（8分）先化简，再求值：x（x+2）+（x+1）2，其中x＝﹣3．
22．（8分）如图，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D．
（1）△ABC与△ADE相似吗？为什么？
（2）如果AB＝3AD，BC＝6，那么DE的长为多少？
23．（10分）“无体育不南开”，我校为了了解初中学生在暑假期间每周的运动时间（单位为小时，简记为h），随机抽取了部分初中学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下不完整的统计图表．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为 ，扇形统计图中的m＝ ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若从被调查的学生中随机抽取一人，这名学生每周运动时间不足8小时的概率是多少？
24．（10分）某社区在防治新型冠状病毒期间，需要购进一批防护服，现有甲、乙两种不同型号的防护服，已知每件甲型防护服的价格比每件乙型防护服的价格便宜30元，用4200元购买甲型防护服的件数与用5250元购买乙型防护服的件数刚好相等．
（1）求甲、乙两种型号的防护服每件各是多少元？
（2）如果该社区计划购进的防护服共需80件，且要求投入的经费不超过11400元，则最多可购买多少件乙型防护服？
25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝3，DF＝3，求图中阴影部分的面积．
26．（10分）A4纸是一种常见的办公用纸，它是长（AB）为29.7cm，宽（BC）为21cm的矩形，如图，将一张A4纸沿AF翻折（F点在线段DC上），点D恰好落在边AB上的点E处，点M是折痕AF上的一点．
（1）FC＝ cm；
（2）点N在线段AB上．将△AMN沿MN翻折，点A恰好落在线段BC上的点P处，用直尺和圆规作出点N、P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）若∠PNB＝37°，求PC的长度（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）．
27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（0，b），C（1，4），P（m，n），点P在第一象限．
（1）若A、B、C、P在同一直线上
①b＝ ，②求4m﹣2n的值；
（2）如果P、C都在双曲线y＝上，且四边形ABPC为平行四边形，请直接写出平行四边形ABPC的面积；
（3）若A、B、P都在以C为顶点的抛物线上，该抛物线与x轴的另一交点为D．
①求点D坐标； ②连接BD、AP，若BD与AP相交于点E，则的最大值为 ．
28．（12分）数学实验是通往数学之源、数学之品、数学之用、数学之奇、数学之美、数学之谜的创造之门，小瑞同学是一位数学“小迷神”，酷爱做数学实验，今天特邀大家和他做如下实验，并回答相关问题：
小瑞把两块完全相同的三角板按图1方式摆放，其中△ABC≌△EFD，∠BAC＝∠FED＝60°，BC⊥AC，ED⊥FD，AB＝EF＝12cm，AC在直线MN上，点A与点F重合．
（1）∠CAE＝ ，BD＝ cm
（2）小瑞将三角板FDE的直角顶点D沿DA方向滑动，同时顶点F沿AN方向在射线AN上滑动，如图2．
①当点D恰好是线段AB中点时，求∠ADF的度数．
②当点D从初始位置滑动到点A处时，求点E所经过的路径长；
（3）在（2）中，过点D、F分别作AB、AF的垂线，两条垂线相交于点P，连接AP，线段AP的长度是否为定值？如果是，请直接写出结果；如果不是，请说明理由．
2023年江苏省宿迁市泗阳县中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确）
1．（3分）既不是正数也不是负数的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【解答】解：0既不是正数也不是负数．
故选：C．
2．（3分）计算sin30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：sin30°＝，
故选：B．
3．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：D．
4．（3分）一次跳远比赛中，成绩在4.05米以上的有8人，频率为0.4，则参加比赛的共有（ ）
A．10人 B．20人 C．30人 D．40人
【解答】解：由题意可得：参加比赛的共有8÷0.4＝20（人），
故选：B．
5．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上＝﹣（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
而A（﹣2，y1）离直线x＝﹣1的距离最近，C（2，y3）点离直线x＝1最远，
∴y1＞y2＞y3．
故选：A．
6．（3分）如图，AB∥CD，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【解答】解：∵AB∥CD，∠AEC＝40°，
∴∠ECD＝∠AEC＝40°，
∵CB平分∠DCE，
∴∠BCD＝∠DCE＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝20°，
故选：B．
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：根据题意，得：Δ＝42﹣4×1×c＞0，
解得c＜4，
故选：D．
8．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（ ）
A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝15，∠C＝90°，
∴AB＝＝17，
∴S△ABC＝AC•BC＝×8×15＝60，
设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点，及OA、OB、OC，
