2023届陕西省铜川市王益中学高三下学期一模数学（文）试题含解析

这是一份2023届陕西省铜川市王益中学高三下学期一模数学（文）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届陕西省铜川市王益中学高三下学期一模数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式可得集合，根据二次函数的值域可得集合，再根据交集的运算即可求解.【详解】由，，所以.故选:B．2．已知i是虚数单位，若，则（    ）A．1 B． C． D．3【答案】C【分析】根据复数的除法运算，化简，进而即可求出答案.【详解】因为，所以．故选：C.3．已知单位向量，的夹角为，向量，且，则的值为（    ）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根据已知向量，且，得出，根据已知单位向量，的夹角为，得出，且，即可代入得出，即可解出答案.【详解】由已知得，单位向量，的夹角为，，且，所以，解得，故选：C．4．某活动小组由2名男同学与3名女同学组成，他们完成一项活动后，要从这5名同学中选2人写活动体会，则所选2人中没有男生的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设2名男生为，3名女生为,用列举法结合古典概率的计算公式即可求解.【详解】设2名男生为，3名女生为，从5人中选2人的总选法为，共10种不同选法，则没有男生的选法共3种：，故所求概率为．故选:B.5．设正项等比数列的前n项和为，若，，则通项（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设公比为q，解得出的值.【详解】设等比数列的公比为q，则，且不为1又由已知可得，解得，所以．故选：D.6．已知函数，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，再将图象向上平移个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为6，则的解析式为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】化简可得，然后通过变换可得.根据函数最大值，解出，即可得出答案.【详解】，将其图象上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到，再将图象向上平移个单位长度后得到函数的图象，因为的最大值为6，所以，解得，故.故选：A．7．某人设计了如图程序框图，则输出的结果是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】列举出算法的没一个步骤，即可得出输出结果.【详解】第一次循环，成立，，，成立；第二次循环，，，成立；第三次循环，，，成立；第四次循环，，，不成立，，成立；第五次循环，，，成立；第六次循环，，，成立；第七次循环，，，成立；第八次循环，，，成立；第九次循环，，，成立；第十次循环，，，不成立，跳出循环体，输出.故选：A.8．某几何体三视图如图所示，则其外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三视图还原四棱锥，可知四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，根据长方体的外接球半径公式求出R，利用球体的表面积公式即可求解.【详解】解：在长方体中还原该几何体如图所示，图中四棱锥就是这个几何体，由此可知四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，故由三视图中的数据知球的半径，故其外接球的表面积所求面积为，故选：A．9．圆心在曲线上，与直线x+y+1=0相切，且面积最小的圆的方程为（　　）A．x2+（y-1）2=2 B．x2+（y+1）2=2 C．（x-1）2+y2=2 D．（x+1）2+y2=2【答案】A【分析】设与直线x+y+1＝0平行与曲线相切的直线方程为x+y+m＝0，切点为P（x0，y0），x0＞﹣1，解得x0,可得切点P即圆心，利用点到直线的距离公式可得半径r,求解即可．【详解】设与直线x+y+1＝0平行与曲线相切的直线方程为x+y+m＝0，切点为P（x0，y0）．x0＞0．y′＝﹣，∴﹣＝﹣1，x0＞﹣1，解得x0＝0．可得切点P（0，1）,两条平行线之间的距离为面积最小的圆的半径；∴半径r＝＝ ．∴圆心在曲线上，且与直线x+y+1＝0相切的面积最小的圆的方程为：x2+（y﹣1）2＝2．故选A．【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程的求法，考查圆的方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知函数（且），若关于x的方程有4个解，且，则（    ）A．16 B．10 C．