2023年江苏省泰州市兴化市中考数学一模试卷(含答案解析)

这是一份2023年江苏省泰州市兴化市中考数学一模试卷(含答案解析)，共27页。试卷主要包含了 下列运算正确的是， 下列计算正确的是，求该熨烫台支撑杆AB的长度等内容，欢迎下载使用。
A. 3a+3b=6abB. a3−a=a2C. a6÷a3=a2D. (a2)3=a6
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 2+3 2=5 2
C. 2× 3= 5D. 2 2×3 2=6 2
4. 已知x1、x2是关于x的方程x2−2x−m2=0的两根，下列结论中不一定正确的是( )
A. x1+x2>0B. x1⋅x20)的图象交于A，B两点，点P在以C(−2,0)为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为32，则k的值为( )
A. 4932B. 2518C. 3225D. 98
6. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为半圆AB的中点，CD交AB于点E，若AC=8，BC=6，则BE的长为( )
A. 4.25
B. 307
C. 3 3
D. 4.8
7. 若分式x−4x+2的值为0，则x的值为______.
8. 若二次根式 x−2有意义，则实数x的取值范围是__________.
9. 2022年4月2日，海陵区对封控区、管控区、防范区内全部人员进行了第三轮核酸检测，共采样约343000人，检测结果均为阴性．将数据343000用科学记数法表示为______.
10. 《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：“今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？”则该题中合伙人数为______.
11. 已知关于x的方程2x−mx−1=1的解是正数，则m的取值范围为______.
12. 小丽计算数据方差时，使用公式S2=15[(5−x−)2+(8−x−)2+(13−x−)2+(14−x−)2+(5−x−)2]，则公式中x−=______ .
13. 若一个圆锥的底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120∘，则圆锥的母线长是______cm.
14. 如图，直线y=12x−1与x轴交于点B，与双曲线y=kx(x>0)交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线y=kx交于点C.且AB=AC，则k的值为______ .
15. 若关于x的方程x2−2ax+a−2=0的一个实数根为x1≥1，另一个实数根x2≤−1，则抛物线y=−x2+2ax+2−a的顶点到x轴距离的最小值是______.
16. 如图，△ABC是等边三角形，AB= 7，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH.当∠BHD=60∘，∠AHC=90∘时，DH=______.
17. (1)计算：38−(π−3)0+(12)−1+| 2−1|.
(2)解方程：xx−2=1x+1+1.
18. 对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如下表：
(1)计算、直接填写表中投篮150次、200次相应的命中率．
(2)这个运动员投篮命中的概率约是______.
(3)估计这个运动员3分球投篮15次能得多少分？
19. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线PB折叠，得到△EBP.
(1)请在备用图上用没有刻度的直尺和圆规，在边AD上作出一点P，使BE平分∠PBC；(作图要求：保留作图痕迹，不写作法．)
(2)连接DE，则DE的最小值为______.(直接写出答案)
20. 有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度.图2是这种升降熨烫台的平面示意图.AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA=OC，h(cm)表示熨烫台的高度.
(1)如图2.若AO=CO=80cm，∠AOC=120∘，求AC的长(结果保留根号)；
(2)爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h为128cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74∘
(如图3).求该熨烫台支撑杆AB的长度.(参考数据：sin37∘≈0.6，cs37∘≈0.8，sin53∘≈0.8，cs53∘≈0.6)
21. 已知：如图1，△ACD中，AD≠CD.
(1)请你以AC为一边，在AC的同侧构造一个与△ACD全等的三角形△ACE，画出图形；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)参考(1)中构造全等三角形的方法解决下面问题：
如图2，在四边形ABCD中，①∠ACB+∠CAD=180∘；②∠B=∠D；③CD=AB.请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题.试判断这个命题是否正确，并说明理由.你选择的条件是______ ，结论是______ (只要填写序号).
22. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是弧BD的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若csC=23，CA=6，求AF的长.
23. 小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y(本)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元(12≤x≤15,且x为整数)，设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
24. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.
(1)求证：△BEC∽△BCH；
(2)如果BE2=AB⋅AE，求证：AG=DF.
25. 【阅读理解】设点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”.例如：如图1，矩形ABCD中，若PA=PD，则称P为边AD的“和谐点”.