设内切圆的半径为r，
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×r（AB+BC+AC）＝20r，
∴20r＝60，解得r＝3，
∴内切圆的直径为6步，
故选：C．
9．（3分）如果点M（a+b，ab）在第二象限，那么点N（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵P（a+b，ab）在第二象限，
∴，
∴a、b同号且和是负数，
∴a＜0，b＜0，
点Q（a，b）在第三象限．
故选：C．
10．（3分）如图1，在矩形ABCD中，BC＝6cm，连接BD，过点A作AE⊥BD，垂足为点E．现做如下操作：剪下图1中的△ABE和△ADE，按如图2方式拼接，其中△ADE拼接到△GFB处，其中BF＝DE，点F在线段BC上；△ABE拼接到△DKH处，其中DH＝AE，点K在线段BD上．若点K恰好也在线段GF上，则在图2中下列结论正确的是（ ）
A．CD＝3cm B．△BGK 和△DHK 面积相等
C．BG＝3cm D．DK＝4.5cm
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠GFB，
∴∠DBC＝∠GFB，
∴BK＝FK，∠BGK＝90°﹣∠GFB＝90°﹣∠DBC＝∠GBK，
∴BK＝GK，
∴FK＝BK＝GK，
∵GK+FK＝GF＝AD＝BC＝6cm，
∴BK＝GK＝FK＝3cm，
设CD＝AB＝DK＝xcm，则BD＝BK+DK＝（3+x）cm，
在Rt△BCD中，
x2+62＝（3+x）2，
解得x＝4.5，
∴DK＝4.5cm，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）两年多来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.0000011米．将0.0000011用科学记数法表示为 1.1×10﹣6 ．
【解答】解：0.0000011＝1.1×10﹣6．
故答案为：1.1×10﹣6．
12．（3分）因式分解：m2+mn＝ m（m+n） ．
【解答】解：原式＝m（m+n），
故答案为：m（m+n）．
13．（3分）一组数据：6，5，7，6，6的中位数是 6 ．
【解答】解：把这组数据从小到大排列为：5，6，6，6，7，
则中位数是6．
故答案为：6．
14．（3分）不等式2x﹣3＜7的解集是 x＜5 ．
【解答】解：移项得，2x＜7+3，
合并同类项、化系数为1得，x＜5．
故答案为：x＜5．
15．（3分）下列几何体中，①圆柱；②球；③三棱锥；④圆锥；⑤长方体．从正面看图形可能是长方形的是 ①⑤ （填序号）．
【解答】解：①圆柱从正面看是长方形，符合题意；
②球从正面看是圆，不符合题意；
③三棱锥从正面看是三角形，不符合题意；
④圆锥从正面看是三角形，不符合题意；
⑤长方体从正面看是长方形，符合题意．
故从正面看图形是长方形的是①⑤．
故答案为：①⑤．
16．（3分）学习电学知识后，小婷同学用四个开关 A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率等于 ．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，
∴小灯泡发光的概率＝＝，
故答案为：．
17．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+3绕着顶点旋转180°后，所得抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+1 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2），
∵将抛物线y＝x2﹣2x+3绕着顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，开口方向发生变化，
∴所得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x+1．
故答案为：y＝﹣x2+2x+1．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AB上的动点，点F是边BC的中点，连接DE，点M、N在线段DE上，点M在点N的右侧．若△FMN是以FM为斜边的等腰直角三角形，记△FMN的面积为S，则S的取值范围是 1≤S≤5 ．
【解答】解：如图，连接DF，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝CF＝2，
∴DF＝＝＝2，
∵△FNM是等腰直角三角形，
∴FN＝MN，∠FNM＝90°，
∴S＝FN2，
∵∠DNF＝∠C＝90°，
∴点F，点C，点D，点N四点共圆，
∴当点M与点D重合时，FN有最大值，
∴FN的最大值为＝，
∴S的最大值为5，
当点E与点B重合时，FN有最小值，
∴FN的最小值为＝，
∴S的最小值为1，
∴1≤S≤5，
故答案为：1≤S≤5．
三、解答题（本大题共10小题，共计96分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）
19．（8分）（﹣2）0+6cos60°﹣．
【解答】解：原式＝1+6×﹣3
＝1+3﹣3
＝1．
20．（8分）解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）x2﹣6x+8＝0．
【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣4＝0，
移项，得（x﹣3）2＝4，
开方得x﹣3＝±2，
即x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
∴x1＝5，x2＝1；
（2）x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
即x﹣2＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝4．
