陕西省铜川市2023届高三二模文科数学试题

陕西省铜川市2023届高三二模文科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若全集，，，则（    ）.

A． B． C． D．

2．已知复数，满足，，则（    ）

A． B． C． D．6

3．执行下面的程序框图，则输出S的值为（    ）

A． B． C． D．

4．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则

A．p1=p2 B．p1=p3

C．p2=p3 D．p1=p2+p3

5．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

6．设向量满足， ，则=

A．1 B．2 C．3 D．5

7．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（    ）

A． B． C． D．

8．在三棱锥中，，，且，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

9．等比数列满足，设数列的前项和为，则=（    ）

A． B． C．5 D．11

10．已知函数的图象如图所示，则的解析式可以为（    ）

A． B．

C． D．

11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．点是曲线的对称中心

B．点是曲线的对称中心

C．直线是曲线的对称轴

D．直线是曲线的对称轴

12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点（其中点在点的左侧），记面积为，则下列结论错误的是（    ）

A． B．时，

C．的最大值为 D．当时，点的横坐标为

二、填空题

13．将四大名著各分一本给甲、乙、丙、丁四人就读，A、、、四位旁观者预测分配结果，A说：“甲读《西游记》，乙读《红楼梦》”；说：“甲读《水浒传》，丙读《三国演义》”；说：“乙读《水浒传》，丙读《西游记》”；说：“乙读《西游记》，丁读《三国演义》”.若已知四位旁观者每人预测的两句话中，都是有且只有一句是真的，则可推断丁读的名著是______.

14．已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前项和______.

15．已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线经过且与左支交于，两点，点在以为直径的圆上，，则的离心率是______.

16．已知函数，，令，若函数存在3个零点，则实数的取值范围是______.

三、解答题

17．在中，角所对的边分别为，.

(1)证明：；

(2)若，当角取得最大值时，求的面积.

18．如图，在斜三棱柱中，底面ABC是边长为2的正三角形，，侧棱AD与底面ABC所成角为60°．

(1)求证：四边形BCFE为矩形；

(2)求平面DBC与平面BCFE夹角的余弦值．

19．为进一步巩固提升全国文明城市，加速推行垃圾分类制度，铜川市推出了两套方案，并分别在、两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：在小区内设立智能化分类垃圾桶，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作.并建立激励机制，比如，垃圾分类换积分兑换礼品等，以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；

(2)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分认为居民赞成推行此方案，低于70分认为居民不赞成推行此方案，规定小区居民赞成率不低于70%才可在该小区继续推行该方案，判断两小区哪个小区可继续推行方案？

(3)根据（2）中结果，从可继续推行方案的小区所抽取100人中再按居民态度是否赞成分层抽取一8人样本作为代表团，从代表团中选取两人做汇总发言，求至少有一个不赞成的居民被选到发言的概率.

20．已知点为抛物线的焦点，点，，若过点作直线与抛物线顺次交于，两点，过点作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)求证：直线过定点．

21．已知函数

(1)当时，求的极值；

(2)若对，，求实数的取值范围.

22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两个坐标系下取相同的长度单位，已知曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角).

（1）求曲线的普通方程；当时，求直线的极坐标方程；

（2）若曲线和直线交于，两点，且，求直线的倾斜角.

23．设函数．

(1)解不等式；

(2)令的最小值为T，正数满足，证明：．

参考答案：

1．B

【分析】根据交集和补集的定义，先算，，然后再求

【详解】依题意得，，于是.

故选：B.

2．C

【分析】根据复数模长的运算性质，可得答案.

【详解】由，则，，

故选：C.

3．D

【分析】由题意可得输出S即为的前项和，结合裂项相消法运算求解.

【详解】由题意可得：输出S即为的前项和，

因为 ，

故.

故选：D.

4．A

【分析】首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，然后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p1，p2，p3的关系，从而求得结果.

【详解】设，则有，

从而可以求得的面积为，

黑色部分的面积为，

其余部分的面积为，所以有，

根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.

点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.

5．C

【分析】由确定出1<a<2，再由转化可得b的取值情况而得解.

【详解】因则，a>1，此时，则有a<2，即1<a<2，

又，而，即，b<1，

所以.

故选：C

6．A

【详解】因为，，两式相加得：，所以，故选A.