【解题运用】已知，点P在矩形ABCD内部，且AB=10，BC=8.
(1)设P是边AD的“和谐点”，则P ______ 边BC的“和谐点”(填“是”或“不是”)；
(2)若P是边BC的“和谐点”，连接PA，PB，当∠APB=90∘时，求PA的值；
(3)如图2，若P是边AD的“和谐点”，连接PA，PB，PD，求1tan∠PAB⋅tan∠PBA的最大值.
26. 如图1，P为∠MON平分线OC上一点，以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA⋅OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．
(1)如图2，P为∠MON平分线OC上一点，过P作PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，那么∠APB______∠MON的关联角(填“是”或“不是”).
(2)①如图3，如果∠MON=60∘，OP=2，∠APB是∠MON的关联角，连接AB，求△AOB的面积和∠APB的度数；
②如果∠MON=α∘(0∘0，结论A正确，不符合题意；
B、根据根与系数的关系可得出x1⋅x2=−m2≤0，结论B不一定正确，符合题意；
C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△>0，由此即可得出x1≠x2，结论C正确，不符合题意；
D、由x1⋅x2=−2m2≤0，结合判别式可得出方程必有一正根，结论D正确，不符合题意．
故选：B.
根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1x2，x1+x2的值，分析后即可判断A项，B项是否符合题意；再结合判别式，分析后即可判断C项，D项是否符合题意．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：连接BP，
由对称性得：OA=OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ=12BP，
∵OQ长的最大值为32，
∴BP长的最大值为32×2=3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B(t,2t)，则CD=t−(−2)=t+2，BD=−2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，
∴22=(t+2)2+(−2t)2，
t=0(舍)或−45，
∴B(−45,−85)，
∵点B在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，
∴k=−45×(−85)=3225；
故选：C.
作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设B(t,2t)，则CD=t−(−2)=t+2，BD=−2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．
6.【答案】B
【解析】解：连接OD，作CH⊥AB于H，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴AB= 62+82=10，
∵12CH⋅AB=12AC⋅BC，
∴CH=6×810=245，
在Rt△BCH中，BH= 62−(245)2=185，
∵点D为半圆AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴OD//CH，
∴△CHE∽△DOE，
∴EH：OE=CH：OD=245：5=24：25，
∴OE=2524EH，
∵2524EH+EH+185=5，
∴EH=2435，
∴BE=EH+BH=2435+185=307.
故选：B.
连接OD，作CH⊥AB于H，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90∘，则根据勾股定理可计算出AB=10，利用面积法计算出CH=245，再利用勾股定理计算出BH=185，接着证明△CHE∽△DOE，根据相似的性质得到OE=2524EH，从而得到2524EH+EH+185=5，然后求出EH后计算EH+BH即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理及相似三角形的性质与判定．
7.【答案】4.
【解析】解：由分式的值为零的条件得x−4=0x+2≠0，
由x−4=0，得x=4，
由x+2≠0，得x≠−2.
综上，得x=4，即x的值为4.
故答案为：4.
根据分式的值为零的条件可以得到x−4=0x+2≠0，从而求出x的值．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
8.【答案】x≥2
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
根据二次根式有意义的条件可得x−2≥0，再解即可．
【解答】
解：由题意得：x−2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2.
9.【答案】3.43×105
【解析】解：将343000用科学记数法表示为：3.43×105.
故答案是：3.43×105.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|1且m≠2，
故答案为：m>1且m≠2.
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数得到x大于0且x不等于1，即可确定出m的范围．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，始终注意分母不为0这个条件．
12.【答案】9
【解析】解：∵S2=15[(5−x−)2+(8−x−)2+(13−x−)2+(14−x−)2+(5−x−)2]，
∴x−=15×(5+8+13+14+5)=9.
故答案为：9.
根据题目中的式子，可以得到x−的值，从而可以解答本题．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差及平均数的定义．
13.【答案】9
【解析】
【分析】
此题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解.
【解答】
解：设母线长为l，则120π×l180=2π×3
解得：l=9cm.
故答案为9.