21．（8分）先化简，再求值：x（x+2）+（x+1）2，其中x＝﹣3．
【解答】解：x（x+2）+（x+1）2
＝x2+2x+x2+2x+1
＝2x2+4x+1，
当x＝﹣3时，原式＝2×（﹣3）2+4×（﹣3）+1＝7．
22．（8分）如图，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D．
（1）△ABC与△ADE相似吗？为什么？
（2）如果AB＝3AD，BC＝6，那么DE的长为多少？
【解答】解：（1）△ABC与△ADE相似，
理由：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴，
∵AB＝3AD，BC＝6，
∴，
∴DE＝2，
即DE的长是2．
23．（10分）“无体育不南开”，我校为了了解初中学生在暑假期间每周的运动时间（单位为小时，简记为h），随机抽取了部分初中学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下不完整的统计图表．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为 40 ，扇形统计图中的m＝ 25 ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若从被调查的学生中随机抽取一人，这名学生每周运动时间不足8小时的概率是多少？
【解答】解：（1）本次调查的总人数为4÷10%＝40，
∵10÷40×100%＝25%，
∴m＝25．
故答案为：40，25．
（2）每周的运动时间为7小时的人数为40﹣4﹣8﹣10﹣3＝15，
补全条形图如下：
（3）＝，
答：从被调查的学生中随机抽取一人，这名学生每周运动时间不足8小时的概率是．
24．（10分）某社区在防治新型冠状病毒期间，需要购进一批防护服，现有甲、乙两种不同型号的防护服，已知每件甲型防护服的价格比每件乙型防护服的价格便宜30元，用4200元购买甲型防护服的件数与用5250元购买乙型防护服的件数刚好相等．
（1）求甲、乙两种型号的防护服每件各是多少元？
（2）如果该社区计划购进的防护服共需80件，且要求投入的经费不超过11400元，则最多可购买多少件乙型防护服？
【解答】解：（1）设每件乙型防护服为x元，则每件型防护服为（x﹣30）元，
根据题意得：，
解得：x＝150，
经检验，x＝150原方程的解，
∴x﹣30＝120．
答：每件甲型防护服为120元，每件乙型防护服为150元；
（2）设购买y件乙型防护服，则购买（80﹣y）件甲型防护服，
根据题意得：150y+120（80﹣y）≤11400，
解得：y≤60．
答：最多可购买60件乙种商品．
25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝3，DF＝3，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO，
∵DO＝BO，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD＝∠DBO，
∴∠EBD＝∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝∠EDO＝90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE＝DF＝3，
∵BE＝3，
∴BD＝＝6，
∵sin∠DBF＝＝，
∴∠DBA＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∴sin60°＝＝＝，
∴DO＝2，
则FO＝，
故图中阴影部分的面积为：﹣××3＝2π﹣．
26．（10分）A4纸是一种常见的办公用纸，它是长（AB）为29.7cm，宽（BC）为21cm的矩形，如图，将一张A4纸沿AF翻折（F点在线段DC上），点D恰好落在边AB上的点E处，点M是折痕AF上的一点．
（1）FC＝ 8.7 cm；
（2）点N在线段AB上．将△AMN沿MN翻折，点A恰好落在线段BC上的点P处，用直尺和圆规作出点N、P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）若∠PNB＝37°，求PC的长度（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）．
【解答】解：（1）29.7﹣21＝8.7（厘米），
故答案为：8.7；
（2）如下图：点N，P即为所求；
（3）由轴对称得：AN＝NP，
设PN＝x，则BN＝29.7﹣x，
则cos37°≈0.8＝（29.7﹣x）÷x，
解得：x＝16.5，
∴sin37°≈0.6＝BP÷16.5，
∴BP＝9.9，
∴CP＝21﹣9.9＝11.1（厘米），
所以PC的长度为11.1厘米．
27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（0，b），C（1，4），P（m，n），点P在第一象限．
（1）若A、B、C、P在同一直线上
①b＝ 2 ，②求4m﹣2n的值；
（2）如果P、C都在双曲线y＝上，且四边形ABPC为平行四边形，请直接写出平行四边形ABPC的面积；
（3）若A、B、P都在以C为顶点的抛物线上，该抛物线与x轴的另一交点为D．
①求点D坐标； ②连接BD、AP，若BD与AP相交于点E，则的最大值为 ．
【解答】解：（1）设直线AC的表达式为：y＝k（x+1），
将点C的坐标代入上式得：4＝2k，则x＝2，
故直线AC的表达式为：y＝2x+2，
当x＝0时，y＝2x+2＝2，即点B（0，2），即b＝2，
故答案为：2；
当x＝m时，n＝y＝2x+2＝2m+2，
则4m﹣2n＝4m﹣2（2m+2）＝﹣4；
（2）将点C的坐标代入反比例函数的表达式得：k＝1×4＝4，
则房比例函数的表达式为：y＝，
则mn＝4，
∵四边形ABPC为平行四边形，
由中点坐标公式得：且mn＝1，
解得：，
则B（0，﹣2），P（2，2），
设直线AC交y轴与点M，作点M作MN⊥PB于点N，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝2x+2，