考点：本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识，熟练基础知识与基本题型是解答好本类题目的关键．

7．D

【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差.

【详解】设甲组数据分别为、、、，乙组数据分别为、、、，

甲组数据的平均数为，可得，方差为，可得，

乙组数据的平均数为，可得，方差为，可得，

混合后，新数据的平均数为，

方差为

.

故选：D.

8．C

【分析】分析出P,A,B,C四点在同一长方体的顶点上即可求解.

【详解】，，，

所以,

所以，

又,，

所以,

所以，

又，

所以平面，

所以,

所以，

所以的外接球的表面积.

故选：C.

9．A

【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列通项公式化简条件求，判断数列为等比数列，然后利用等比数列的前项和公式计算.

【详解】设等比数列的公比为 由可得，又，，

所以，所以，因为，

故数列也为等比数列，公比为

所以等比数列的公比为

因此,

所以，

故选：A.

10．A

【分析】由图象的对称性可知，函数为偶函数，B，D中函数为奇函数，故排除B，D；A，C中函数为偶函数，又对于C，，不符合题意，故排除C，从而得出答案.

【详解】由图象的对称性可知，函数为偶函数.

对于A，，为偶函数；

对于B，，为奇函数，不符合题意；

对于C，，为偶函数；又，不符合题意；

对于D，，为奇函数，不符合题意，

故选：A．

11．C

【分析】由三角恒等变换化简得，由得对称中心坐标，由得对称轴方程.

【详解】由题意得

，

由得，则的对称中心为，所以A，B错误.

由得，则的对称轴方程为，C正确，D错误，

故选：C

12．B

【分析】由题知，，，，设，，进而结合向量运算，椭圆定义等讨论各选项即可得答案.

【详解】由椭圆，可得，，，由对称性可知，

∴，故A正确；

设，，，，若时，可得，解得，故B错误；

∵直线与椭圆交于，两点，

∴，两点的坐标分别为，，

∴

，当且仅当，即时取等号，故C正确；

、的坐标分别为，设，当时，，设，则，

∴由余弦定理可得，

∴，∴，

∴，又，∴，

∵又，解得，故D正确.

故选：B.

13．《三国演义》

【分析】从A说的两句话中先假定一句正确，结合其他人的表述，逐个分析可得答案.

【详解】由题意，若A说的两句话中，甲读《西游记》正确，乙读《红楼梦》错误，则说的甲读《水浒传》错误，

丙读《三国演义》正确.则说的丙读《西游记》错误，

乙读《水浒传》正确，则说的乙读《西游记》错误，

丁读《三国演义》正确与说的丙读《三国演义》正确相矛盾，不成立；

若A说的两句话中，乙读《红楼梦》正确，甲读《西游记》错误，则说的乙读《水浒传》错误，

丙读《西游记》正确，则说的乙读《西游记》错误，

丁读《三国演义》正确，则说的丙读《三国演义》错误，

甲读《水浒传》正确，则丁读《三国演义》.

故答案为：《三国演义》

14．

【分析】由与的关系求出的通项公式，用错位相减法求.

【详解】数列的前项和为，且点总在直线上，所以.

当时，，两式相减得，，

又，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，

∴，∴，

则，

所以，

两式相减得：.

所以，

所以数列的前项和.

故答案为：

15．

【分析】根据题意设，，根据直径所对的圆周角为直角和双曲线的定义建立方程，进而求解.

【详解】不妨设，，

因为在以为直径的圆上，所以，即，则，

因为在的左支上，所以，

即，解得，则，

因为，所以，即，故，故.

故答案为：.

16．

【分析】当时，利用导数求出函数的单调性，进而作出图像，根据图像即可求解.

【详解】由题意可知，

当时，，，当时，，单调递增；

当时，，单调递减；可得函数在处的极大值为：，

当时，图象趋近于轴.函数的大致图象如图所示，

可知函数存在3个零点时，的取值范围是.

故答案为：.

17．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题给条件利用两角和的正弦公式及正弦定理即可证得；

（2）先利用余弦定理求得角最大值为，进而求得的面积.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

所以，所以

所以，由正弦定理得

（2），（当且仅当时等号成立），

则当时，取得最小值，

又，所以角最大值为.

此时为等边三角形，所以的面积为.

18．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据等腰三角形性质，以及线面垂直判定定理，结合矩形的判定，可得答案；

（2）利用面面角的定义，作图，结合三角形的余弦定理，可得答案.