8 D．4【答案】B【分析】当时，根据已知画出函数与的图象，即可根据对称性结合已知得出，且，，，，根据对数的运算得出，即可两式作和化简代入得出答案.【详解】当时，，在坐标系下作出函数与的图象如图所示：由图形的对称性知，且，，，，则根据对数运算得出，，，则，即，两式作和得，又由于，所以．当时，，同理仍得，故选：B.11．已知椭圆，与双曲线具有相同焦点F1、F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，若∠F1PF2＝，则的最小值是A． B．2＋ C． D．【答案】A【分析】首先根据椭圆与双曲线的定义，得出与所满足的关系，列出式子，求得边长，之后借助于余弦定理，求得，之后应用椭圆的离心率与双曲线的离心率的式子，化简应用基本不等式求得最小值.【详解】根据题意，可知，解得，根据余弦定理，可知，整理得，所以 ，故选A.【点睛】该题考查的是有关椭圆和双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，余弦定理，椭圆和双曲线的离心率，基本不等式求最小值的问题，正确理解知识点是正确解题的关键.12．直线分别与直线、曲线交于点A，B，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知A，B两点的坐标为，，则，令，利用导数研究函数的单调性即可求出最小值.【详解】解：由题意可知，直线与直线的交点，直线与曲线交点，满足，则，设，，则，由，得；，得，所以在上单调递减，在上单调递增，则，即，故选：B． 二、填空题13．如图表示甲、乙两组数据所示的茎叶图，设甲组、乙组两组数据为，则两组数据的平均值分别为与，则___________．【答案】33.6【分析】由茎叶图结合平均数的定义分别求，，由此可得结论.【详解】由茎叶图可得，，，所以．故答案为：33.6.14．设实数x，y满足，则的取值范围是__________．【答案】【分析】设，有不等式组作出可行域，得出的范围.化简，然后根据的范围，即可求出答案.【详解】设，根据约束条件作出可行域如图所示， 解可得，，所以.由图知当目标函数经过点或点时取得最小值，当目标函数经过点时取得最大值，即．又，又，所以，当时，该式有最小值为；当时，有最大值为.故答案为：．15．若，则函数的值域是__________．【答案】【分析】化简可得.令，根据几何意义求出的范围，即可得出答案.【详解】，设，，则.由于，则，且.设，由该式的几何意义得下面图形，，其中直线为圆的切线，由图知.由图知，在中，有，，所以，所以，所以.所以，，故所求值域为．故答案为：．16．已知正项数列中，，且为其前项和，若存在正整数，使得成立，则的取值范围是_______．【答案】【分析】利用已知条件，推导出数列为等比数列，写出通项公式及前项和，代入中变形化简，然后根据表达式求出取值范围即可.【详解】由已知得，由于，所以，即，即数列是首项为5，公比为2的等比数列，所以，由变形为，因为存在正整数，使得成立，所以，由于，所以，所以，则，即的取值范围为.故答案为：. 三、解答题17．已知的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，若．(1)求角A的值；(2)若，求面积S的最大值．【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）由已知可推得.由正弦定理可得，进而得出，即可得出；（2）由余弦定理可得，.结合基本不等式可得出，代入面积公式即可得出最小值.【详解】（1）由已知可得，.因为，所以，所以，整理可得，由正弦定理得，即.又，所以.由于，所以．（2）由余弦定理，可得.又，当且仅当时取得等号，所以.所以，面积，所以，面积S的最大值为．18．某调研机构为研究某产品是否受到人们的欢迎，在社会上进行了大量的问卷调查，从中抽取了50份试卷，得到如下结果：            性别是否喜欢男生女生是158否1017 (1)估算一下，1000人当中有多少人喜欢该产品？(2)能否有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关？(3)从表格中男生中利用分层抽样方法抽取5人，进行面对面交谈，从中选出两位参与者进行该产品的试用，求所选的两位参与者至少有一人不喜欢该产品的概率．参考公式与数据：0.100.0500.0100.0052.7063.8416.6357.879 ，．【答案】(1)460人(2)有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关(3)． 【分析】（1）通过表格得到喜欢产品的概率，即可求解；（2）根据列联表结合公式运算，并与临界值3.841比较得到结论；（3）根据分层抽样得到共有3人喜欢，有2人不喜欢，然后写出选择两个人的所有情况，在罗列出满足至少有一人不喜欢的情况，根据古典概型即可【详解】（1）通过表格可得到喜欢该产品的概率为，故1000人中喜欢该产品的人大概有（2）由表格可得，故有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关；（3）由于，故抽取的5人中有3个人喜欢该产品，有2个人不喜欢该产品．