即点M（0，2），tan∠MAO＝2，则BM＝2﹣（﹣2）＝4，
则tan∠AMO＝＝tan∠MBN，则sin∠MBN＝，
则MN＝BM•sin∠MBN＝4×＝，
由点A、C的坐标得，AC＝，
则平行四边形ABPC的面积＝AC×MN＝×＝8；
第（2）问答案中，MN应该等于BM•sin∠MBN
（3）①设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝a（x﹣1）2+4，
将点A的坐标代入上式得：0＝4a+4，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
令y＝﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝﹣1或3，
即点D（3，0）；
②过点A作AN∥y轴交BD于点N，过点P作PM∥y轴交BD于点M，
由点B、D的坐标得，直线DB的表达式为：y＝﹣x+3，
当x＝﹣1时，y＝﹣x+3＝4，即AN＝4，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点M（x，﹣x+3），
∵AN∥y轴，PM∥y轴，则AN∥PM，
∴∠EPM＝∠EAN，∠EMP＝∠ENA，
∴△ENA∽△EMP，
∴＝＝（yP﹣yM）＝（﹣x2+2x+x﹣3）＝﹣（x﹣）2+≤，
故的最大值为，
故答案为：．
28．（12分）数学实验是通往数学之源、数学之品、数学之用、数学之奇、数学之美、数学之谜的创造之门，小瑞同学是一位数学“小迷神”，酷爱做数学实验，今天特邀大家和他做如下实验，并回答相关问题：
小瑞把两块完全相同的三角板按图1方式摆放，其中△ABC≌△EFD，∠BAC＝∠FED＝60°，BC⊥AC，ED⊥FD，AB＝EF＝12cm，AC在直线MN上，点A与点F重合．
（1）∠CAE＝ 90° ，BD＝ 12﹣6 cm
（2）小瑞将三角板FDE的直角顶点D沿DA方向滑动，同时顶点F沿AN方向在射线AN上滑动，如图2．
①当点D恰好是线段AB中点时，求∠ADF的度数．
②当点D从初始位置滑动到点A处时，求点E所经过的路径长；
（3）在（2）中，过点D、F分别作AB、AF的垂线，两条垂线相交于点P，连接AP，线段AP的长度是否为定值？如果是，请直接写出结果；如果不是，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，
∵BC⊥AC，ED⊥FD，
∴∠ACB＝∠EDF＝90°，
∵∠BAC＝∠FED＝60°，
∴∠EFD＝90°﹣∠FED＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAE＝∠BAC+∠EFD＝60°+30°＝90°，
∴DF＝EF•cos∠EFD＝12cos30°＝12×＝6（cm），即AD＝6cm，
∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣6）cm，
故答案为：90°，12﹣6；
（2）①如图2，过点D作DG⊥MN于G，
则∠DGA＝∠BCA＝90°，
∵D是AB的中点，
∴AD＝AB＝×12＝6（cm），
∵∠BAC＝60°，
∴DG＝AD•sin60°＝6×＝3（cm），
由（1）知：DF＝6cm，
∴sin∠DFG＝＝＝，
∴∠DFG＝30°，
∴∠ADF＝∠BAC﹣∠DFG＝60°﹣30°＝30°；
②如图3，当点D沿DA方向下滑时，得△E'F'D'，过点E′作E′G⊥AB于G，
当点D滑动到点A时，点E沿EA下滑到E″点，点E运动的路径长为EE″＝12﹣6＝6（cm），
故点E所经过的路径长为6cm；
（3）∵DP⊥AB，FP⊥MN，
∴∠ADP＝∠AFP＝90°，
∴四边形ADPF是圆内接四边形，
∴∠DAF+∠DPF＝180°，
作四边形ADPF的外接圆⊙O，如图4，连接OD，OF，过点O作OK⊥DF于K，
∵∠DAF+∠BAC＝180°，
∴∠DPF＝∠BAC＝60°，
∵∠ADP＝90°，
∴AP是⊙O的直径，即点O是AP的中点，
∴∠DOF＝2∠DPF＝120°，
∵OA＝OF，OK⊥DF，
∴DK＝FK＝DF＝×6＝3（cm），∠OAF＝∠OFD＝30°，即点O为EF与AP的交点，
∵＝cos∠ODF，
∴OD＝＝＝6（cm），
∴AP＝2OD＝12cm．
故线段AP的长度为12cm，是定值．
2023年江苏省宿迁市泗阳县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）既不是正数也不是负数的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
2．（3分）计算sin30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2
4．（3分）一次跳远比赛中，成绩在4.05米以上的有8人，频率为0.4，则参加比赛的共有（ ）
A．10人 B．20人 C．30人 D．40人
5．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
6．（3分）如图，AB∥CD，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（ ）
A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
9．（3分）如果点M（a+b，ab）在第二象限，那么点N（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（3分）如图1，在矩形ABCD中，BC＝6cm，连接BD，过点A作AE⊥BD，垂足为点E．现做如下操作：剪下图1中的△ABE和△ADE，按如图2方式拼接，其中△ADE拼接到△GFB处，其中BF＝DE，点F在线段BC上；△ABE拼接到△DKH处，其中DH＝AE，点K在线段BD上．若点K恰好也在线段GF上，则在图2中下列结论正确的是（ ）
A．CD＝3cm B．△BGK 和△DHK 面积相等
C．BG＝3cm D．DK＝4.5cm