14.【答案】4
【解析】解：∵直线y=12x−1与x轴交于点B，
∴当y=0时，x=2，
∴点B的坐标为(2,0)，
又∵过点B作x轴的垂线，与双曲线y=kx交于点C，
∴点C的坐标为(2,k2)，
∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∴点A的纵坐标为k4，
∵点A在双曲线y=kx上，
∴k4=kx，得x=4，
又∵点A(4,k4)在直线y=12x−1上，
∴k4=12×4−1
解得k=4.
故答案为：4.
根据题目中的信息，可以用含k的式子表示点C的坐标，由AB=AC，可知点A在线段BC的垂直平分线上，从而可以得到点A的纵坐标，从而可以表示出点A的坐标，又由点A在直线y=12x−1上，可以得到k的值，本题得以解决．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，灵活变化，认真推导．
15.【答案】169
【解析】解：∵关于x的方程x2−2ax+a−2=0的一个实数根为x1≥1，另一个实数根x2≤−1，
∴1+2a+a−2≤01−2a+a−2≤0，
解得：−1≤a≤13.
抛物线y=−x2+2ax+2−a的顶点坐标为(a,a2−a+2)，
∵a2−a+2=(a−12)2+74，
∴当a=13时，a2−a+2取最小值169.
故答案为：169.
由一元二次方程根的范围结合图形，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由二次函数的性质可得出抛物线的顶点坐标，利用配方法即可求出抛物线y=−x2+2ax+2−a的顶点到x轴距离的最小值．
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数的最值，通过解一元一次不等式组求出a的取值范围是解题的关键．
16.【答案】13
【解析】解：作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60∘，
∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60∘，∠BAH+∠CAH=60∘，
∴∠ABH=∠CAH，
在△ABE和△CAH中
∠AEB=∠AHC∠ABE=∠CAHAB=CA，
∴△ABE≌△CAH，
∴BE=AH，AE=CH，
在Rt△AHE中，∠AHE=∠BHD=60∘，
∴sin∠AHE=AEAH，HE=12AH，
∴AE=AH⋅sin60∘= 32AH，
∴CH= 32AH，
在Rt△AHC中，AH2+( 32AH)2=AC2=( 7)2，解得AH=2，
∴BE=2，HE=1，AE=CH= 3，
∴BH=BE−HE=2−1=1，
在Rt△BFH中，HF=12BH=12，BF= 32，
∵BF//CH，
∴△CHD∽△BFD，
∴HDFD=CHBF= 3 32=2，
∴DH=23HF=23×12=13.
故答案为13.
作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，利用等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60∘，再证明∠ABH=∠CAH，则可根据“AAS”证明△ABE≌△CAH，所以BE=AH，AE=CH，在Rt△AHE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE=12AH，AE= 32AH，则CH= 32AH，于是在Rt△AHC中利用勾股定理可计算出AH=2，从而得到BE=2，HE=1，AE=CH= 3，BH=1，接下来在Rt△BFH中计算出HF=12，BF= 32，然后证明△CHD∽△BFD，利用相似比得到HDFD=2，从而利用比例性质可得到DH的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质．
17.【答案】解：(1)38−(π−3)0+(12)−1+| 2−1|
=2−1+2+ 2−1
=2+ 2；
(2)xx−2=1x+1+1，
方程两边同乘以(x−2)(x+1)，得
x(x+1)=(x−2)+(x−2)(x+1)，
解得：x=−4，
检验：当x=−4时，(x−2)(x+1)≠0，
∴原分式方程的解为x=−4.
【解析】(1)先根据立方根、零指数幂、负整数指数幂的定义以及绝对值的性质先化简，然后计算加减；
(2)根据分式方程的解答步骤解出x的值即可，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
本题考查了实数的运算以及解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解答步骤以及相关的定义和性质．
18.【答案】解：(1)0.6；0.6.
(2)0.6.
(3)估计这个运动员3分球投篮15次，命中15×0.6=9次，能得9×3=27(分).
【解析】
【分析】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
(1)用m除以n即可得到它们的命中率；
(2)根据(1)的计算结论可估计这个运动员投篮3分球命中率约为0.6；
(3)根据(2)的估计得到投篮15次命中15×0.6=9次，然后用9乘以3即可．
【解答】
解：(1)投篮150次、200次相应的命中率分别为90150=0.6，120200=0.6.
