2023届陕西省安康中学高三下学期3月质量检测数学（文）试题含解析

这是一份2023届陕西省安康中学高三下学期3月质量检测数学（文）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届陕西省安康中学高三下学期3月质量检测数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由补集和交集的定义进行求解即可.【详解】∵，，∴，又∵，∴．故选：D.2．已知(i为虚数单位),则在复平面内所对应的点位于(   )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据复数的除法求出,即可确定在复平面内所对应的点所在象限.【详解】因为,所以,所以在复平面内对应的点为,位于第一象限.故选:A.3．已知条件，条件，则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先由条件得到，再根据不等式的性质得到；再由举反例，结论成立，不一定条件成立，即得答案.【详解】因为，所以，所以，充分性成立，若，则，，但不满足，必要性不成立因此是的充分不必要条件． 故选：．【点睛】本题主要考查充分条件、不等式的性质，可以先由条件推结论，看是否成立，再由结论推条件，看是否成立，即证充分性，又要证必要性.4．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则离心率（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知条件求得，然后利用公式可求得该双曲线的离心率的值.【详解】由题设，所以，，则.故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，在涉及渐近线的问题时，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.5．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ）A．30° B．90° C．45° D．60°【答案】C【分析】根据平移，转化为相交直线的夹角，利用异面直线的求法即可.【详解】如图，在正方体中，连接交于，连接，因为，分别为，的中点，所以，所以异面直线与所成角即与所成角，易知．故选C．6．已知四边形ABCD为平行四边形,,,,,则（    ）A．7 B．1 C． D．【答案】D【分析】用表示即可.【详解】如图:．故选:D．7．在数列中，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用递推公式可得相邻两项前后项之差，再利用累加法可得通项，最后裂项相消求和即可.【详解】因为，故可得，，…，，及累加可得，则，所以，则．故选：B．8．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．里氏震级是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波的最大振幅的对数值来表示的．里氏震级的计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，2021年7月28日发生在美国阿拉斯加半岛以南91公里处的级地震的最大振幅约是2021年8月4日发生在日本本州近岸级地震的最大振幅的（    ）倍（精确到1）．（参考数据：，，）A．794 B．631 C．316 D．251【答案】A【分析】将阿拉斯加半岛的震幅 和日本本州近岸5.3级地震的震幅 表示成指数形式，作商即可.【详解】由题意，即，则；当时，地震的最大振幅，当时，地震的最大振幅，所以，即；故选：A．9．已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数（    ）A．－2 B．2 C． D．【答案】D【分析】由圆心到直线的距离为得出.【详解】设圆的半径为，由可得，因为是正三角形，所以点到直线的距离为即，两边平方得，故选：D10．已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，且对于任意的恒成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函数周期公式得，利用，得再由对于任意的恒成立，利用可得答案.【详解】由题意，得，解得．由，即，得，即．因为对于任意的恒成立，且，所以，即解得．故选：C．11．已知为椭圆上一点，若的右焦点的坐标为，点满足，，若的最小值为，则椭圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由得出，将最小值代入求解即可.【详解】如图，∵，∴，又∵，∴，即，，∴，∴当点为椭圆的右顶点时，取最小值，，此时的最小值，解得（舍）或，∴，∴椭圆的方程为.故选：B.12．函数在内有极值，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.【详解】由得，，因函数在内有极值，则时，有解，即在时，函数与直线y=a有公共点，而，即在上单调递减，，则，显然在零点左右两侧异号，所以实数的取值范围是.故选：C【点睛】结论点睛：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同． 二、填空题13．已知平面向量，，若，则实数的值为______．【答案】【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】因为，，所以，又，所以，解得．故答案为：14．《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤:斩末一尺,重二斤．问次一尺各重几何？”意思是:“现在有一根金箠,长五尺,在粗的一端截下一尺,重4斤:在细的一端截下一尺,重2斤．问各尺依次重多少？”按这一问题的题设,假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列,则从粗端开始的第二尺的重量是__________斤．【答案】##3.5【分析】每尺的重量成等差数列,且知道首项与第五项,可求第二项.【详解】由题意知,每尺的重量成等差数列,可设粗端第一尺重量为首项,细端一尺重量为,则公差,所以（斤）．故答案为:3.515．已知函数，，若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数________．【答案】1【分析】设函数，的公共点为，则，代入化简即可求得，令，易得在上单调递增，即可求出，进而求得实数的值.【详解】设函数，的公共点为，则即则．令，易得在上单调递增，所以以由，解得，所以切点为，所以，则．故答案为：1.16．如图，棱长均相等的直三棱柱的上、下底面均内接于圆柱的上、下底面，则圆柱的侧面积与其外接球的表面积之比为______．【答案】【分析】设三棱柱的棱长为，再求出圆柱的半径与其外接球的半径即可求解【详解】设三棱柱的棱长为，所以外接圆的半径，所以圆柱外接球的半径．