【详解】（1）取的中点，连接，如下图：

在等边中，易知，在中，，则，

平面，，平面，

平面，，

在三棱柱中，易知，四边形是平行四边形，

则，是矩形.

（2）取的中点，连接，过作，如下图：

则，平面，平面，，

故是平面DBC与平面BCFE夹角或其补角，

在等边中，，则，

在中，，

平面，平面，平面平面，

平面平面，且，平面，

则是侧棱AD与底面ABC所成角，即，

在中，，

设，化简可得，分解因式可得，

解得，即，

在中，，

故平面DBC与平面BCFE夹角的余弦值为.

19．(1)小区平均分为，小区平均分为，方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎

(2)小区可继续推行方案二

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的求法分别计算，即可得出结论；

（2）分别求出小区即方案一中，满意度不低于70分的频率和小区即方案二中，满意度不低于70分的频率，由此即可得出结论；

（3）结合（2）的结论，利用古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】（1）设小区方案一的满意度平均分为，则设小区方案二的满意度平均分为，则∵.∴方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.

（2）由题意可知：

小区即方案一中，满意度不低于70分的频率为，以频率估计概率，赞成率为62%

小区即方案二中，满意度不低于70分的频率为，以频率估计概率，赞成率为75%.

∴小区可继续推行方案二.

（3）由（2）中结果，在小区不赞成25人中，取人，赞成的75人中取人组成代表团，设至少有一个不赞成居民做汇总发言的概率为，记不赞成的两人为，赞成的6人为，从中任选两人，则有以下情况：

共28种情况，其中至少有一个不赞成的居民被选到发言的有，

共13种，

由古典概型的概率计算公式可得.

20．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由点，，结合两点之间距离公式求出的值，即可得出抛物线的标准方程；

（2）设，，，显然直线斜率存在，设出直线的方程，与抛物线方程联立，再根据韦达定理得出，设出直线的方程，与抛物线联立，得出，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，即可证明．

【详解】（1）由题意可知，

∴，

又∵，

∴，

∴抛物线的标准方程为．

（2）显然直线斜率存在，设直线的方程为，

联立方程，消去得，

，

设，，

，，

①，

直线的方程为，

联立方程，化简得，

，

设，则②，

由①②得，

即③，

（ⅰ）若直线斜率不存在，则，

又，

，

，

直线的方程为；

（ⅱ）若直线的斜率存在，为，

直线的方程为，即，

将③代入得，

，

直线斜率存在时过点，

由（ⅰ）（ⅱ）可知，直线过定点．

21．(1)有极小值，无极大值

(2)

【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得极值；

（2）由题意可得：对，构建，由恒成立问题可得，利用导数分类讨论求的最大值即可.

【详解】（1）当时，，定义域为，

则，

令，得，令，得，

故函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

故有极小值，无极大值.

（2）若对，即对，

令，则，

①当时，，函数在上单调递增，

则，符合题意；

②当时，令, 解得，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

若在恒成立, 只需满足，解得；

综上所述：实数的取值范围为.

【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题

（1）分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根据要求得所求范围．

（2）函数思想法

第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的极值；

第三步：构建不等式求解．

22．（1），；（2）或.

【分析】(1)消去参数可得曲线C的普通方程，时，把直线l的参数方程化为普通方程，再化成极坐标方程而得；

(2)把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，借助韦达定理及参数的几何意义求解即得.

【详解】（1）由得曲线C的普通方程为；

当时，直线l的参数方程为(t为参数)，

直线l的普通方程为，则其极坐标方程为，

即；

（2）将代入圆的方程，得，化简得，

又点在圆内，设，两点对应的参数分别为，，则，，

则，

，解得或，即或，

所以直线l的倾斜角为或.

23．(1).

(2)证明见解析.

【分析】（1）分类讨论x的取值，脱掉绝对值符号，解不等式，可得答案；

（2）分类讨论x的取值，求出的最小值为T，将展开，利用基本不等式证明，即可证明结论.

【详解】（1）当时，即，解得，故；

当时， 即，则；

当时，即，解得，故，

综上所述，原不等式的解集为.

（2）若，则；

若，则：

若，则,

所以函数的最小值，故,

又为正数，

则

,

当且仅当,时等号成立,

所以.