从中选2人，则所有选择方法为：，共10种不同情形，其中至少有一个人不喜欢的可能情形为：，共7种，故所选的两位参与者至少有一人不喜欢该产品的概率．19．如图，四棱锥中，底面，，且．(1)求证：；(2)若四棱锥的体积为1，求四棱锥的表面积．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形是正方形，进而根据几何关系得，再结合线面垂直得，进而证明平面即可证明；（2）根据题意得，进而证明平面得，再根据几何关系得，再计算面积即可.【详解】（1）证明：取中点，连接，因为，，．所以，，且，所以，四边形是正方形，所以，，且．所以，，又由于，所以，即，又因为底面，底面，所以，又，平面所以平面，因为平面，所以，．（2）解：因为四棱锥的体积为1，，底面，所以，，解得．所以，，而，因为底面，底面，所以，，因为，，所以，因为平面，所以，平面，因为平面，所以，，所以，，，又因为，所以，即所以，四棱锥的表面积．20．已知点M，N分别是椭圆的右顶点与上顶点，原点O到直线的距离为，且椭圆的离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)斜率不为0的直线经过椭圆右焦点，并且与椭圆交于A，B两点，若，求直线的方程．【答案】(1)(2)或． 【分析】(1)结合点到直线距离公式和离心率的定义列方程求，可得椭圆方程.(2) 设直线的方程为，联立方程组，利用设而不求法结合条件列方程求可得结论.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由已知点的坐标为，点的坐标为，所以直线的方程为，因为原点O到直线的距离为所以，则，因为离心率，所以，．故解得，故椭圆方程为．（2）设直线的方程为，联立，消x得，方程的判别式，设，所以，因为，所以，故得方程组解得，综上，直线方程为，或．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．已知函数．(1)若存在零点，求的取值范围；(2)若，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由可得出，利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知直线与函数的图象有公共点，数形结合可得出实数的取值范围；（2）设，其中，利用到导数证明出，可得出，即可证得结论成立.【详解】（1）解：由可得，令，其中，则，由可得，由可得，所以，函数的减区间为，增区间为，所以，，且当时，，则；当时，，则，作出函数与函数的图象如下图所示：由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有公共点，即函数有零点，故.（2）证明：因为，所以，函数、的单调性相同，则函数的减区间为，增区间为，所以，，又由于，所以①，设，其中，则，令，可得.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，②，由于①②两式中等号不能同时成立，故有．所以，即．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22．已知直线l的参数方程为（其中t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的极坐标方程；(2)若，直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求的值．【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）由已知可得，进而即可得出曲线C的直角坐标方程.消去参数，可得直线方程为，即可得出直线的极坐标方程；（2）解法一：将直线的参数方程代入曲线可得，.根据韦达定理得到的关系，代入即可求解；解法二：联立直线与曲线的方程，求出交点的坐标.然后根据两点间的距离公式，求出、的值，代入即可得出结果.【详解】（1）由曲线C的极坐标方程得，化为直角坐标方程为．又由直线l的参数方程得直线，所以直线l的极坐标方程为．（2）解法一：将直线的参数方程代入曲线可得，，整理可得，.设点对应的参数分别为，则是方程的两个根.由韦达定理可得，.所以，.解法二：联立直线与曲线的方程可得，，解得，.代入可得，，.不妨设，，则，.所以，.23．已知函数．(1)求函数的最小值M；(2)若且，求的最小值．【答案】(1);(2). 【分析】（1）利用零点分段法将写出分段函数的形式，画出图象，由图象可以看出函数的最小值；（2）由（1）知，利用基本不等式可得，再利用基本不等式可得的最小值.【详解】（1）由于，作出此函数图象如图所示:由图象可知函数的最小值为，即．（2）由（1）知，所以，所以，即，当且仅当时等号成立，∴,当且仅当时等号成立．故的最小值为.