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）两年多来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.0000011米．将0.0000011用科学记数法表示为 ．
12．（3分）因式分解：m2+mn＝ ．
13．（3分）一组数据：6，5，7，6，6的中位数是 ．
14．（3分）不等式2x﹣3＜7的解集是 ．
15．（3分）下列几何体中，①圆柱；②球；③三棱锥；④圆锥；⑤长方体．从正面看图形可能是长方形的是 （填序号）．
16．（3分）学习电学知识后，小婷同学用四个开关 A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率等于 ．
17．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+3绕着顶点旋转180°后，所得抛物线的解析式为 ．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AB上的动点，点F是边BC的中点，连接DE，点M、N在线段DE上，点M在点N的右侧．若△FMN是以FM为斜边的等腰直角三角形，记△FMN的面积为S，则S的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共计96分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）
19．（8分）（﹣2）0+6cos60°﹣．
20．（8分）解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）x2﹣6x+8＝0．
21．（8分）先化简，再求值：x（x+2）+（x+1）2，其中x＝﹣3．
22．（8分）如图，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D．
（1）△ABC与△ADE相似吗？为什么？
（2）如果AB＝3AD，BC＝6，那么DE的长为多少？
23．（10分）“无体育不南开”，我校为了了解初中学生在暑假期间每周的运动时间（单位为小时，简记为h），随机抽取了部分初中学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下不完整的统计图表．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为 ，扇形统计图中的m＝ ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若从被调查的学生中随机抽取一人，这名学生每周运动时间不足8小时的概率是多少？
24．（10分）某社区在防治新型冠状病毒期间，需要购进一批防护服，现有甲、乙两种不同型号的防护服，已知每件甲型防护服的价格比每件乙型防护服的价格便宜30元，用4200元购买甲型防护服的件数与用5250元购买乙型防护服的件数刚好相等．
（1）求甲、乙两种型号的防护服每件各是多少元？
（2）如果该社区计划购进的防护服共需80件，且要求投入的经费不超过11400元，则最多可购买多少件乙型防护服？
25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝3，DF＝3，求图中阴影部分的面积．
26．（10分）A4纸是一种常见的办公用纸，它是长（AB）为29.7cm，宽（BC）为21cm的矩形，如图，将一张A4纸沿AF翻折（F点在线段DC上），点D恰好落在边AB上的点E处，点M是折痕AF上的一点．
（1）FC＝ cm；
（2）点N在线段AB上．将△AMN沿MN翻折，点A恰好落在线段BC上的点P处，用直尺和圆规作出点N、P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）若∠PNB＝37°，求PC的长度（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）．
27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（0，b），C（1，4），P（m，n），点P在第一象限．
（1）若A、B、C、P在同一直线上
①b＝ ，②求4m﹣2n的值；
（2）如果P、C都在双曲线y＝上，且四边形ABPC为平行四边形，请直接写出平行四边形ABPC的面积；
（3）若A、B、P都在以C为顶点的抛物线上，该抛物线与x轴的另一交点为D．
①求点D坐标； ②连接BD、AP，若BD与AP相交于点E，则的最大值为 ．
28．（12分）数学实验是通往数学之源、数学之品、数学之用、数学之奇、数学之美、数学之谜的创造之门，小瑞同学是一位数学“小迷神”，酷爱做数学实验，今天特邀大家和他做如下实验，并回答相关问题：
小瑞把两块完全相同的三角板按图1方式摆放，其中△ABC≌△EFD，∠BAC＝∠FED＝60°，BC⊥AC，ED⊥FD，AB＝EF＝12cm，AC在直线MN上，点A与点F重合．
（1）∠CAE＝ ，BD＝ cm
（2）小瑞将三角板FDE的直角顶点D沿DA方向滑动，同时顶点F沿AN方向在射线AN上滑动，如图2．
①当点D恰好是线段AB中点时，求∠ADF的度数．
②当点D从初始位置滑动到点A处时，求点E所经过的路径长；
（3）在（2）中，过点D、F分别作AB、AF的垂线，两条垂线相交于点P，连接AP，线段AP的长度是否为定值？如果是，请直接写出结果；如果不是，请说明理由．
2023年江苏省宿迁市泗阳县中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确）
1．（3分）既不是正数也不是负数的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【解答】解：0既不是正数也不是负数．
故选：C．
2．（3分）计算sin30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：sin30°＝，
故选：B．
3．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：D．
