2023届陕西省宝鸡市千阳县中学高三第十二次模考数学（文）试题含解析

这是一份2023届陕西省宝鸡市千阳县中学高三第十二次模考数学（文）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届陕西省宝鸡市千阳县中学高三第十二次模考数学（文）试题 一、单选题1．设，则（    ）A．i B． C．1 D．【答案】A【分析】利用复数的乘法可求运算结果.【详解】,故选：A2．设集合.若，则（    ）A．  B． C．1 D．3【答案】B【分析】根据包含关系结合交集的结果可求的值.【详解】因为，故，故或，若，则，，此时，符合；若，则，，此时，不符合；故选：B3．某中学高一､高二和高三各年级人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的健康状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（    ）年级人数高一550高二500高三450合计1500 A．18 B．22 C．40 D．60【答案】A【分析】根据分层抽样的概念及方法，列出方程，即可求解.【详解】设该样本中高三年级的人数为人，根据分层抽样的概念及方法，可得，解得人.故选：A.4．已知某圆锥的底面半径为1，高为，则它的侧面积与底面积之比为（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】计算圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为，得到答案.【详解】圆锥的侧面积为：；圆锥的底面积为：；故选：C5．已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是（    ）A．，0 B．4， C．16，0 D．4，0【答案】D【分析】利用向量的坐标运算得到|2用θ的三角函数表示化简求最值．【详解】解：向量，向量，则2（2cosθ，2sinθ+1），所以|22＝（2cosθ）2+（2sinθ+1）2＝8﹣4cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（），所以|22的最大值，最小值分别是：16，0；所以|2的最大值，最小值分别是4，0；故选：D．【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．6．已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由题得到，结合，即可求得.【详解】无论椭圆焦点位于轴或轴，根据点,,为椭圆的三个顶点,若是正三角形,则，即，即，即有，则，解得.故选：C.7．在中，若，分别是方程的两个根，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出方程的根，不妨设，，由同角三角函数基本关系及两角和的正弦公式求解即可.【详解】由解得或，由三角形内角易知：，，则，所以，所以，故选：B8．当时，函数取得最大值，则（　　）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据条件列方程组求出a和b.【详解】因为函数定义域为，所以依题可知， ，而 ，所以，即 ，所以 ，因此当时，,故函数在递增；时，,故函数在上递减，时取最大值，满足题意，即有 ；故选：C．9．函数的图象如图所示，则（    ）A．B．在上单调递增C．的一个对称中心为D．是奇函数【答案】B【分析】根据函数的部分图象求出函数的解析式，利用三角函数的性质即可求解.【详解】由题意及图可知，,所以，因为的图象经过点，所以，解得，因为，所以，当时，所以的解析式为，故A错误；因为，所以，所以在单调递增，所以在上单调递增，故B正确；，所以的一个对称中心不为，故C错误；，显然该函数的是奇函数，故D错误.故选：B.10．如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（　　）A． B．平面ABCDC．三棱锥的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值【答案】D【分析】利用直线与平面垂直的性质可证得；运用两个平面平行的性质，可证明平面ABCD；结合三棱锥的体积公式可求其体积为定值；在线段上选取特殊位置，结合异面直线所成的角，即可求得异面直线AE，BF所成的角不是定值.【详解】对于选项A，在正方体中，平面，平面，所以，即，四边形为正方形，则，又，平面，平面，所以平面，平面，所以，故A正确.对于选项B，在正方体中, 平面平面，平面，所以平面ABCD，故B正确.对于选项C，连接交于点，设三棱锥的高为，，平面，平面，所以点B到直线的距离即为，，又因为平面，即平面，所以AO为三棱锥的高，在中，，所以，（定值），故C正确.对于选项D，设异面直线AE，BF所成的角为，连接交于点，当点与重合时，因为，此时点与点重合，连接，在正方体，且，所以四边形为平行四边形，所以，即为异面直线AE，BF所成的角，在中，，，，因为，所以为直角三角形，，所以异面直线AE，BF所成的角的正弦值为.当点与重合时，，此时点与点重合，，即，即为即为异面直线AE，BF所成的角，在中，，，，，所以异面直线AE，BF所成的角的正弦值为,异面直线AE，BF所成的角不是定值,故D错误.故选：D.【点睛】11．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合，逐项判断即可.【详解】因为是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且两函数在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，，，所以B正确，C,D错误；若，则，A错误.故选：B.12．已知函数，点、分别是函数图象上的最高点和最低点，则的值为（    ）A． B．3 C． D．7【答案】B【分析】由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质求出、两点坐标，最后根据数量积的坐标表示计算可得.【详解】因为，因为，所以，所以令，解得，所以，即，令，解得，所以，即，所以，，所以.故选：B 二、填空题13．函数的图象在处的切线方程为________．【答案】【分析】先对求导，再求出所求切线的斜率与切点，从而由点斜式方程即可得出答案.【详解】由可得，所以所求切线的斜率为，又当时，，即切点为，所以函数的图象在处的切线方程为：.故答案为：.14．已知长方体的底面是边长为2的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为___________【答案】24π【分析】由余弦定理可求出长方体的高，再由外接球直径为长方体对角线得解.【详解】设长方体的高为c，外接球的半径为，如图，则，，，由余弦定理知，，解得，所以，所以.故答案为：15．若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．【答案】/【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解．【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，的最小值即为的最小值减去半径．因为，，设，，由于恒成立，所以函数在上递减，在上递增，即，所以，即的最小值为．