故答案为0.6，0.6；
(2)这个运动员投篮3分球命中率约是0.6；
故答案为：0.6；
(3)见答案．
19.【答案】2
【解析】解：(1)如图，以点B为圆心，BA长为半径画弧交BC于点F，
分别以点A，F为圆心，AB长为半径画弧交弧AF于点G，E，
连接BG并延长交AD于点P，
点P即为所求；
(2)∵△ABP与△EBP关于BP成轴对称，
∴BE=BA=3，
∴点E在圆B上运动，且BE为定值，
∴当BE+DE最小时，DE有最小值，
即当B，E，D三点共线时，DE最小，
连接BD，根据勾股定理，得：
BD= BC2+CD2= 42+32=5，
∴DE=BD−BE=5−3=2，
∴DE的最小值是2.
故答案为：2.
(1)作等边三角形ABE，作BP平分∠ABE交AD于P即可；
(2)点E在圆B上运动，且BE为定值，当BE+DE最小时，DE有最小值，即当B，E，D三点共线时，DE最小，进而可以解决问题．
本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，矩形的性质，翻折变换，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
20.【答案】解：(1)如图2，过点O作OE⊥AC，垂足为E，
∵AO=CO，
∴∠AOE=12∠AOC=12×120∘=60∘，AC=2AE.
在Rt△AEO中，AE=AO⋅sin∠AOE=80× 32=40 3，
∴AC=2AE=80 3.
答：AC的长为80 3cm.
(2)如图3，过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF=128cm.
∵AO=CO，∠AOC=74∘，
∴∠OAC=∠OCA=180∘−74∘2=53∘.
在Rt△ABF中，AB=BFsin∠BAC=1280.8=160cm.
答：支撑杆AB长160cm.
【解析】(1)过点O作OE⊥AC，垂足为E，利用等腰三角形的三线合一可得出∠AOE的度数及AC=2AE，在Rt△AEO中，通过解直角三角形可求出AE的长，再结合AC=2AE即可求出AC的长；
(2)过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF=128cm，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠OAC的度数，在Rt△ABF中，通过解直角三角形即可求出AB的长．
本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：(1)在Rt△AEO中，通过解直角三角形求出AE的长；(2)在Rt△ABF中，通过解直角三角形求出AB的长．
21.【答案】①② ③
【解析】解：(1)如图1，以点A为圆心，以CD长度为半径作圆，以C为圆心，以AD长度为半径作圆，
则两个圆的交点即为点E，连接AE、CE，则△ACE为所求三角形；
(2)选择的条件是：①②，结论是③，此命题是真命题；
延长DA至E，使得AE=CB，连接CE.
∵∠ACB+∠DAC=180∘，∠DAC+∠EAC=180∘，
∴∠ACB=∠EAC，
在△EAC和△BAC中，
AE=CB∠EAC=∠BCAAC=CA，
∴△EAC≌△BCA(SAS)，
∴∠B=∠E，AB=CE，
∵∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE，
∴CD=AB，
故答案为：①②，③．
(1)，以点A为圆心，以CD长度为半径作圆，以C为圆心，以AD长度为半径作圆，则两个圆的交点即为点E，连接AE、CE，则△ACE为所求三角形；
(2)证明△EAC≌△BCA(SAS)，即可求解．
本题是四边形综合题，主要考查了几何作图、三角形全等等，题目比较新颖，难度适中．
22.【答案】解：(1)证明：连接AD，如图所示：
∵E是BD的中点，
∴DE=BE，
∴∠EAB=∠EAD，
∵∠ACB=2∠EAB，
∴∠ACB=∠DAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠DAC+∠ACB=90∘，
∴∠DAC+∠DAB=90∘，
即∠BAC=90∘，
∴AC⊥AB，
∴AC是⊙O的切线；
(2)在Rt△ACD中，csC=CDAC=23，
∴CD=23×6=4，
∵∠EAC+∠EAB=90∘，∠DAE+∠AFD=90∘，∠EAD=∠EAB，
∴∠EAC=∠AFD，
∴CF=AC=6，
∴DF=2，
∵AD2=AC2−CD2=62−42=20，
∴AF= AD2+DF2= 20+4=2 6.