4．（3分）一次跳远比赛中，成绩在4.05米以上的有8人，频率为0.4，则参加比赛的共有（ ）
A．10人 B．20人 C．30人 D．40人
【解答】解：由题意可得：参加比赛的共有8÷0.4＝20（人），
故选：B．
5．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上＝﹣（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
而A（﹣2，y1）离直线x＝﹣1的距离最近，C（2，y3）点离直线x＝1最远，
∴y1＞y2＞y3．
故选：A．
6．（3分）如图，AB∥CD，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【解答】解：∵AB∥CD，∠AEC＝40°，
∴∠ECD＝∠AEC＝40°，
∵CB平分∠DCE，
∴∠BCD＝∠DCE＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝20°，
故选：B．
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：根据题意，得：Δ＝42﹣4×1×c＞0，
解得c＜4，
故选：D．
8．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（ ）
A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝15，∠C＝90°，
∴AB＝＝17，
∴S△ABC＝AC•BC＝×8×15＝60，
设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点，及OA、OB、OC，
设内切圆的半径为r，
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×r（AB+BC+AC）＝20r，
∴20r＝60，解得r＝3，
∴内切圆的直径为6步，
故选：C．
9．（3分）如果点M（a+b，ab）在第二象限，那么点N（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵P（a+b，ab）在第二象限，
∴，
∴a、b同号且和是负数，
∴a＜0，b＜0，
点Q（a，b）在第三象限．
故选：C．
10．（3分）如图1，在矩形ABCD中，BC＝6cm，连接BD，过点A作AE⊥BD，垂足为点E．现做如下操作：剪下图1中的△ABE和△ADE，按如图2方式拼接，其中△ADE拼接到△GFB处，其中BF＝DE，点F在线段BC上；△ABE拼接到△DKH处，其中DH＝AE，点K在线段BD上．若点K恰好也在线段GF上，则在图2中下列结论正确的是（ ）
A．CD＝3cm B．△BGK 和△DHK 面积相等
C．BG＝3cm D．DK＝4.5cm
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠GFB，
∴∠DBC＝∠GFB，
∴BK＝FK，∠BGK＝90°﹣∠GFB＝90°﹣∠DBC＝∠GBK，
∴BK＝GK，
∴FK＝BK＝GK，
∵GK+FK＝GF＝AD＝BC＝6cm，
∴BK＝GK＝FK＝3cm，
设CD＝AB＝DK＝xcm，则BD＝BK+DK＝（3+x）cm，
在Rt△BCD中，
x2+62＝（3+x）2，
解得x＝4.5，
∴DK＝4.5cm，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）两年多来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.0000011米．将0.0000011用科学记数法表示为 1.1×10﹣6 ．
【解答】解：0.0000011＝1.1×10﹣6．
故答案为：1.1×10﹣6．
12．（3分）因式分解：m2+mn＝ m（m+n） ．
【解答】解：原式＝m（m+n），
故答案为：m（m+n）．
13．（3分）一组数据：6，5，7，6，6的中位数是 6 ．
【解答】解：把这组数据从小到大排列为：5，6，6，6，7，
则中位数是6．
故答案为：6．
14．（3分）不等式2x﹣3＜7的解集是 x＜5 ．
【解答】解：移项得，2x＜7+3，
合并同类项、化系数为1得，x＜5．
故答案为：x＜5．
15．（3分）下列几何体中，①圆柱；②球；③三棱锥；④圆锥；⑤长方体．从正面看图形可能是长方形的是 ①⑤ （填序号）．
【解答】解：①圆柱从正面看是长方形，符合题意；
②球从正面看是圆，不符合题意；
③三棱锥从正面看是三角形，不符合题意；
④圆锥从正面看是三角形，不符合题意；
⑤长方体从正面看是长方形，符合题意．
故从正面看图形是长方形的是①⑤．
故答案为：①⑤．
16．（3分）学习电学知识后，小婷同学用四个开关 A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率等于 ．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，
∴小灯泡发光的概率＝＝，
故答案为：．
17．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+3绕着顶点旋转180°后，所得抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+1 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2），
∵将抛物线y＝x2﹣2x+3绕着顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，开口方向发生变化，
∴所得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x+1．
故答案为：y＝﹣x2+2x+1．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AB上的动点，点F是边BC的中点，连接DE，点M、N在线段DE上，点M在点N的右侧．若△FMN是以FM为斜边的等腰直角三角形，记△FMN的面积为S，则S的取值范围是 1≤S≤5 ．