故外接球的表面积为，圆柱的侧面积为，所以圆柱的侧面积与其外接球的表面积之比为．故答案为： 三、解答题17．在中，角、、的对边分别为、、，且．(1)求角的大小；(2)若，求的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角的余弦公式可得出关于的方程，结合可求得的值，再结合角的取值范围可求得角的值；（2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出，结合正弦型函数的有界性可求得的最大值.【详解】（1）解：由已知可得，即，，则，解得，因此，.（2）解：由正弦定理可得，所以，，其中为锐角，且，因为，则，，所以，当时，即当时，取得最大值.18．某社区为庆祝中国共产党成立100周年，举办一系列活动，通过调查得知其中参加文艺活动与体育活动的居民人数如下表： 男性女性合计文艺活动1530 体育活动2010 合计    (1)补全上表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为参加活动类型与性别有关？(2)在参加活动的男性居民中，用分层抽样方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人来自参加文艺活动和体育活动各一人的概率．附：0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828 ，其中．【答案】(1)列联表见解析，可以认为参加活动类型与性别有关(2) 【分析】（1）根据表中所给的数据补全列联表，并根据公式作卡方计算；（2）按照分层抽样的规则抽取人数，再利用计数原理求概率.【详解】（1）依题意，列联表如下： 男生女生合计文艺活动153045体育活动201030合计354075 ，所以在犯错的概率不超过0.5%的前提下，可以认为参加活动类型与性别有关；（2）因为男性居民中参加文艺活动的15名，参加体育的有20名，用分层抽样方法抽取7人，则抽取的比例为： ，所以参加文艺活动的应抽取 人，参加体育活动的应抽取 人， 从这7人中随机选取2人，其中1人来自文艺活动，1人来自体育活动的方式有种 ， 故所求概率；综上，在犯错的概率不超过0.5%的前提下，可以认为参加活动类型与性别有关；接受采访的2人来自文艺活动和体育活动各1人的概率为 .19．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，．(1)求四棱锥的体积；(2)在线段PB上是否存在点M，使得平面PAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）先证明平面ABCD,则PG为四棱锥的高,再应用体积公式； （2）先过点C作交AB于点N，过点N作交PB于点M,再证平面平面CMN，最后得出比值成立即可.【详解】（1）取AD的中点G，连接PG，GB，如图所示．在中，，G是AD的中点，所以．又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，所以平面ABCD，即PG为四棱锥的高．又平面ABCD，所以．在中，由余弦定理得，故．在中，，，，所以．所以．（2）过点C作交AB于点N，则，过点N作交PB于点M，连接CM，则．又因为，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．因为，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．又，，平面CNM，所以平面平面CMN．又平面CMN，所以平面PAD．所以在PB上存在点M，使得平面PAD，且．20．已知抛物线的焦点为F，直线交抛物线E于A，B两点，当直线过点F时，点A，B到E的准线的距离之和为12，线段AB的中点到y轴的距离是4．(1)求抛物线E的方程；(2)当时，设线段AB的中点为M，在x轴上是否存在点N，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)存在，定值为. 【分析】（1）由题可得AB的中点到的距离为6，进而，即得；（2）利用韦达定理法结合向量线性运算可得条件可得，然后利用向量数量积的坐标表示结合条件即得.【详解】（1）因为直线过焦点F时，A，B到E的准线的距离之和为12，所以此时AB的中点到的距离为6，又AB的中点到x轴的距离为4，所以y轴与间的距离为2，即，所以，所以抛物线E的方程为；（2）设，，，联立方程，得消去并整理得．，则．因为M为线段AB的中点，所以．所以当，是定值．所以在x轴上存在点，使得为定值．21．已知函数，若有两个不同的极值点，．(1)求实数a的取值范围；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）将已知转化为有两个变号零点，借助导数研究其性质结合零点存在定理，进而解决问题；（2）由题可得是上的减函数，进而，然后结合条件即得.【详解】（1）由题可得，设，则．当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以．因为函数有两个极值点，所以函数有两个零点，所以，所以，此时，又在上单调递减，所以在上有唯一零点，即在上有唯一零点．．设，则．因为时，；时，，所以在上单调递减，在上单调递增．所以，即，所以，即．又在上单调递增，所以在上有唯一零点，即在上有唯一零点．综上，实数a的取值范围是；（2）证明：由（1）知，是方程的两根，即，，不妨设，当时，，所以是上的减函数，所以．因为，所以，即．【点睛】方法点睛：函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.22．在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线与曲线C的极坐标方程分别为，，点P的极坐标为．(1)求直线以及曲线C的直角坐标方程；(2)在极坐标系中，已知射线与，C的公共点分别为A，B，且，求的面积．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用极坐标方程和直角坐标方程的转化关系即可；（2）利用极坐标方程的几何意义和三角形的面积公式即可.【详解】（1）因为，所以，即直线的直角坐标方程为．由，得，代入公式得，所以曲线C的直角坐标方程为．（2）设点A，B的极坐标分别为，，由题意可得，．则，可得．因为，所以，，，则．因为点P的极坐标为，故23．已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）分别讨论在条件，，下求解不等式，最后综合得解集；（2）由已知将不等式转化为对恒成立，再运用绝对值不等式即可得出或对恒成立，进而得出所求.【详解】（1）当时，．当时，不等式即为，解得，此时；当时，不等式即为，解得，此时；当时，不等式即为，解得，此时．综上所述，不等式的解集为．（2）若，则可化为，即．则或，则或．对任意的时，不等式恒成立，则或，解得或．故实数a的取值范围为．