【解析】(1)连接AD，通过E是弧BD的中点，∠C=2∠EAB求证∠BAC=90∘即可求证AC是⊙O的切线；
(2)利用csC=23，CA=6求出CD的长，再通过求证∠EAC=∠AFD即可推出CF=AC=6，再利用勾股定理即可计算出AF的长．
本题考查与圆有关的计算，涉及圆切线的证明，锐角三角函数等知识点，本题正确作出辅助线，熟练掌握好圆切线的判定与性质以及能熟练解直角三角形是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，
12k+b=50014k+b=400，得k=−50b=1100，
即y与x之间的函数关系式为y=−50x+1100；
(2)由题意可得，
w=(x−10)y=(x−10)(−50x+1100)=−50(x−16)2+1800，
∵a=−500,n>0)
∴点C(2m3,n3)，
∴2m3×n3=2，
∴mn=9，
∵∠AOB的关联角∠APB
∴OP2=OA×OB=mn=9，
∴OP=3，
∵点P在∠AOB的平分线上，即：点P在第一象限，设P(a,a)，(a>0)
∴OP2=2a2，
∴2a2=9，
∴a=3 22或a=−3 22(舍)
即：点P(3 22,3 22)，
综上所述，( 22,− 22)或(3 22,3 22).
【解析】解：(1)∵P为∠MON平分线OC上一点，
∴∠BOP=∠AOP，
∵PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，
∴∠OBP=∠OPA，
∴△OBP∽△OPA，
∴OBOP=OPOA，
∴OP2=OA×OB，
∴∠APB是∠MON的关联角．
故答案为是．
(2)①如图，过点A作AH⊥OB，
∵∠APB是∠MON的关联角，OP=2，
∴OA×OB=OP2=4，
在Rt△AOH中，∠AOH=90∘，
∴sin∠AOH=AHOA，
∴AH=OAsin∠AOH，
∴S△AOB=12OB×AH=12OB×OA×sin60∘=12×OP2× 32= 3，
∵OP2=OA×OB，
∴OAOP=OPOB，
∵点P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP=∠BOP=12∠MON=30∘，
∴△AOP∽△POB，
∴∠OAP=∠OPB，
∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180∘−30∘=150∘，
②由①有，S△AOB=12OB×OA×∠MON=12m2×sinα；
(3)∵过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，
∴只有点A在x轴正半轴，
①当点B在y轴负半轴时，点A只能在x轴正半轴．即：点P只能在第四象限，
设A(m,0)，B(0,n)(m>0,n0)，
∴OP2=2a2，
∴2a2=1，
∴a= 22或a=− 22(舍)，
∴点P( 22,− 22)
②当点B在y轴正半轴，由于BC=2CA，所以，点A只能在x轴正半轴上，
设A(m,0)，B(0,n)(m>0,n>0)
∴点C(2m3,n3)，
∴2m3×n3=2，
∴mn=9，
∵∠AOB的关联角∠APB
∴OP2=OA×OB=mn=9，
∴OP=3，
∵点P在∠AOB的平分线上，即：点P在第一象限，设P(a,a)，(a>0)
∴OP2=2a2，
∴2a2=9，
∴a=3 22或a=−3 22(舍)
即：点P(3 22,3 22)，
综上所述，( 22,− 22)或(3 22,3 22).
(1)先判断出△OBP∽△OPA，即可；
(2)先根据关联角求出OA×OB=4，再利用三角形的面积公式，以及相似，得到∠OAP=∠OPB，即可；
(3)根据条件分情况讨论，点B在y轴正半轴和负半轴，在负半轴时，经过计算，不存在，②在正半轴时，由BC=2AC判断出点C是线段AB的一个三等分点，即可．
此题是几何变换综合题，主要考查了新定义，关联角的理解和简单应用，相似三角形的判定和性质，关联角的理解是解本题的关键．
投篮次数n
10
50
100
150
200
命中次数m
4
25
65
90
120
命中率
0.4
0.5
0.65
______
______
销售单价x(元)
12
14
16
每周的销售量y(本)
500
400
300