2020届陕西省铜川市高三文科数学二模试卷（含答案）

陕西省铜川市2020届高三文科数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是（　　）

A．{a|a≤2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}

2．已知复数z满足zi＝2+i，i是虚数单位，则|z|＝（　　）

A． B． C．2 D．

3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6：S3＝1：2，则S9：S3＝（　　）

A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．1：3

4．已知m∈R，“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝logmx在（0，+∞）上为减函数”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①y与x负相关且2.347x﹣6.423；

②y与x负相关且3.476x+5.648；

③y与x正相关且5.437x+8.493；

④y与x正相关且4.326x﹣4.578．

其中一定不正确的结论的序号是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

6．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）

A．若l⊥m，l⊥n，且m，n⊂α，则l⊥α 

B．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β 

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α 

D．若m∥n，n⊥α，则m⊥α

7．在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，则直线y＝k（x﹣2）与圆x2+y2＝1有两个不同公共点的概率为（　　）

A． B． C． D．

8．已知其中，，x∈R．则f（x）的单调递减区间是（　　）

A． B． 

C． D．

9．函数y（0＜a＜1）的图象的大致形状是（　　）

A． B． 

C． D．

10．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x21的一条渐近线的距离是，则双曲线的虚轴长是（　　）

A． B．2 C．3 D．6

11．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）

A．5π B． C．20π D．4π

12．已知函数（a＞0且a≠1），若函数f（x）的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（　　）

A．（0，1） B．（1，3） 

C．（0，1）∪（3，+∞） D．（0，1）∪（1，3）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．如图所示，在梯形ABCD中，∠A，，BC＝2，，点E为AB的中点，则　   　．

14．曲线上一动点P（x0，f（x0））处的切线斜率的最小值为　   　．

15．已知两圆x2+y2＝10和（x﹣1）2+（y﹣a）2＝20相交于A、B两个不同的点，且直线AB与直线3x﹣y+1＝0垂直，则实数a＝　   　．

16．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒　   　次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

17．在△ABC中，

（Ⅰ）求AB的值；[来源:学§科§网]

（Ⅱ）求的值．

18．（12分）今年5月，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估，将各连锁店的评估分数按[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]分成4组，其频率分布直方图如图所示，集团公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为A、B、C、D四个等级，等级评定标准如表所示：

（Ⅰ）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；

（Ⅱ）从评估分数不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A等级的概率．

19．如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE＝CD＝2．

（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；

（2）求三棱锥D﹣BCE的高．

20．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l平行于OM，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围．

21．已知函数．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）证明：．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），其中．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4＝0．

（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）已知曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2＝0时，求|AB|的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．函数f（x）2．

（Ⅰ）求f（x）的值域；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣m＜0有解，求证：3m7．

答案

一、选择题

1．D．2．D．3．C．4．B．5．D．6．D．7．D．8．XXK]C．9．D．10．B．11．A．12．D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．