【解答】解：如图，连接DF，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝CF＝2，
∴DF＝＝＝2，
∵△FNM是等腰直角三角形，
∴FN＝MN，∠FNM＝90°，
∴S＝FN2，
∵∠DNF＝∠C＝90°，
∴点F，点C，点D，点N四点共圆，
∴当点M与点D重合时，FN有最大值，
∴FN的最大值为＝，
∴S的最大值为5，
当点E与点B重合时，FN有最小值，
∴FN的最小值为＝，
∴S的最小值为1，
∴1≤S≤5，
故答案为：1≤S≤5．
三、解答题（本大题共10小题，共计96分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）
19．（8分）（﹣2）0+6cos60°﹣．
【解答】解：原式＝1+6×﹣3
＝1+3﹣3
＝1．
20．（8分）解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）x2﹣6x+8＝0．
【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣4＝0，
移项，得（x﹣3）2＝4，
开方得x﹣3＝±2，
即x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
∴x1＝5，x2＝1；
（2）x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
即x﹣2＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝4．
21．（8分）先化简，再求值：x（x+2）+（x+1）2，其中x＝﹣3．
【解答】解：x（x+2）+（x+1）2
＝x2+2x+x2+2x+1
＝2x2+4x+1，
当x＝﹣3时，原式＝2×（﹣3）2+4×（﹣3）+1＝7．
22．（8分）如图，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D．
（1）△ABC与△ADE相似吗？为什么？
（2）如果AB＝3AD，BC＝6，那么DE的长为多少？
【解答】解：（1）△ABC与△ADE相似，
理由：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴，
∵AB＝3AD，BC＝6，
∴，
∴DE＝2，
即DE的长是2．
23．（10分）“无体育不南开”，我校为了了解初中学生在暑假期间每周的运动时间（单位为小时，简记为h），随机抽取了部分初中学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下不完整的统计图表．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为 40 ，扇形统计图中的m＝ 25 ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若从被调查的学生中随机抽取一人，这名学生每周运动时间不足8小时的概率是多少？
【解答】解：（1）本次调查的总人数为4÷10%＝40，
∵10÷40×100%＝25%，
∴m＝25．
故答案为：40，25．
（2）每周的运动时间为7小时的人数为40﹣4﹣8﹣10﹣3＝15，
补全条形图如下：
（3）＝，
答：从被调查的学生中随机抽取一人，这名学生每周运动时间不足8小时的概率是．
24．（10分）某社区在防治新型冠状病毒期间，需要购进一批防护服，现有甲、乙两种不同型号的防护服，已知每件甲型防护服的价格比每件乙型防护服的价格便宜30元，用4200元购买甲型防护服的件数与用5250元购买乙型防护服的件数刚好相等．
（1）求甲、乙两种型号的防护服每件各是多少元？
（2）如果该社区计划购进的防护服共需80件，且要求投入的经费不超过11400元，则最多可购买多少件乙型防护服？
【解答】解：（1）设每件乙型防护服为x元，则每件型防护服为（x﹣30）元，
根据题意得：，
解得：x＝150，
经检验，x＝150原方程的解，
∴x﹣30＝120．
答：每件甲型防护服为120元，每件乙型防护服为150元；
（2）设购买y件乙型防护服，则购买（80﹣y）件甲型防护服，
根据题意得：150y+120（80﹣y）≤11400，
解得：y≤60．
答：最多可购买60件乙种商品．
25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝3，DF＝3，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO，
∵DO＝BO，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD＝∠DBO，
∴∠EBD＝∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝∠EDO＝90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE＝DF＝3，
∵BE＝3，
∴BD＝＝6，
∵sin∠DBF＝＝，
∴∠DBA＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∴sin60°＝＝＝，
∴DO＝2，
则FO＝，
故图中阴影部分的面积为：﹣××3＝2π﹣．
26．（10分）A4纸是一种常见的办公用纸，它是长（AB）为29.7cm，宽（BC）为21cm的矩形，如图，将一张A4纸沿AF翻折（F点在线段DC上），点D恰好落在边AB上的点E处，点M是折痕AF上的一点．
（1）FC＝ 8.7 cm；
（2）点N在线段AB上．将△AMN沿MN翻折，点A恰好落在线段BC上的点P处，用直尺和圆规作出点N、P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）若∠PNB＝37°，求PC的长度（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）．
【解答】解：（1）29.7﹣21＝8.7（厘米），
故答案为：8.7；