故答案为：．16．已知函数在区间单调，其中为正整数，，且.则图像的一条对称轴__________.【答案】【分析】由正弦函数的单调性与周期性，可得，所以，在同一个周期内，由，取其中点值，即可得图象的一条对称轴；【详解】因为函数在区间单调，，，，在同一个周期内，，图像的一条对称轴为.故答案为： 三、解答题17．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，.(1)证明.(2)记圆柱的体积为，四棱锥P-ABCD的体积为，求；【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据垂直关系，要证明线线垂直，转化为证明平面；（2）首先求圆柱和四棱锥的体积，再求体积的比值.【详解】（1）证明：由已知得是等边三角形，，是直径，所以，即，则为等边三角形的角平分线，所以，又PC是圆柱的母线，则PC⊥平面ABCD ，平面，所以又，平面，则BD⊥平面PCA， 平面，所以（2）由已知得，，则，所以,,,于是，，所以.18．记数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)对任意，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先求出，再根据得到，即可求出通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得.【详解】（1）因为，所以，当时，，所以从第项起为以为公比的等比数列，所以，所以数列的通项公式；（2）由（1）知，则①，②，①-②得，化简得.19．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表. 优秀非优秀总计甲班10  乙班 30 合计  105已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6号或10号的概率.（参考公式：，其P（K2≥k）0.050.01k38416.635 【答案】(1)表见解析(2)有95%的把握认为“成绩与班级有关系”(3) 【分析】（1）根据优秀率计算优秀人数，即可完善列联表；（2）计算，与临界值比较得出结论；（3）列出基本事件空间，利用古典概型计算即可.【详解】（1）因为从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为，所以优秀的人数为（人），据此可得列联表： 优秀非优秀总计甲班104555乙班203050合计3075105（2）根据列联表中的数据，得到1因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”.（3）设“抽到6号或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y），则所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、……、（6，6），共36个.事件A包含的基本事件有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（4，6），（5，5），，共8个，∴P.20．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【答案】（1）1；（2）y＝x＋7．【分析】（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率；（2）由（1）中直线AB的斜率，根据导数的几何意义求得M点坐标，设直线AB的方程为y＝x＋m，与抛物线联立，求得根，结合弦长公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，从而求得参数m.【详解】解：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝＝＝1．（2）由y＝，得y′＝．设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|．将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0．当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2．从而|AB|＝|x1－x2|＝．由题设知|AB|＝2|MN|，即＝2(m＋1)，解得m＝7．所以直线AB的方程为y＝x＋7．21．设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，又，因为，故，当时，；当时，；所以的减区间为，增区间为.（2）因为且的图与轴没有公共点，所以的图象在轴的上方，由（1）中函数的单调性可得，故即.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.22．如图，在极坐标系Ox中，，弧所在圆的圆心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.(1)分别写出的极坐标方程；(2)曲线由构成，若点在上，且，求的极坐标.【答案】(1)，，；(2)或或或. 【分析】（1）求出弧所在圆的极坐标方程，再求出曲线的极坐标方程作答.（2）求出满足的点P的轨迹的极坐标方程，再解方程组作答.【详解】（1）因为弧所在圆的圆心为，半径为1，该圆过极点，圆的方程为，因此曲线的方程是；因为弧所在圆的圆心为，半径为1，该圆过极点，圆的方程为，因此曲线的方程是；因为弧所在圆的圆心为，半径为1，该圆过极点，圆的方程为，因此曲线的方程是.（2）设，于是，当时，，即，解得；当时，，即，解得或；当时，，则，解得，所以点的极坐标为或或或.23．已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）方法一：将代入函数解析式，求得，利用零点分段法将解析式化为，分类讨论即可求得不等式的解集；（2）方法一：根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.【详解】（1）［方法一］：【通性通法】零点分段法当时，，即，所以不等式等价于或或，解得：．故不等式的解集为．［方法二］：【最优解】数形结合法如图，当时，不等式即为．由绝对值的几何意义可知，表示x轴上的点到对应的点的距离减去到1对应点的距离．结合数轴可知，当时，，当时，．故不等式的解集为．（2）［方法一］：【通性通法】分类讨论当时，成立等价于当时，成立．若，则当时，；若，由得，，解得：，所以，故．综上，的取值范围为．［方法二］：平方法当时，不等式成立，等价于时，成立，即成立，整理得．当时，不等式不成立；当时，，不等式解集为空集；当时，原不等式等价于，解得．由，解得．故a的取值范围为．［方法三］：【最优解】分离参数法当时，不等式成立，等价于时，成立，即，解得：，而，所以．故a的取值范围为．【整体点评】（1）方法一：利用零点分段法是解决含有两个以及以上绝对值不等式的常用解法，是通性通法；方法二：利用绝对值的几何意义解决特殊类型的绝对值不等式，直观简洁，是该题的最优解．（2）方法一：分类讨论解出绝对值不等式，利用是不等式解集的子集求出，是通性通法；方法二：本题将绝对值不等式平方，转化为解含参的不等式，利用是不等式解集的子集求出，虽可解出，但是增加了题目的难度；方法三：利用分离参数，将不等式问题转化为恒成立最值问题，思想简单常见，是该题的最优解．