以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建系，求出相关点的坐标，求出向量即可求解数量积．

以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建系，C（2，0），，B（0，0），，

∴，，所以．

故答案为：﹣2．

14．，∵x＞0

∴．（当且仅当时取等号）．

故答案为：

15．由题意，两圆相减可得2x+2ay﹣a2+9＝0，利用直线AB与直线3x﹣y+1＝0垂直，可得3＝﹣1，即可求出a的值．

由题意，两圆相减可得2x+2ay﹣a2+9＝0，

∵直线AB与直线3x﹣y+1＝0垂直，

∴3＝﹣1，∴a＝3，

16．设开始的浓度为1，操作1次后的浓度为a1＝1，操作n次后的浓度为an，则an+1＝an（1），利用等比数列的通项公式即可得出．

设开始的浓度为1，操作1次后的浓度为a1＝1，

操作n次后的浓度为an，则an+1＝an（1），

∴数列{an}构成a1＝1为首项，q＝1为公比的等比数列，

∴an＝（1）n，即第n次操作后溶液的浓度为（1）n；

当a＝2时，可得an＝（1）n，由an＝（）n，解得n＞4．

∴至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%．

故答案为：4．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

17．在△ABC中，根据正弦定理，于是AB

（Ⅱ）在△ABC中，根据余弦定理，得cosA．

于是sinA

从而sin2A＝2sinAcosA，

则cos2A＝cos2A﹣sin2A，

故得sin2Acoscos2Asin．

18．（Ⅰ）∵最高小矩形下底边的中点值为75，

∴估计评估得分的众数为75；

∵直方图中从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28、0.16、0.08，

∴第二个小矩形的面积为

1﹣0.28﹣0.16﹣0.08＝0.48；

∴65×0.28+75×0.48+85×0.16+95×0.08＝18.2+36+13.6+7.6＝75.4，

即估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为75.4；

（Ⅱ）∵A等级的频数为25×0.08＝2，

B等级的频数为25×0.16＝4，

∴从6家连锁店中任选2家，共有15种选法，

其中选1家A等级和1家B等级的选法有2×4＝8种，

选2家A等级的选法有1种；

∴P，

即至少选一家A等级的概率是．

19．由题意可知，FG是△BCD的中位线

所以FG∥AE且FG＝AE，即四边形AEFG为平行四边形，

所以AG∥EF

由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，又EF⊂面BDE，

故平面BDE⊥平面BCD；

（2）解：过B做BK⊥AC，垂足为K，因为AE⊥平面ABC，

所以BK⊥平面ACDE，且

所以V四棱锥B﹣ACDEV三棱锥E﹣ABC

所以V三棱锥D﹣BCE＝V四棱锥B﹣ACDE﹣V三棱锥E﹣ABC

因为AB＝AC＝2，AE＝1，所以，又BC＝2

所以

设所求的高为h，则由等体积法得

所以．

20．（1）由椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．

（2）设l的方程为yx+m，再与椭圆方程联立，将∠AOB为钝角，转化为0，且m≠0，利用韦达定理，即可求出直线l在y轴上的截距m的取值范围．

（1）∵椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．

∴，解得a＝2，b，c，

∴椭圆C的方程为1．

（2）由直线l平行于OM，得直线l的斜率k＝kOM，

又l在y轴上的截距为m，∴l的方程为y．

由，得x2+2mx+2m2﹣4＝0．

又直线l与椭圆交于A、B两个不同点，△＝（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，于是﹣2＜m＜2．∠AOB为钝角等价于0，且m≠0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1x2+y1y2，

由韦达定理x1+x2＝﹣2m，x1x2＝2m2﹣4，代入上式，

化简整理得m2＜2，即，故所求范围是（）∪（0，）．

21．判断导函数的符号，求解函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）．

（Ⅱ）不等式等价于，由（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（x）max＝f（1）＝2，推出f（x）≤2，令，利用导函数的单调性以及最值推出，证明结论即可．

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），

则，解得，所以f（x）＝lnx﹣x2+x+2．此时，，由f'（x）＞0得0＜x＜1，f'（x）＜0得 x＞1，

所以函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）．

（Ⅱ）证明：不等式等价于，

由（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（x）max＝f（1）＝2，

所以f（x）≤2①，

令，所以g'（x）＝ex﹣x﹣1，（g'（x））′＝ex﹣1，所以，

当x＞0时，（g'（x））′＞0，

所以g'（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g'（x）＞g'（0）＝0，

所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（0）＝0，即，

因为x＞0，所以，

所以，x＞0时，．

22．（1）直接把参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程．

（2）利用直线和曲线的位置关系，建立等量关系式，利用中点坐标和垂径定理求出结果．

（1）线C1的参数方程为（t为参数），

所以：C1的普通方程：y＝（x﹣2）tanα+1，其中；

曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4＝0．

所以：C2的直角坐标方程：（x﹣3）2+y2＝5．

（2）由题知直线恒过定点P（2，1），又t1+t2＝0，

由参数方程的几何意义知P是线段AB的中点，

曲线C2是以C2（3，0）为圆心，半径的圆，

且．

由垂径定理知：．

本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程，中点坐标公式的应用，垂径定理得应用．

23．（I）由f（x）2|x﹣1|+2|x﹣2|，分类讨论取绝对值，然后根据分段函数的性质可求值域

（II）若关于x的不等式f（x）﹣m＜0有解，故只需m＞f（x）的最小值，可求m的范围，然后结合基本不等式即可证

∵f（x）2|x﹣1|+2|x﹣2|

（I）当x≥2时，f（x）＝3x﹣5≥1；

当1＜x＜2时，f（x）＝3﹣x，1＜f（x）＜2，

当x≤1时，f（x）＝5﹣3x≥2

综上可得，函数的值域为[1，+∞）

（II）证明：若关于x的不等式f（x）﹣m＜0有解，

∴f（x）＜m有解，

故只需m＞f（x）的最小值，即m＞1

∴3m3（m﹣1）3

本题主要考查了分段函数的函数值域的求解，及不等式的存在性问题，及基本不等式在最值求解中的应用．