（2）如下图：点N，P即为所求；
（3）由轴对称得：AN＝NP，
设PN＝x，则BN＝29.7﹣x，
则cos37°≈0.8＝（29.7﹣x）÷x，
解得：x＝16.5，
∴sin37°≈0.6＝BP÷16.5，
∴BP＝9.9，
∴CP＝21﹣9.9＝11.1（厘米），
所以PC的长度为11.1厘米．
27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（0，b），C（1，4），P（m，n），点P在第一象限．
（1）若A、B、C、P在同一直线上
①b＝ 2 ，②求4m﹣2n的值；
（2）如果P、C都在双曲线y＝上，且四边形ABPC为平行四边形，请直接写出平行四边形ABPC的面积；
（3）若A、B、P都在以C为顶点的抛物线上，该抛物线与x轴的另一交点为D．
①求点D坐标； ②连接BD、AP，若BD与AP相交于点E，则的最大值为 ．
【解答】解：（1）设直线AC的表达式为：y＝k（x+1），
将点C的坐标代入上式得：4＝2k，则x＝2，
故直线AC的表达式为：y＝2x+2，
当x＝0时，y＝2x+2＝2，即点B（0，2），即b＝2，
故答案为：2；
当x＝m时，n＝y＝2x+2＝2m+2，
则4m﹣2n＝4m﹣2（2m+2）＝﹣4；
（2）将点C的坐标代入反比例函数的表达式得：k＝1×4＝4，
则房比例函数的表达式为：y＝，
则mn＝4，
∵四边形ABPC为平行四边形，
由中点坐标公式得：且mn＝1，
解得：，
则B（0，﹣2），P（2，2），
设直线AC交y轴与点M，作点M作MN⊥PB于点N，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝2x+2，
即点M（0，2），tan∠MAO＝2，则BM＝2﹣（﹣2）＝4，
则tan∠AMO＝＝tan∠MBN，则sin∠MBN＝，
则MN＝BM•sin∠MBN＝4×＝，
由点A、C的坐标得，AC＝，
则平行四边形ABPC的面积＝AC×MN＝×＝8；
第（2）问答案中，MN应该等于BM•sin∠MBN
（3）①设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝a（x﹣1）2+4，
将点A的坐标代入上式得：0＝4a+4，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
令y＝﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝﹣1或3，
即点D（3，0）；
②过点A作AN∥y轴交BD于点N，过点P作PM∥y轴交BD于点M，
由点B、D的坐标得，直线DB的表达式为：y＝﹣x+3，
当x＝﹣1时，y＝﹣x+3＝4，即AN＝4，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点M（x，﹣x+3），
∵AN∥y轴，PM∥y轴，则AN∥PM，
∴∠EPM＝∠EAN，∠EMP＝∠ENA，
∴△ENA∽△EMP，
∴＝＝（yP﹣yM）＝（﹣x2+2x+x﹣3）＝﹣（x﹣）2+≤，
故的最大值为，
故答案为：．
28．（12分）数学实验是通往数学之源、数学之品、数学之用、数学之奇、数学之美、数学之谜的创造之门，小瑞同学是一位数学“小迷神”，酷爱做数学实验，今天特邀大家和他做如下实验，并回答相关问题：
小瑞把两块完全相同的三角板按图1方式摆放，其中△ABC≌△EFD，∠BAC＝∠FED＝60°，BC⊥AC，ED⊥FD，AB＝EF＝12cm，AC在直线MN上，点A与点F重合．
（1）∠CAE＝ 90° ，BD＝ 12﹣6 cm
（2）小瑞将三角板FDE的直角顶点D沿DA方向滑动，同时顶点F沿AN方向在射线AN上滑动，如图2．
①当点D恰好是线段AB中点时，求∠ADF的度数．
②当点D从初始位置滑动到点A处时，求点E所经过的路径长；
（3）在（2）中，过点D、F分别作AB、AF的垂线，两条垂线相交于点P，连接AP，线段AP的长度是否为定值？如果是，请直接写出结果；如果不是，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，
∵BC⊥AC，ED⊥FD，
∴∠ACB＝∠EDF＝90°，
∵∠BAC＝∠FED＝60°，
∴∠EFD＝90°﹣∠FED＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAE＝∠BAC+∠EFD＝60°+30°＝90°，
∴DF＝EF•cos∠EFD＝12cos30°＝12×＝6（cm），即AD＝6cm，
∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣6）cm，
故答案为：90°，12﹣6；
（2）①如图2，过点D作DG⊥MN于G，
则∠DGA＝∠BCA＝90°，
∵D是AB的中点，
∴AD＝AB＝×12＝6（cm），
∵∠BAC＝60°，
∴DG＝AD•sin60°＝6×＝3（cm），
由（1）知：DF＝6cm，
∴sin∠DFG＝＝＝，
∴∠DFG＝30°，
∴∠ADF＝∠BAC﹣∠DFG＝60°﹣30°＝30°；
②如图3，当点D沿DA方向下滑时，得△E'F'D'，过点E′作E′G⊥AB于G，
当点D滑动到点A时，点E沿EA下滑到E″点，点E运动的路径长为EE″＝12﹣6＝6（cm），
故点E所经过的路径长为6cm；
（3）∵DP⊥AB，FP⊥MN，
∴∠ADP＝∠AFP＝90°，
∴四边形ADPF是圆内接四边形，
∴∠DAF+∠DPF＝180°，
作四边形ADPF的外接圆⊙O，如图4，连接OD，OF，过点O作OK⊥DF于K，
∵∠DAF+∠BAC＝180°，
∴∠DPF＝∠BAC＝60°，
∵∠ADP＝90°，
∴AP是⊙O的直径，即点O是AP的中点，
∴∠DOF＝2∠DPF＝120°，
∵OA＝OF，OK⊥DF，
∴DK＝FK＝DF＝×6＝3（cm），∠OAF＝∠OFD＝30°，即点O为EF与AP的交点，
∵＝cos∠ODF，
∴OD＝＝＝6（cm），
∴AP＝2OD＝12cm．
故线段AP的长度为12cm，是定值．
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